圖形化薄膜等效彈性模量的聲表面波表征研究*

陳 龍, 肖 夏, 張 立, 戚海洋

(1. 天津大學 微電子學院, 天津 300072;2. 浙江省計量科學研究院, 杭州 310063)

0 引 言

芯片高度集成化和功能復雜化的需求促使應用于集成電路的材料、結(jié)構(gòu)以及制造工藝不斷改進和創(chuàng)新．低介電常數(shù)(low-k)材料的成功應用有效緩解了后端布線中寄生電阻、電容引起的互連延遲和信號串擾等問題[1-2]．相比于二氧化硅,low-k材料質(zhì)軟的特點[3-4]導致圖形化互連薄膜整體機械性能惡化,嚴重影響互連系統(tǒng)穩(wěn)定性．Cu/low-k互連薄膜普遍存在多孔較脆的特點,傳統(tǒng)化學機械拋光(CMP)工藝由于較高的拋光壓力不可避免地會對互連薄膜造成損傷．因此,為了開發(fā)適用于圖形化薄膜、低壓力的化學拋光技術(shù),對圖形化薄膜機械特性進行定量表征具有重要意義．

在過去的幾十年中,研究者們已經(jīng)提出并開發(fā)了用于測量薄膜機械性能的許多方法,如納米壓痕法[5-6]、膨脹實驗法[7]、Brillouin光散射法[8]、原子力顯微鏡法[9-10]等．盡管不同檢測方法都能夠為大多數(shù)情況提供令人稱道的解決方案,但它們在特定問題上存在一些局限性和缺點．以傳統(tǒng)納米壓痕法為例,壓頭在壓入薄膜時會破壞薄膜結(jié)構(gòu),這是一種有損檢測．另一個缺點是其測量結(jié)果容易受基底和尺寸效應影響而出現(xiàn)較大誤差．激光激發(fā)超聲表面波技術(shù)是一種非接觸式的無損檢測方法,完全不受基底材料影響．聲表面波在分層結(jié)構(gòu)中傳播時發(fā)生頻散現(xiàn)象,高頻和低頻聲表面波分別攜帶薄膜和基底信息[11]．基于此原理,聲表面波技術(shù)在無損檢測領域得到了廣泛應用,它可以準確檢測表面和亞表面缺陷[12-13],表征薄膜材料、功能梯度材料以及非均勻材料等力學特性[14-18]．近年來,聲表面波技術(shù)也被應用于醫(yī)學檢測領域[19-20]．

現(xiàn)有的聲表面波檢測技術(shù)主要面向全部由low-k材料構(gòu)成的勻質(zhì)薄膜,而Cu/low-k圖形化互連薄膜并非表現(xiàn)為各向同性．對于由兩種或兩種以上材料組成的復合材料,其宏觀力學性能通常取決于細觀組分的力學性能和分布方式,近幾年來一直是廣泛研究的課題．崔春麗等[21]基于廣義自洽法,同時采用Gurtin-Murdoch界面模型和界面相模型研究了納米纖維復合材料的有效彈性性能,獲得了兩種模型下有效體積模量的封閉解析解和計算有效面內(nèi)剪切模量數(shù)值解的全部公式．陳海玉等[22]建立了細觀等效模型,利用扭轉(zhuǎn)變形、細觀夾雜理論、彈性等效思想和M-T模型方法,推導了多成分組成的再生混凝土的宏觀力學參數(shù)預測模型．

準確表征圖形化薄膜的機械特性對于調(diào)整CMP工藝參數(shù)和保證互連結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性有重要研究價值．本文采用橫觀各向同性和正交各向異性模型分別表征單大馬士革和雙大馬士革薄膜結(jié)構(gòu),詳細推導了聲表面波在雙大馬士革薄膜/硅基底結(jié)構(gòu)中的理論方程,使用有限元方法獲得仿真頻散曲線,并進一步與理論曲線匹配得到等效彈性模量．對比能量法計算結(jié)果發(fā)現(xiàn),相對誤差均低于5%,證明了聲表面波方法表征圖形化薄膜機械性能的可行性．

1 理 論 推 導

1.1 圖形化互連薄膜等效結(jié)構(gòu)模型

因此,通過下式可以建立等效體和代表性體積單元間的關系:

(1)

現(xiàn)在考慮一種簡單的應力應變分布情況,第i層內(nèi)的應力分量表示為

(2)

應變分量為

(3)

式中,txi,tyi,txyi和ezi,eyzi,exzi是每層介質(zhì)中的附加應力和應變．

將式(2)代入式(1)中,可得附加應力滿足以下條件:

∑φitxi=0, ∑φityi=0, ∑φitxyi=0,

(4)

式中,φi=hi/l,hi是第i層介質(zhì)厚度,l為等效體厚度．同理,將式(3)代入式(1)中,得到附加應變條件:

∑φiezi=0, ∑φieyzi=0, ∑φiexzi=0．

(5)

對于所有層均為正交各向異性彈性體,則第i層的應力應變關系滿足

ε=Dσ,

(6)

由式(4)和(5)消去式(6)中的附加應力和應變,得到等效工程常數(shù)表達式:

(7)

式中

1.1.1 單大馬士革薄膜等效結(jié)構(gòu)

圖2為單大馬士革結(jié)構(gòu),由金屬互連線和low-k介質(zhì)材料構(gòu)成,將其看作互連布線層中的一個代表性體積單元．并做如下假定:1) 兩種材料均為各向同性線彈性材料,互連線和介質(zhì)的彈性模量分別為E1和E2,Poisson比分別為ν1和ν2; 2) 兩種材料界面具有完美的黏附性,無相對滑動; 3) 材料的層理面相互平行．基于上述假定,單大馬士革結(jié)構(gòu)的等效工程常數(shù)為

圖2 單大馬士革結(jié)構(gòu)代表體積單元Fig. 2 The representative volume unit of the single damascene structure

(8)

式中

計算結(jié)果表明,單大馬士革結(jié)構(gòu)可以等效為橫觀各向同性結(jié)構(gòu),而且彈性對稱軸(x軸)垂直于分層介質(zhì)交界面,坐標面yoz與各向同性面平行,共有5個獨立的彈性常數(shù),根據(jù)彈性常數(shù)與工程常數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關系得

(9)

1.1.2 雙大馬士革薄膜等效結(jié)構(gòu)

圖3為雙大馬士革結(jié)構(gòu)代表體積單元,其中w1,h1為通孔的寬度和高度;w2,h2為引線溝槽的寬度和高度;T為結(jié)構(gòu)單元的周期．求解其等效參數(shù)分為兩步,首先將結(jié)構(gòu)分為上下兩層,上層由溝槽和填充介質(zhì)構(gòu)成,下層由通孔和介質(zhì)構(gòu)成,由于材料假定為各向同性,因此上下兩層均可以等效為橫觀各向同性結(jié)構(gòu);在計算出每層的等效彈性常數(shù)后,再將其看成平行于xoy平面的層狀復合模型計算．雙大馬士革結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為正交各向異性,共有9個獨立的等效彈性常數(shù):

圖3 雙大馬士革結(jié)構(gòu)代表體積單元Fig. 3 The representative volume unit of the dual damascene structure

(10)

1.2 表面波在圖形化薄膜/硅襯底分層結(jié)構(gòu)中的傳播特性

非壓電媒質(zhì)中的波動方程和解的形式為

(11)

uj=αjexp(ikbx3)exp[ik(l1x1+l2x2+l3x3-vt)],

(12)

式中,ρ為介質(zhì)密度;uj為微元介質(zhì)沿xj方向的微小位移;cijkl為材料彈性剛度常數(shù);αj為表面波各諧波分量的相對振幅;k為波矢的大小;b表示與傳播方向垂直平面中波的振幅和相位隨傳播深度的變化;(l1,l2,l3)為傳播方向余弦;v是表面波相速度．

將式(12)代入式(11)得到表面波在介質(zhì)中傳播的基本方程——Christoffel方程:

(Γjk-ρv2δjk)αk=0,

(13)

式中,δjk為Dirac δ函數(shù),Γjk為Christoffel系數(shù),Γjk=lillcijkl．圖形化薄膜的Christoffel系數(shù)為

(14)

為確保式(13)存在非零解,其系數(shù)行列式必須為零:

(15)

圖4為表面波在雙大馬士革薄膜/硅襯底結(jié)構(gòu)中的傳播示意圖,x3=0平面是薄膜和襯底交界面,x3=hf平面是自由表面,考慮波沿x1方向傳播．

圖4 表面波在雙大馬士革薄膜/硅襯底結(jié)構(gòu)中的傳播Fig. 4 The schematic diagram of SAWs propagating in the dual damascene film/substrate

因此要獲得表面波傳播特性與薄膜/襯底材料之間的關系,需要分別求解薄膜和襯底中的波動方程,且方程解還要滿足以下邊界條件:

1) 交界面處(x3=0)位移連續(xù)

(16)

2) 交界面處(x3=0)應力連續(xù)

(17)

3) 自由表面處(x3=hf)應力為零

(18)

其中

(19)

為滿足邊界條件,將薄膜和基底中的解線性組合,在薄膜中:

(20)

在基底中:

(21)

將式(20)和(21)代入式(16)—(19)中,可得邊界條件矩陣:

M=[M1M2M3],

(22)

其中

式中,上標( )中的數(shù)字和字母分別表示薄膜和基底相關參量．令M的行列式等于零解得傳播向量k,根據(jù)f=kv/(2π)可求得聲表面波在雙大馬士革薄膜/基底中的色散曲線．對于單大馬士革薄膜,根據(jù)式(9)先簡化上述Christoffel系數(shù)和邊界矩陣再求解色散曲線．因此,當表面波在圖形化薄膜/襯底分層結(jié)構(gòu)中傳播時,相速度可以表示為

(23)

表1 雙大馬士革薄膜參數(shù)(參數(shù)標記見圖3)和對應編號

以下討論中,假設圖形化薄膜淀積在硅襯底上,硅的密度為ρs=2.33 g/cm3,彈性常數(shù)為c11=165.7 GPa,c12=63.9 GPa,c44=79.6 GPa．聲表面波沿Si[100]晶向傳播,即方向余弦為l1=1,l2=0,l3=0．圖形化薄膜由Cu和low-k材料構(gòu)成,彈性模量分別為130 GPa和10 GPa,Poisson比分別為0.32和0.25,密度分別為8.9 g/cm3和1.0 g/cm3．

圖5為表1結(jié)構(gòu)對應的聲表面波理論頻散曲線．結(jié)果顯示:在頻率較低時,表面波可以穿透薄膜進入襯底,因此所有曲線在頻率為零時的相速度近似等于Si[100]晶向的傳播速度4 917 m/s[25]．隨著頻率增加出現(xiàn)正常色散現(xiàn)象,直觀表現(xiàn)為曲線開始向下彎曲,而且隨著溝槽寬度增加,SAW的色散現(xiàn)象愈發(fā)明顯．編號②～⑩代表的圖形化薄膜色散曲線隨著頻率增加彼此分離,且一直處于Cu和low-k曲線之間,曲線與兩種材料占比成良好的線性關系,即在相同頻率下,薄膜中l(wèi)ow-k占比越大,其表面波速度越大．

圖5 膜厚為300 nm下表面波在表1的不同圖形化薄膜中沿Si[100]晶向傳播的色散曲線Fig. 5 Dispersion curves of surface acoustic waves propagating along the Si[100] direction in different patterned films in table 1 with a film thickness of 300 nm

2 數(shù)值算例及討論

2.1 圖形化薄膜/襯底結(jié)構(gòu)的有限元仿真

本小節(jié)通過有限元仿真驗證上述理論模型的合理性和準確性,選擇固體力學中的特征值問題[26-27]模擬聲表面波在圖形化薄膜/襯底結(jié)構(gòu)中的傳播情況．由于在實際實驗中采取的線光源只激發(fā)出x和z方向存在振動分量的“脊波”形式的應力波,因此在有限元軟件中建立二維模型可以有效縮減計算量,節(jié)省時間．模型如圖6所示,詳細描述如下:模型寬度設置為一個波長,并在結(jié)構(gòu)左右兩側(cè)增加周期性邊界條件進一步簡化模型加快計算速度,由于表面波沿介質(zhì)傳播時在到達表面下方深度1～2個波長后幾乎衰減為零,因此襯底高度設置為3個波長,并在模型底部增加固定邊界條件,薄膜表面設定為自由表面邊界．

圖6 圖形化薄膜/硅襯底有限元網(wǎng)格化模型Fig. 6 The finite element meshing model for the patterned film/silicon substrate

圖6為建立的有限元模型,對所建模型(表1編號⑥)采用模態(tài)分析求解特征頻率f,如圖7所示,波長為480 μm,位移幅度朝著襯底下方延伸逐漸減弱,最終衰減為零,完全符合表面波特點．對稱和反對稱模態(tài)對應兩個特征頻率的平均值作為最終頻率,即10.23 MHz,因此該頻率下的表面波速度為 4 910.40 m/s．聲表面波相速度為vSAW=λf,調(diào)整表面波的波長即可得到表2中的參數(shù),進一步使用多項式擬合可以得到仿真色散曲線．將仿真曲線與理論色散曲線簇匹配,通過最小二乘法確定等效彈性模量值．

(a) 對稱模態(tài) (b) 反對稱模態(tài)(a) The symmetric mode (b) The antisymmetric mode圖7 模型的表面振型及特征頻率Fig. 7 The surface modes and eigenfrequencies of the model

表2 仿真模型的波長-頻率-速度值

圖8為表1中編號⑥結(jié)構(gòu)的表面波色散曲線,等效彈性模量分別取10 GPa,15 GPa,20 GPa,25 GPa和30 GPa．圖中顯示隨著頻率增加,同一圖形化結(jié)構(gòu)的不同等效彈性模量會對頻散曲線產(chǎn)生影響．具體表現(xiàn)為在相同的頻率下,等效彈性模量越低的薄膜,聲表面波的相速度衰減越快,曲線斜率越大．仿真曲線最接近等效彈性模量為20 GPa的理論曲線,精確匹配后得到其等效彈性模量Ef為18.74 GPa．由于薄膜厚度也是影響頻散曲線的一個參量,圖9所示為表面波沿Si[100]晶向傳播時,圖形化薄膜厚度對色散關系的影響．計算時選取單大馬士革薄膜(VCu∶Vlow-k=1∶3),膜厚分別取50 nm,100 nm,200 nm,300 nm,500 nm和1 000 nm．圖中顯示在相同的頻率下,薄膜厚度越大表面波傳播速度衰減越快．因此在條件允許的情況下,增加薄膜淀積厚度可以增大色散曲線的曲率,有助于提高測量精度．本文綜合考慮集成電路布線結(jié)構(gòu)的研發(fā)挑戰(zhàn)和需求,后文選擇100 nm作為研究的薄膜厚度．

圖8 膜厚為300 nm下表面波在表1編號⑥對應雙大馬士革 圖9 表面波沿Si[100]晶向傳播時單大馬士革薄膜 薄膜中沿Si[100]晶向傳播的理論和仿真色散曲線 (表4編號⑤)厚度對色散關系的影響Fig. 8 Theoretical and simulated dispersion curves of surface Fig. 9 Influences of the single damascene film thickness acoustic waves propagating along the Si[100] direction (case ⑤ in table 4) on the dispersion relation for the in the dual damascene film corresponding to case ⑥ in surface wave propagating along the Si[100] direction table 1 with a film thickness of 300 nm

2.2 能量法驗證

能量法[28]可以同時考慮細觀和宏觀兩種尺度推導得到復合材料的等效性能．等效體的應力和應變分別等于圖形化結(jié)構(gòu)的平均應力和應變,結(jié)構(gòu)應變能為

(24)

式中,V代表結(jié)構(gòu)體積;Ω為不同材料所占區(qū)域;σij和εij分別為應力與應變．假定結(jié)構(gòu)沿x方向的正應變?yōu)?,其他方向為0時,應變能可以表示為

(25)

結(jié)果表明圖形化薄膜等效彈性模量隨Cu材料占比增加而增大,這一現(xiàn)象是符合實際物理規(guī)律的．值得注意的是,當Cu體積占比達到薄膜90%時,等效彈性模量為63.50 GPa,大約為Cu材料(130 GPa)的二分之一,表明由于low-k材料的存在,導致Cu/low-k圖形化薄膜整體機械性能惡化．橫向?qū)Ρ葍杀砥ヅ浣Y(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)等效彈性模量還與薄膜具體結(jié)構(gòu)相關．以表3中編號⑩為例,其體積比(VCu∶Vlow-k=1.9∶1)位于表4編號⑦(VCu∶Vlow-k=1∶1)和表4編號⑧(VCu∶Vlow-k=2∶1)之間,但等效彈性模量(47.74 GPa)并不在21.79 GPa和30.52 GPa之間,其他相同情況在表3中用黑體標明．因此,材料組分和具體結(jié)構(gòu)均為影響薄膜等效彈性模量的因素,在相同體積比情況下,雙大馬士革結(jié)構(gòu)普遍具有比單大馬士革結(jié)構(gòu)更高的機械強度,隨著low-k材料的減少,這種規(guī)律體現(xiàn)愈發(fā)明顯．聲表面波法測量雙大馬士革和單大馬士革薄膜的相對誤差均在5%以內(nèi),最大相對誤差分別為3.90%和4.25%,平均相對誤差分別為2.06%和2.27%．因此在誤差允許范圍內(nèi)表面波法可以用于表征圖形化薄膜機械特性．

表3 雙大馬士革薄膜(hf=300 nm)等效彈性模量匹配結(jié)果

表4 單大馬士革薄膜(hf=100 nm)等效彈性模量匹配結(jié)果

3 結(jié) 論

本文結(jié)合分層材料等效彈性性質(zhì)理論、超聲表面波理論和有限元仿真完成了圖形化薄膜機械特性的量化表征．研究結(jié)果表明:在考慮互連材料均為各向同性時,單大馬士革薄膜可以等效為橫觀各向同性結(jié)構(gòu),且彈性對稱軸垂直于組分材料的交界面;雙大馬士革薄膜可以視為不同單大馬士革薄膜在厚度方向的雙層疊加,并最終等效為正交各向異性結(jié)構(gòu)．本文基于聲表面波方法對圖形化薄膜的表征解決了現(xiàn)有表面波技術(shù)只能測量同種材料參數(shù)的問題,多個數(shù)值算例的匹配結(jié)果均有較高的準確率,研究結(jié)果對于選擇low-k材料和發(fā)展化學機械拋光工藝具有重要指導意義．考慮目前l(fā)ow-k材料在制備過程中通過引入孔隙進一步降低介電常數(shù)的情況,未來將進一步細致研究孔隙結(jié)構(gòu)及分布對多孔low-k介質(zhì)與金屬引線圖形化集成結(jié)構(gòu)的機械特性．