基于整體觀構(gòu)建的探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)

[摘 ?要] 如何設(shè)計有效的教學(xué)情境和活動，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，從而豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)能力，是一線教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的重要內(nèi)容. 文章從數(shù)學(xué)文化視角，整體觀構(gòu)建的方式，以“利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”為例，嘗試探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué);整體觀;數(shù)學(xué)文化

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程. 具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論. 數(shù)學(xué)探究活動是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.”[1]如何設(shè)計有效的數(shù)學(xué)探究活動，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，從而豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)能力？如何將每堂課的知識置于整體知識體系中，注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性？筆者在2021年參加“浙江省高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動”的比賽中，通過對“利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”這一內(nèi)容備課、磨課、賽課，對探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)有了新的認(rèn)識和體驗.

分析教學(xué)內(nèi)容，解讀育人功能

“利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”是人教A版（2019年版）高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章第四節(jié)“三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”中的“探究與發(fā)現(xiàn)”（P208—P209）的內(nèi)容，前承正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，下啟正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象. 一方面，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)與其他函數(shù)一致，按照“從函數(shù)的定義到畫函數(shù)的圖象，再到討論函數(shù)的性質(zhì)，最后到函數(shù)模型的應(yīng)用”的順序展開，學(xué)生對研究三角函數(shù)的性質(zhì)有了一定的經(jīng)驗積累. 教科書在后面一節(jié)“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象”中一開始設(shè)置了兩個問題引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的研究經(jīng)驗進(jìn)行概括和總結(jié)，并嘗試用不同的方法進(jìn)行創(chuàng)造性實(shí)踐，歸納了兩種思路：一是先從三角函數(shù)的定義出發(fā)，借助單位圓得到函數(shù)的圖象，再利用圖象直觀研究函數(shù)的性質(zhì);二是從定義出發(fā)，先分析得到函數(shù)的部分性質(zhì)，再結(jié)合定義和性質(zhì)得到函數(shù)的圖象，從而獲得函數(shù)的其他性質(zhì). 了解這些思路，可以更有效地研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全面深入理解數(shù)形結(jié)合思想. 所以本節(jié)課內(nèi)容在研究方法上有著承上啟下的作用.

另一方面，《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“三角函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)發(fā)揮單位圓的作用，利用圓的幾何性質(zhì)，借助單位圓的直觀，探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).”[1]正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一對起源于圓周運(yùn)動，密切配合的周期函數(shù)，其基本性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)（主要是對稱性）的直接反映[2]，教材中的任意角、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象、三角函數(shù)的性質(zhì)等教學(xué)內(nèi)容都可以用單位圓作為直觀工具. 本節(jié)課內(nèi)容在引導(dǎo)學(xué)生自主利用單位圓這一工具探究三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，提升發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力方面有著重要作用，也是讓學(xué)生學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合法思考和解決問題的好機(jī)會.

探究教學(xué)以學(xué)生自主探索、動手實(shí)踐、合作交流的方式，把課堂知識的接受者轉(zhuǎn)變?yōu)橹黧w學(xué)習(xí)者，搭建數(shù)學(xué)探究生本“舞臺”，從而實(shí)現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，每位學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中都有收獲，最終落實(shí)核心素養(yǎng).

分析學(xué)情教情，制定教學(xué)策略

高一學(xué)生對圓的性質(zhì)、相似三角形的有關(guān)知識、函數(shù)的性質(zhì)的研究有一定的經(jīng)驗和認(rèn)知，然而前面學(xué)習(xí)的函數(shù)都有運(yùn)算的背景，其解析式都有明確的運(yùn)算含義. 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系則與眾不同，角是自變量，單位圓上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值分別是余弦函數(shù)值、正弦函數(shù)值，拉大了與學(xué)生已有經(jīng)驗的距離. 究其本質(zhì)，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系實(shí)際上是幾何元素間的對應(yīng)關(guān)系. 教師要幫助學(xué)生突破對應(yīng)關(guān)系這一認(rèn)知難點(diǎn)，先要引領(lǐng)學(xué)生搞清楚正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的三要素，明確給定一個角后該如何得到對應(yīng)的函數(shù)值，再進(jìn)一步探究其性質(zhì).

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)就是周期性，它們也是研究一般周期運(yùn)動的基礎(chǔ)模型. 本節(jié)課從生活中的周期運(yùn)動變化現(xiàn)象開始，到數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家為探索運(yùn)動規(guī)律做出的努力，激勵學(xué)生跳出圖象的舒適區(qū)，“像歐拉一樣思考”，穿越時空與數(shù)學(xué)家對話，碰撞出思維的火花. 通過圓周運(yùn)動到單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的分析，使得研究對象簡單化、本質(zhì)化，通過學(xué)生操作確認(rèn)單位圓上點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)中各變量間的關(guān)系獲得對應(yīng)關(guān)系，突破難點(diǎn)，有助于學(xué)生理解和掌握知識.

本節(jié)課整個探究過程由整體觀引領(lǐng)，項目化推進(jìn)，“問題串”聯(lián)動，采取基于情境、問題導(dǎo)向的探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)，激勵學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考，發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性，借助單位圓對稱的幾何直觀，幫助學(xué)生探索正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，建立學(xué)生對知識方法的整體觀，發(fā)展學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

整體建構(gòu)知識，項目推進(jìn)探究

1. 在運(yùn)動變化中感悟周期運(yùn)動

師：生活中許多運(yùn)動變化呈現(xiàn)出循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，比如月相（展示月相變化視頻）以及由月地日三者運(yùn)動造成的潮汐（展示潮汐變化視頻）.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然兩者都有循環(huán)往復(fù)的規(guī)律，可是周期卻不一樣.

教師展示數(shù)學(xué)史發(fā)展鏈條（如圖1所示），講述數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家為量天測海、探索周期運(yùn)動做出的努力.

師：我們在前面已經(jīng)通過單位圓定義了三角函數(shù)，作出了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象研究過它們的性質(zhì). 今天我們在單位圓中反思正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，看看兩者有著如何緊密的聯(lián)系！

設(shè)計意圖 通過“月相”“潮汐”引出周期運(yùn)動變化以及古人為研究做出的努力，一方面可以使學(xué)生感受豐富多彩的數(shù)學(xué)文化，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣;另一方面也有助于學(xué)生理解三角函數(shù)的定義和思想方法，與數(shù)學(xué)家共鳴.

2. 在項目化研究中推進(jìn)

以項目化學(xué)習(xí)的形式組織學(xué)生探究、分享. 在小組討論、生生交流、師生交流的過程中經(jīng)歷火熱思考、大膽質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題;探究成果體現(xiàn)在學(xué)生對知識的理解上，即清楚地了解知識的來龍去脈，觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)，達(dá)到舉一反三的目的. 項目化學(xué)習(xí)單（以“項目1：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域”為例）如圖2所示.

“利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”

——項目化學(xué)習(xí)單

項目1：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域

問題1：“性質(zhì)是什么？”——回顧性質(zhì);

問題2：“你是從單位圓的什么地方發(fā)現(xiàn)這一性質(zhì)的？”——指向明確地促使學(xué)生認(rèn)真審視手中的單位圓工具，在探究過程中感悟單位圓工具的強(qiáng)大性;

問題3：“前面所學(xué)的哪些知識反映了這一性質(zhì)？”——梳理知識鏈條，建立學(xué)生知識方法的整體觀.

（1）項目1：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域.

小組合作探究，匯報成果.

師：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域是什么？

生1：定義域是R.

師：你是從單位圓的什么地方發(fā)現(xiàn)這一性質(zhì)的？

生2：單位圓中的角，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，逆時針旋轉(zhuǎn)為正角.

師：角是如何與實(shí)數(shù)對應(yīng)起來的？

生3：弧度制.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)單位圓中正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的自變量——角的變化，逆時針旋轉(zhuǎn)為正角，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，回顧任意角與弧度制的對應(yīng).

（2）項目2：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最值.

小組合作探究，匯報成果.

師：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值是什么？

生4：最大值是1，最小值是-1.

師：你是從單位圓的什么地方發(fā)現(xiàn)這一性質(zhì)的？

生5：角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為余弦函數(shù)值，縱坐標(biāo)為正弦函數(shù)值，當(dāng)角旋轉(zhuǎn)時，其變化范圍都是[-1，1].

師：那么正弦函數(shù)當(dāng)角旋轉(zhuǎn)到什么位置時取到最大值？

生6：y軸正半軸.

類似完成最值成立條件.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生回顧定義，發(fā)現(xiàn)單位圓中正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的函數(shù)值隨角旋轉(zhuǎn)而變化.

（3）項目3：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性.

小組合作探究，匯報成果.

師：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期是什么？

生7：2π.

師：你是從單位圓的什么地方發(fā)現(xiàn)這一性質(zhì)的？

生8：當(dāng)角的終邊繞單位圓旋轉(zhuǎn)時，橫坐標(biāo)呈現(xiàn)1→0→-1→0→1→…的變化規(guī)律，縱坐標(biāo)呈現(xiàn)0→1→0→-1→0→…的變化規(guī)律，這一規(guī)律每轉(zhuǎn)一圈就重復(fù)出現(xiàn)，而角旋轉(zhuǎn)一圈即為2π.

師：研究其周期性對后續(xù)研究有什么好處？

生9：清楚一個周期上函數(shù)的性質(zhì)，那么整個定義域上函數(shù)的性質(zhì)就完全清楚了，因此可以化無限為有限，簡化研究.

師：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性源于圓上點(diǎn)運(yùn)動的周期性，圓是刻畫圓周運(yùn)動的一個非常好的模型.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生體會圓是刻畫圓周運(yùn)動的完美模型.

（4）項目4：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性.

小組合作探究，匯報成果.

師：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性是什么？

生10：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).

師：你是從單位圓的什么地方發(fā)現(xiàn)這一性質(zhì)的？

生11：角x和角-x的終邊關(guān)于u軸對稱，它們與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即cos（-x）=cosx，sin（-x）=-sinx.

師：研究其奇偶性對后續(xù)研究有什么好處？

生12：可以將有限的區(qū)間再減為原來的一半，進(jìn)一步簡化研究.

師：這反映了前面所學(xué)的哪些知識？

生13：誘導(dǎo)公式.

師：誘導(dǎo)公式研究的是什么問題？

生14：研究的是當(dāng)兩個角的終邊具有特殊的對稱關(guān)系時，正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的關(guān)系.

延伸探究：在單位圓中探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱中心和對稱軸.

學(xué)生利用終邊關(guān)于u軸、v軸對稱的兩個角，操作演示正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱中心和對稱軸.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生利用圓的對稱性研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱性.

（5）項目5：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性.

小組合作探究，匯報成果.

師：你是從單位圓的什么地方發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的？

學(xué)生演示操作當(dāng)角的終邊旋轉(zhuǎn)時，橫、縱坐標(biāo)的變化情況，得出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生在變化中發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性.

3. 在整體觀下拓展

利用單位圓，我們還可以研究什么問題？

生15：在單位圓中研究正切函數(shù).

生16：研究不等關(guān)系，比如解不等式sinx>cosx.

生17：研究y=sinx+cosx這種類似的正弦、余弦組合函數(shù)的奇偶性、最值、單調(diào)性.

教師組織學(xué)生就出現(xiàn)的問題做簡要的研究和討論. 總結(jié)之余，推廣到一般的周期模型（引出傅里葉級數(shù)），以及多項式擬合正弦、余弦函數(shù)（引出泰勒展開式），完成本節(jié)課整體知識結(jié)構(gòu)框圖（見圖3）.

設(shè)計意圖 知識總結(jié)，學(xué)以致用.

4. 回顧小結(jié)中提升

師生就本節(jié)課的研究方法作總結(jié)（見圖4）.

教學(xué)過程反思，建立探究模式

章建躍先生在《從整體性上把握好數(shù)學(xué)內(nèi)容》中指出：“把握好整體性，對內(nèi)容的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)了如指掌，心中有一張‘聯(lián)絡(luò)圖，才能把準(zhǔn)教學(xué)的大方向，使教學(xué)有的放矢. 也只有這樣，才能使學(xué)生學(xué)到結(jié)構(gòu)化、聯(lián)系緊密、遷移能力強(qiáng)的知識. ”[3]本節(jié)課從學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平出發(fā)，在新知與舊知的銜接點(diǎn)和生長點(diǎn)，利用項目單設(shè)計的問題鏈，以小組討論活動為載體，幫助學(xué)生將復(fù)雜的探究活動拆分成更易操作的探究步驟，自然、高效地完成探究活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，建立學(xué)生的知識整體觀，真正做到眼里有學(xué)生，有利于落實(shí)學(xué)生的主體地位，有利于落實(shí)立德樹人根本任務(wù).

在本節(jié)課中，學(xué)生通過活動參與，類比歸納，再現(xiàn)當(dāng)年數(shù)學(xué)家的研究場景，“看”出來、“比劃”出來、“討論”出來重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，這都是直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展的地方. 雖然計算機(jī)軟件演示可能更直觀，但是親手操作卻讓人刻骨銘心[4][5]，適用性也更廣，這不僅為不同層次的學(xué)生提供了積累數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗和能力的平臺，也為學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展提供了可能.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

[3] 章建躍. 從整體性上把握好數(shù)學(xué)內(nèi)容[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2010（03）：50.

[4] 龐海燕. HPM視角下“解析幾何序言課”實(shí)踐與研究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（09）：9-12.

[5] 龐海燕，王芳，余慶純. 基于歷史名題的高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課教學(xué)——以“阿基米德三角形”引領(lǐng)的“圓錐曲線的方程”單元復(fù)習(xí)課為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（04）：7-11.