基于分形齒面粗糙度的雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度研究

陳 亮, 樊智敏, 尹兆明, 曲 偉, 張?jiān)湃?/p>

(青島科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 山東 青島 266061)

傳統(tǒng)的齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算采用能量法[1-2]與有限元法[3-4]，大部分未考慮到齒面形貌對(duì)齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響.齒輪由于其加工特點(diǎn)，齒面通常會(huì)存在一定的粗糙度，類似于許多微凸體在齒面分布，這一齒面形貌具有微凸體在小區(qū)域內(nèi)隨機(jī)分布、在整體范圍內(nèi)卻自相似性分布的特征，因此運(yùn)用M-B分形理論對(duì)嚙合剛度進(jìn)行研究可以從理論上系統(tǒng)地分析齒面形貌參數(shù)對(duì)齒輪嚙合剛度的影響.

目前通過分形理論求解結(jié)合面接觸剛度的研究已取得了諸多成果.張學(xué)良等[5]提出了根據(jù)分形理論的機(jī)械結(jié)合面法向接觸剛度求解模型，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證.Buczkowski等[6]通過W-M函數(shù)對(duì)已有分形模型進(jìn)行修正，提出了基于分形理論的結(jié)合面法向接觸剛度求解的新型模型，并對(duì)粗糙平面試件進(jìn)行了試驗(yàn)，驗(yàn)證了模型合理性.黃康等[7]基于分形理論，通過分析一對(duì)圓柱體之間接觸與分形理論中假設(shè)模型接觸的不同，構(gòu)建了表面接觸系數(shù)表達(dá)式，提出了一對(duì)圓柱體之間接觸的分形接觸模型.李小彭等[8]考慮摩擦因素，給出了含摩擦系數(shù)的微凸體由彈性變形到塑性變形時(shí)臨界變形面積公式，剖析了摩擦系數(shù)等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定性的影響.

隨著研究的不斷深入，部分學(xué)者將分形理論運(yùn)用到齒輪嚙合剛度求解研究當(dāng)中.劉鵬等[9]結(jié)合分形理論在圓柱體表面接觸的應(yīng)用，考慮齒面摩擦以及齒面微觀因素等，求解了微線段齒輪的嚙合剛度.王曉鵬等[10]結(jié)合分形理論在圓柱體表面接觸應(yīng)用，計(jì)算了發(fā)生微點(diǎn)蝕的齒輪嚙合剛度.楊榮松等[11]采用W-M函數(shù)與曲面分形接觸模型，給出了考慮摩擦系數(shù)、不同曲率半徑和粗糙度的擺線針輪接觸剛度分形模型.

雙漸開線齒輪是綜合漸開線齒輪與圓弧齒輪優(yōu)點(diǎn)的一種新型齒輪[12]，其齒廓包含上下齒面漸開線、連接兩段漸開線的齒腰過渡曲線和齒根過渡曲線，因其嚙合傳動(dòng)時(shí)齒腰分階位置輪齒不參與嚙合，一般制成斜齒輪.由于漸開線斜齒輪副與雙漸開線齒輪副不能直接等效為圓柱體接觸，所以上述研究方法并不能很好地應(yīng)用于這類齒輪嚙合剛度分析.目前，雙漸開線齒輪接觸問題通常等效為一對(duì)反向階梯圓錐滾子接觸進(jìn)行分析[13]，并主要采用赫茲接觸理論與有限元法[14-17]對(duì)齒輪接觸特性研究，未考慮齒面形貌對(duì)齒輪接觸特性的影響.由工程實(shí)踐可知，齒面形貌是影響齒輪摩擦磨損和接觸疲勞等性能至關(guān)重要的因素[18].本文中考慮齒面微觀形貌與摩擦，結(jié)合一對(duì)反向階梯圓錐滾子接觸模型，將每一嚙合時(shí)刻下齒輪接觸線“分段”，每段接觸線上的接觸等效為圓柱體接觸，并基于M-B分形理論與赫茲接觸理論，建立考慮分形齒面粗糙度的雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度模型，分析齒面形貌參數(shù)與摩擦系數(shù)等對(duì)齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響.本文中所建立分形模型對(duì)雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度預(yù)估與齒輪加工工藝及材料選取等提供了理論依據(jù).

1 雙漸開線齒輪粗糙表面接觸模型

1.1 雙漸開線齒輪副的真實(shí)接觸面積

雙漸開線齒輪基本齒廓參數(shù)如圖1所示，mn為法面模數(shù)；αa和αd分別為齒頂區(qū)域和齒根區(qū)域齒形角；和分別為齒頂區(qū)域和齒根區(qū)域切向變位系數(shù)；l?a和分別為齒腰過渡圓弧齒頂區(qū)域和齒根區(qū)域高度系數(shù)；ρg和ρf分別為齒根區(qū)域和齒腰區(qū)域過渡圓弧半徑；為齒頂高系數(shù)；c*為頂隙系數(shù).

Fig.1 Basic tooth profile of double involute gear圖1 雙漸開線齒輪基本齒廓

雙漸開線齒輪副中一對(duì)輪齒在t時(shí)刻嚙合時(shí)，可近似等效為一對(duì)反向階梯圓錐滾子接觸[13]，如圖2所示.考慮齒輪在嚙合過程中輪齒齒面上相同嚙合時(shí)刻下不同嚙合位置以及不同嚙合時(shí)刻下相同嚙合位置的嚙合狀態(tài)均表現(xiàn)出一定的差異.考慮粗糙齒面接觸，結(jié)合M-B分形理論與圓柱體分形接觸模型，為研究一對(duì)輪齒在t時(shí)刻沿接觸線方向不同位置接觸問題，圖2中將其沿接觸線li(t)等效為m對(duì)圓柱體接觸，第j對(duì)圓柱體的半徑分別為主動(dòng)輪曲率半徑和從動(dòng)輪曲率半徑，有效接觸長度為，ω1為主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)角速度，ω2為從動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)角速度.

圖3所示為t時(shí)刻雙漸開線齒輪接觸線在基圓柱上的展開圖，其中CDC'D'區(qū)域?yàn)辇X腰分階位置輪齒不參與嚙合區(qū)域，βbp和βbg為基圓螺旋角，Pbt為端面基節(jié)，B為齒寬.

雙漸開線齒輪端面重合度大于軸向重合度時(shí)，接觸線li(t)長度可表示為

Fig.2 Simplified contact model of a pair of reverse step tapered rollers圖2 簡化后一對(duì)反向階梯圓錐滾子接觸模型

Fig.3 Expanded view of contact on the base cylinder圖3 接觸線在基圓柱上展開圖

式中：rb1為主動(dòng)輪基圓半徑，N1N1'N2N2'為理論嚙合區(qū)域，B2B'2B1B'1為實(shí)際嚙合區(qū)域，N1和N2分別為齒輪的理論嚙入點(diǎn)和嚙出點(diǎn)，P為節(jié)點(diǎn)，B2和B1分別為齒輪的實(shí)際嚙入點(diǎn)和嚙出點(diǎn)，C和D分別為齒根分階點(diǎn)和齒頂分階點(diǎn)，E、F、G和H分別為接觸線變化的特殊節(jié)點(diǎn)，Δl為齒腰分階位置損失掉的接觸線長度[19]，

基于接觸線百分比法，t時(shí)刻第i條接觸線上第j段上的載荷為

式中：Pn為法向載荷，Pn=Tp/(rbp·cosβbp)，Tp為主動(dòng)輪輸入轉(zhuǎn)矩，rbp為主動(dòng)輪基圓半徑，假定t時(shí)刻下有n對(duì)輪齒同時(shí)嚙合，LZ(t)為t時(shí)刻總接觸線長度為

主動(dòng)輪曲率半徑為

式中：l為t時(shí)刻第i條接觸線上第j段沿接觸線方向到N1N2的距離，lCC′、lDD′以及l(fā)≥lB1B′1分別為t時(shí)刻第i條接觸線沿接觸線方向從N1N2到CC'、DD'以及B1B'1的距離.

M-B分形理論中所給出的模型是將粗糙表面的接觸簡化為1個(gè)粗糙平面與1個(gè)理想光滑平面之間接觸，考慮到等效模型為m對(duì)圓柱體接觸，引入表面接觸系數(shù)[20](t)為

式中：E為齒輪綜合彈性模量，E=1/[(1?)/Ep+(1?)/Eg]，Ep為主動(dòng)輪彈性模量，Eg為從動(dòng)輪的彈性模量，υp為主動(dòng)輪的泊松比，υg為從動(dòng)輪的泊松比.

結(jié)合圓柱體分形接觸模型，接觸線li(t)上第j對(duì)等效圓柱體粗糙表面接觸的微凸體分布函數(shù)nij(t,a)為

式中：a為此對(duì)圓柱體接觸面上微凸體接觸面積，為此對(duì)圓柱體接觸面上微凸體最大接觸面積，D為分形維數(shù)，Ψ為齒面微凸體大小位置分布的域擴(kuò)展因子，物理意義見文獻(xiàn)[21]，其滿足下列超越方程：

1.2 考慮粗糙度的法向載荷

在M-B分形接觸模型中，微凸體未發(fā)生接觸時(shí)的二維形貌可由如下數(shù)學(xué)表達(dá)式[22]擬合：

式中：G為粗糙度幅值.

由式(12)可知，微凸體接觸變形量δ為

根據(jù)文獻(xiàn)[8]可得，考慮摩擦的情況下，雙漸開線齒輪齒面上微凸體在接觸過程中由彈性變形轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄宰冃螘r(shí)的臨界面積ac為

式中：?為雙漸開線齒輪材料的特性參數(shù)，?=σy/E，σy為雙漸開線齒輪材料屈服強(qiáng)度，kμ為摩擦力修正因子，其表達(dá)式為

式中：μ為摩擦系數(shù).

通過赫茲理論與式(13)，可以得到齒面上單個(gè)微凸體在彈性變形時(shí)載荷表達(dá)式為

當(dāng)齒面接觸過程中，齒面上微凸體實(shí)際接觸面積最大值al大于齒面上彈塑性變形臨界面積ac時(shí)，其處于彈塑性變形階段；當(dāng)al小于ac時(shí)，其處于塑性變形階段.根據(jù)式(8)、式(14)和式(16)可推導(dǎo)t時(shí)刻接觸線li(t)上第j對(duì)等效圓柱體真實(shí)接觸面積與載荷關(guān)系如下：

當(dāng)al>ac時(shí)：

①D≠1.5

②D=1.5

當(dāng)al

t時(shí)刻雙漸開線齒輪真實(shí)接觸面積與齒面法向載荷關(guān)系的無量綱形式為

1.3 考慮粗糙度的嚙合剛度

根據(jù)式(13)和(16)，得齒面上單個(gè)微凸體的接觸剛度為

通過式(8)、式(14)和式(22)可推導(dǎo)t時(shí)刻接觸線li(t)上第j對(duì)等效圓柱體真實(shí)接觸面積與接觸剛度關(guān)系為

2 分形模型與有限元模型對(duì)比及驗(yàn)證

雙漸開線齒輪副基本參數(shù)列于表1中.

表1 齒輪主要參數(shù)Table 1 Main parameters of gears

2.1 雙漸開線齒輪表面接觸系數(shù)合理性分析

假設(shè)雙漸開線齒輪接觸線li(t)上第j對(duì)等效圓柱體受 法 向 載 荷=1 kN，=80 mm，E=150 GPa，=60 mm，可變，圖4所示為關(guān)系曲線圖.由圖4可知：的數(shù)值始終在大于0小于1的范圍中，這是因?yàn)榻o定的兩圓柱體接觸并非無限區(qū)域接觸，所以一對(duì)圓柱體表面接觸的微凸體個(gè)數(shù)小于M-B分形理論中模型接觸的微凸體個(gè)數(shù)；隨著的增加而增加.此結(jié)論與文獻(xiàn)[20]結(jié)果相符，所以選取合理.

Fig.4 relational graph圖4 關(guān)系曲線圖

Fig.5 Surface contact coefficient distribution of double involute gears 圖5 雙漸開線齒輪表面接觸系數(shù)分布

2.2 分形模型與ISO標(biāo)準(zhǔn)、有限元模型仿真對(duì)比

在分形模型中，假設(shè)Ra=1.6 μm，根據(jù)文獻(xiàn)[23]中所述，確定分形維數(shù)D=1.51，粗糙度幅值G=10?6，通過式(17)~(21)可求出在一定齒面法向載荷下雙漸開線齒輪在t時(shí)刻每段接觸線上真實(shí)接觸面積，再代入式(23)與(24)中，得到t時(shí)刻下的齒輪嚙合剛度.

使用Matlab軟件仿真，雙漸開線齒輪有限元網(wǎng)格劃分如圖6所示，為避免較高的計(jì)算資源要求，考慮齒輪端面重合度接近于3，采用5齒嚙合模型.通過對(duì)主動(dòng)輪施加轉(zhuǎn)矩，固定從動(dòng)輪的方式，得到主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角變形量Δθ，從而求出齒輪扭轉(zhuǎn)嚙合剛度KT(t)，齒輪嚙合剛度可以通過扭轉(zhuǎn)嚙合剛度與嚙合剛度之間的轉(zhuǎn)換表達(dá)式求出[24].

Fig.6 Schematic diagram of double involutegear finite element meshing圖6 雙漸開線齒輪有限元網(wǎng)格劃分示意圖

齒輪扭轉(zhuǎn)嚙合剛度KT(t)為

通過仿真，得到有限元仿真數(shù)據(jù)列于表2中.

表2 雙漸開線齒輪有限元仿真數(shù)據(jù)Table 2 Finite element simulation data

同時(shí)對(duì)同參數(shù)普通漸開線斜齒輪進(jìn)行仿真，并采用ISO 6336-1:2006 (E)[25-26]對(duì)其求解，其計(jì)算公式如下：

式中：z1為主動(dòng)輪齒數(shù)，z2為從動(dòng)齒輪齒數(shù).

圖7所示為雙漸開線齒輪與同參數(shù)普通漸開線斜齒輪在分形模型與有限元模型和ISO 6336-1:2006 (E)方法下的時(shí)變嚙合剛度計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖.由圖7可知，單齒嚙合剛度均隨嚙合時(shí)間的增加而先增大后減??；在相同嚙合時(shí)間條件下，分形模型計(jì)算出的齒輪嚙合剛度小于有限元模型中所求數(shù)值，但為同一數(shù)量級(jí)，這是由于在有限元模型齒面中為理想光滑曲面，未考慮齒面粗糙度，齒面接觸面積較大，使得在相同載荷作用下，齒面變形量較??；在相同計(jì)算模型下，雙漸開線齒輪比普通漸開線斜齒輪的單齒嚙合剛度要略大一點(diǎn)；分形模型中普通漸開線斜齒輪的單齒嚙合剛度最大值為2.915 62×109N/m，有限元模型中普通漸開線斜齒輪的單齒嚙合剛度最大值為3.829 95×109N/m，而采用ISO 6336-1:2006 (E)計(jì)算出的普通漸開線斜齒輪的單齒嚙合剛度最大值為3.215 33×109，本文中所提出的分形模型計(jì)算結(jié)果與ISO計(jì)算結(jié)果更為接近，之間的誤差在9.4%以內(nèi).通過以上比較，表明所建分形模型合理可靠.

Fig.7 Results comparison chart圖7 結(jié)果對(duì)比圖

為了便于觀察分形模型中雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度變化趨勢，通過6次多項(xiàng)式對(duì)分形模型單齒嚙合剛度曲線進(jìn)行擬合，雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度如圖8所示.

Fig.8 Time-varying meshing stiffness Kn(t) of double involute gears in fractal model 圖8 分形模型中雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度，Kn(t)

3 雙漸開線齒輪分形模型影響因素分析

改變不同參數(shù)數(shù)值(如摩擦系數(shù)、齒輪材料的特性參數(shù)、分形維數(shù)以及粗糙度幅值)，探究雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度與各參數(shù)之間的相互關(guān)系與變化規(guī)律.

3.1 摩擦系數(shù)μ與雙漸開線齒輪嚙合剛度的關(guān)系

圖9所示為?=0.005，D=1.51，G=10?6時(shí)，摩擦系數(shù)μ與齒面法向載荷對(duì)雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響.由圖9可知，隨著橫坐標(biāo)載荷增大，齒輪嚙合剛度提高；同載荷條件下，隨著摩擦系數(shù)μ增大，齒輪嚙合剛度降低.由式(14)可知，摩擦系數(shù)μ增大，導(dǎo)致齒面上微凸體彈塑性變形的臨界面積ac增大，即輪齒在嚙合過程中彈性接觸面積占比增大，所以使齒輪嚙合剛度提高.從圖9中還可以發(fā)現(xiàn)，摩擦系數(shù)μ的數(shù)值在(0.1~0.3)范圍時(shí)，齒輪嚙合剛度受摩擦系數(shù)μ的變化影響較??；當(dāng)摩擦系數(shù)μ的數(shù)值在(0.3~0.9)范圍時(shí),齒輪嚙合剛度受摩擦系數(shù)μ的變化影響較大.這一分析結(jié)論與文獻(xiàn)[9]中的模型仿真結(jié)果吻合，同時(shí)也驗(yàn)證了本模型的正確性.

3.2 齒輪材料特性與雙漸開線齒輪嚙合剛度的關(guān)系

圖10所示為μ=0.02，D=1.51，G=10?6時(shí)，齒輪材料的特性參數(shù)?與齒面法向載荷對(duì)雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響.由圖10可知，同載荷條件下，隨著齒輪材料的特性參數(shù)?增加，嚙合剛度提高.因此，齒輪材料的特性參數(shù)?與嚙合剛度為正比例關(guān)系.由式(14)可知，齒輪材料的特性參數(shù)?增加，即齒輪材料的屈服極限σy增加，使輪齒在嚙合過程中彈性接觸面積占比增大，所以齒輪嚙合剛度提高.

Fig.9 The relationship between friction factor μ and meshing stiffness圖9 摩擦系數(shù)μ與嚙合剛度的關(guān)系

Fig.10 The relationship between the characteristic parameters of the gear material ? and the meshing stiffness圖10 齒輪材料的特性參數(shù)?與嚙合剛度的關(guān)系

3.3 分形維數(shù)D與雙漸開線齒輪嚙合剛度的關(guān)系

Fig.11 The relationship between fractal dimension D and meshing stiffness圖11 分形維數(shù)D與嚙合剛度的關(guān)系

圖11所示為μ=0.02，?=0.005，G=10?6時(shí)，分形維數(shù)D與齒面法向載荷對(duì)雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響.由圖11可知，同載荷條件下，雙漸開線齒輪嚙合剛度隨分形維數(shù)D的增加而提高.這是由于分形維數(shù)D的增加導(dǎo)致齒面粗糙度降低，齒面變得較為光滑，接觸面積增加，嚙合剛度提高.當(dāng)分形維數(shù)D<1.4時(shí)，D的取值對(duì)齒輪嚙合剛度影響較小.

3.4 粗糙度幅值G與雙漸開線齒輪嚙合剛度的關(guān)系

圖12所示為μ=0.02，?=0.005，D分別取1.5、1.6和1.7時(shí)，粗糙度幅值G與齒面法向載荷對(duì)雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響.由圖12可知，同載荷條件下，雙漸開線齒輪嚙合剛度隨粗糙度幅值G的增加而降低.通過對(duì)比圖12(a~c)可以發(fā)現(xiàn)，隨著分形維數(shù)D越大，雙漸開線齒輪嚙合剛度隨粗糙度幅值G變化的幅度越明顯.

4 結(jié)論

考慮齒面微觀形貌與摩擦，結(jié)合一對(duì)反向階梯圓錐滾子接觸模型，將每一嚙合時(shí)刻下齒輪接觸線“分段”，把每段接觸線上的接觸等效為m對(duì)圓柱體接觸，基于M-B分形理論與赫茲接觸理論，建立了包含齒面摩擦系數(shù)μ、表面接觸系數(shù)、齒面分形維度D、粗糙度幅值G和齒輪材料特性參數(shù)?等因素的雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度分形模型.

Fig.12 The relationship between roughness amplitude G and meshing stiffness圖12 粗糙度幅值G與嚙合剛度的關(guān)系

通過齒輪嚙合剛度分形模型、有限元模型與ISO 6336-1:2006 (E)結(jié)果對(duì)比分析，驗(yàn)證了所建分形模型的合理性.

通過分析齒面形貌參數(shù)與雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度關(guān)系，得出以下結(jié)論：

a.摩擦系數(shù)μ的增加，會(huì)導(dǎo)致雙漸開線齒輪輪齒嚙合剛度降低，當(dāng)摩擦系數(shù)小于0.3之后對(duì)嚙合剛度影響不大.

b.齒輪材料特性參數(shù)?的增加，使輪齒在嚙合過程中彈性接觸面積占比增大，提高了雙漸開線齒輪嚙合剛度.

c.分形維數(shù)D增加、粗糙度幅值G減小，即齒輪齒面粗糙度Ra減小，均會(huì)使雙漸開線齒輪嚙合剛度提高，但分形維數(shù)D影響更大.