考慮基底變形的金屬靜密封粗糙面接觸模型

于穎嘉, 崔 穎*, 張宏翔, 王大瑋, 鐘兢軍

(1.大連海事大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院, 遼寧 大連 116026;2.上海海事大學(xué) 商船學(xué)院, 上海 201306)

金屬靜密封具有承壓能力高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、耐高溫和耐腐蝕等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天和石油化工等領(lǐng)域[1-2].金屬靜密封由兩粗糙面接觸構(gòu)成密封界面，粗糙面上微凸體的存在使得密封界面存在孔隙，如果這些孔隙形成了泄漏通道，可能導(dǎo)致密封介質(zhì)泄漏.密封界面的壓縮量是影響泄漏通道截面尺寸的重要因素，而壓縮量與作用于密封界面的平均接觸壓力密切相關(guān).因此，建立有效的粗糙面接觸模型，研究粗糙面間的真實(shí)接觸狀況，得到壓縮量與平均接觸壓力之間的函數(shù)關(guān)系對(duì)研究密封界面的泄漏特性具有重要意義.

長(zhǎng)期以來(lái)，眾多學(xué)者對(duì)粗糙面的接觸問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究.Johnson[3]研究了剛性球體與彈性半空間體的接觸問(wèn)題，結(jié)合彈性力學(xué)與彈性空間變形規(guī)律得到平均接觸壓力與球體下降高度的關(guān)系，為研究粗糙面間的接觸問(wèn)題奠定了基礎(chǔ).Greenwood和Williamson[4]將雙粗糙面的接觸簡(jiǎn)化為剛性平面與等效粗糙面的接觸，并將微凸體簡(jiǎn)化為具有相同曲率半徑的球體，應(yīng)用Hertz接觸理論與概率統(tǒng)計(jì)原理提出GW接觸模型.由于GW模型沒(méi)有考慮微凸體的彈塑性變形與塑性變形，無(wú)法應(yīng)用于中載與重載的情況.Pawlus等[5]和Pullen等[6]對(duì)微凸體塑性變形階段進(jìn)行研究，提出粗糙面塑性接觸模型.然而，該模型只適用于重載情況，無(wú)法對(duì)中載情況下粗糙面間的接觸進(jìn)行計(jì)算.GW模型與粗糙面塑性接觸模型均忽略了微凸體的彈塑性變形，為彌補(bǔ)這一不足，Chang等[7]基于體積守恒假設(shè)，應(yīng)用GW模型的建模方法提出了CEB接觸模型.由于CEB模型中臨界屈服點(diǎn)接觸壓力發(fā)生跳躍，降低了其計(jì)算精度[8].Zhao等[9-10]對(duì)CEB模型進(jìn)行改進(jìn)，以微凸體變形的連續(xù)性假設(shè)代替體積守恒假設(shè)，考慮微凸體的彈性、彈塑性與塑性變形提出了ZMC模型，很好地解決了CEB模型的連續(xù)性問(wèn)題.李炎等[11]采用移動(dòng)平均濾波方法對(duì)實(shí)際粗糙面進(jìn)行光滑處理，應(yīng)用共軛梯度法求解表面接觸壓力與摩擦力，提高了粗糙面接觸壓力的求解速度.

然而，研究表明現(xiàn)存的統(tǒng)計(jì)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果相對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果偏大[12]，一些學(xué)者認(rèn)為這是由于現(xiàn)有模型沒(méi)有考慮粗糙面基底變形導(dǎo)致的[13-14].李治偉等[15]應(yīng)用有限元法研究了不同基底厚度對(duì)粗糙面接觸剛度的影響，研究表明基底厚度對(duì)粗糙面接觸剛度影響顯著.李玲等[16]以數(shù)控機(jī)床中的金屬結(jié)合面為研究對(duì)象，應(yīng)用彈性力學(xué)中集中載荷作用于彈性半空間體模型計(jì)算得到基體變形量，對(duì)GW模型進(jìn)行修正得到了考慮基底變形的彈性接觸模型.該模型為建立考慮基底變形的接觸模型提供了新思路，但其只適用于彈性接觸.

基于上述研究，本文作者根據(jù)連續(xù)性假設(shè)與基底嚴(yán)重變形區(qū)域理論，得到壓縮量與微凸體真實(shí)變形量的關(guān)系，建立包含基底的微凸體接觸模型；結(jié)合粗糙面微凸體高度分布規(guī)律與微凸體接觸模型提出考慮基底體變形的粗糙面接觸模型.通過(guò)與接觸模型的對(duì)比驗(yàn)證了本文中接觸模型的合理性.通過(guò)分析橫向分辨率與名義接觸面積對(duì)粗糙面平均接觸壓力的影響規(guī)律，驗(yàn)證了模型的穩(wěn)定性，為研究密封界面的泄漏特性提供理論基礎(chǔ).

1 考慮基底變形的粗糙面接觸模型

微凸體接觸模型是建立粗糙面接觸模型的基礎(chǔ).根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)接觸模型的基本假設(shè)[4]，兩微凸體的接觸可簡(jiǎn)化為剛性平面與單個(gè)微凸體的接觸，如圖1所示.

圖1中ω為壓縮量，z為微凸體高度，d為剛性平面與粗糙面基準(zhǔn)平面的距離，R為微凸體等效半徑，ωb為基底變形量.當(dāng)不考慮基底變形時(shí)，由ZMC模型可知微凸體的真實(shí)變形量與壓縮量相等，即

當(dāng)考慮基底變形時(shí)，微凸體的真實(shí)變形量ωa為

由公式(2)可知，微凸體的真實(shí)變形量為壓縮量與基底變形量的差值，若不考慮基底變形量，則導(dǎo)致微凸體真實(shí)變形量偏大.為準(zhǔn)確計(jì)算微凸體的真實(shí)變形量，需要先計(jì)算基底變形量.將微凸體與基底分開(kāi)討論，當(dāng)微凸體在受到擠壓時(shí)，基底同時(shí)受到微凸體傳遞過(guò)來(lái)的壓力，如圖2所示，p0為微凸體傳遞的接觸壓力.根據(jù)彈性力學(xué)，若應(yīng)力分布在1個(gè)特征長(zhǎng)度為2R的有限表面區(qū)域內(nèi)，則這個(gè)區(qū)域稱為嚴(yán)重變形區(qū)域，那么整個(gè)半空間體的總變形和應(yīng)力與尺寸為2R的體積在三維空間的總應(yīng)變和應(yīng)力屬于同一數(shù)量級(jí).超過(guò)這個(gè)嚴(yán)重變形區(qū)域，應(yīng)力以r-2衰減，r為遠(yuǎn)離嚴(yán)重變形區(qū)域的距離，即體積為8R3的正方體空間為能量和力的主要分布空間[17].根據(jù)嚴(yán)重變形區(qū)域理論，我們可以對(duì)基底變形量進(jìn)行評(píng)估.

1.1 微凸體彈性變形階段

隨著壓縮量的增大，微凸體的變形逐漸由彈性向完全塑性轉(zhuǎn)化.根據(jù)嚴(yán)重變形區(qū)域理論，當(dāng)基底下降ωb時(shí)，嚴(yán)重變形區(qū)域的應(yīng)變?chǔ)艦?/p>

則接觸壓力p0為

假設(shè)基底受到的接觸合力為F1，即

式中：E*為等效彈性模量.

E為粗糙面彈性模量，ν為粗糙面泊松比.由赫茲接觸可知，微凸體接觸合力F2為

微凸體的接觸合力與基底的接觸合力相等，即

聯(lián)立公式(2)與公式(7)，得到ωa與ω的關(guān)系：

由GW模型可知，當(dāng)微凸體處于彈性階段時(shí)，微凸體上平均接觸壓力Pet為

當(dāng)平均接觸壓力等于0.6H時(shí)(H為兩個(gè)粗糙面中軟質(zhì)材料的硬度)，微凸體開(kāi)始進(jìn)入屈服階段[18].根據(jù)公式(9)可導(dǎo)出微凸體進(jìn)入屈服階段的臨界變形量為

當(dāng)ωa小于ω1時(shí)，微凸體處于彈性階段，當(dāng)ωa大于等于ω1時(shí)，微凸體處于彈塑性階段或塑性階段.

1.2 微凸體塑性變形階段

定義進(jìn)入完全塑性的微凸體臨界變形量為ω2，當(dāng)ωa大于ω2時(shí)，微凸體處于完全塑性階段.根據(jù)FA模型[19]：

Fig.1 Contact deformation of asperity圖1 微凸體接觸變形

Fig.2 Severely deformed area of the substrate圖2 基底的嚴(yán)重變形區(qū)域

式中：Ppt為完全塑性階段微凸體的平均接觸壓力.

1.3 微凸體彈塑性變形階段

當(dāng)ω1≤ωa<ω2，微凸體處于彈塑性階段.為滿足微凸體變形的連續(xù)性，構(gòu)建樣板函數(shù)平滑連接微凸體的彈性階段與塑性階段.樣板函數(shù)為

樣板函數(shù)具有在邊界點(diǎn)連續(xù)可導(dǎo)的特點(diǎn)，定義兩個(gè)函數(shù)：

在邊界點(diǎn)ω1和ω2，應(yīng)用樣板函數(shù)連接Q與S：

令Q(ωa)=Pet，S(ωa)=Ppt，可以得到微凸體彈塑性階段平均接觸壓力的表達(dá)式：

式中Pept為彈塑性階段微凸體的平均接觸壓力.

1.4 粗糙面接觸模型

由GW模型可知，粗糙面上微凸體的高度服從高斯分布，則在名義接觸面An上，微凸體的個(gè)數(shù)n為

式中 ?為微凸體的面密度，Φ(z)為微凸體高度的概率密度函數(shù).當(dāng)壓縮量為ω時(shí)，粗糙面上彈塑性變形微凸體的接觸合力Fept(ω)為

粗糙面上彈性變形微凸體的接觸合力Fet為

粗糙面上塑性變形微凸體的接觸合力Fpt(ω)為

則接觸面上接觸合力Ft為

假設(shè)上粗糙面的彈性模量與泊松比分別為E1與ν1，下粗糙面的彈性模量與泊松比分別為E2與ν2，則等效彈性模量為

粗糙面的平均接觸壓力為Ft(ω)/An：

式中等效半徑R以及微凸體面密度η的計(jì)算方法參閱文獻(xiàn)[20].

2 接觸模型對(duì)比與穩(wěn)定性分析

為驗(yàn)證本文作者提出的接觸模型的合理性，首先應(yīng)用自相關(guān)函數(shù)法生成粗糙度為0.8 μm，自相關(guān)系數(shù)βx=βy=10，名義接觸面積為800 μm×800 μm的各向同性表面[21]，如圖3所示.

粗糙面彈性模量E=210 GPa，泊松比為0.33，硬度為850 MPa.ZMC模型、基于有限元法與粗糙面接觸經(jīng)驗(yàn)公式的KE接觸模型[19]與本文中模型計(jì)算得到的接觸合力如圖4所示.由圖4可知，在本文中模型計(jì)算得到的接觸合力隨壓縮量的變化關(guān)系與ZMC模型和KE模型相同.當(dāng)壓縮量較小時(shí)，三種模型的接觸合力數(shù)值差異很小，隨著壓縮量的增大，三種模型計(jì)算得到的接觸合力差異逐漸增大，且本文中模型的計(jì)算結(jié)果小于ZMC模型的計(jì)算結(jié)果.這表明，基底變形在輕載情況下對(duì)接觸面的接觸特性影響較小，在重載時(shí)對(duì)粗糙面接觸特性影響顯著.同時(shí)，在本文中模型的計(jì)算結(jié)果更接近KE模型，且考慮了基底變形對(duì)粗糙面接觸合力的影響，更貼近于工程實(shí)際，因此模型對(duì)比表明本文中模型合理有效.

Fig.3 Rough surface 3D point cloud data圖3 粗糙面三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)

Fig.4 Comparison of contact models圖4 接觸模型對(duì)比

針對(duì)粗糙接觸面，橫向分辨率和名義接觸面積是其特征參數(shù)，通常需人為選定，因而有必要分析本文中模型的計(jì)算是否對(duì)這兩個(gè)參數(shù)敏感.橫向分辨率是表征粗糙面觀測(cè)尺度的物理量，橫向分辨率越小，粗糙面體現(xiàn)的細(xì)節(jié)特征越多.在粗糙面點(diǎn)云數(shù)據(jù)中，樣本個(gè)數(shù)N為表征橫向分辨率的量，橫向分辨率越小，N越大.自相關(guān)函數(shù)法生成的點(diǎn)云數(shù)據(jù)橫向分辨率為1 μm，即在100 μm×100 μm的粗糙面上，N=100×100.因此為了研究橫向分辨率對(duì)粗糙面接觸特性的影響，應(yīng)用自相關(guān)函數(shù)法在1001 μm×1001 μm的區(qū)域生成N=1001×1001個(gè)樣本點(diǎn)，然后分別以1、2、4以及5 μm的間隔進(jìn)行采樣，間隔長(zhǎng)度即為橫向分辨率.在壓縮量為2 μm的情況下，計(jì)算得到了平均接觸壓力與橫向分辨率的關(guān)系.

如圖5所示，平均接觸壓力隨橫向分辨率的降低而逐漸升高.然而，平均接觸壓力最大上升幅值僅為0.5 MPa，隨著分辨率的降低，平均接觸壓力逐漸收斂.因此，當(dāng)橫向分辨率為1 μm時(shí)，可計(jì)算得到穩(wěn)定的平均接觸壓力值，進(jìn)而可對(duì)粗糙面接觸特性進(jìn)行準(zhǔn)確評(píng)估.同時(shí)，分別生成名義接觸面積為400 μm×400 μm、600 μm×600 μm、800 μm×800 μm和1 000 μm×1 000 μm，橫向分辨率均為1 μm的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù).應(yīng)用本文中的接觸模型對(duì)不同名義接觸面積的接觸面分別計(jì)算100次，并進(jìn)行均化處理，平均接觸壓力與壓縮量的關(guān)系曲線如圖6所示.

Fig.5 The effect of resolution on average contact pressure 圖5 分辨率對(duì)平均接觸壓力的影響

Fig.6 Relation between average contact pressure and nominal contact area 圖6 平均接觸壓力與名義接觸面積關(guān)系曲線

可見(jiàn)，當(dāng)名義接觸面積大于600 μm×600 μm時(shí)，名義接觸面的變化對(duì)平均接觸壓力影響很小.這表明，粗糙面名義接觸面積的選取應(yīng)大于600 μm×600 μm，此時(shí)本文中的粗糙面接觸模型對(duì)橫向分辨率和名義接觸面積的選取并不敏感，具有良好的穩(wěn)定性.名義接觸面積為400 μm×400 μm的接觸面計(jì)算得到的平均接觸壓力與其他三組數(shù)據(jù)偏差較大，導(dǎo)致該現(xiàn)象的原因是：在計(jì)算各向同性表面的面密度η時(shí)，需要對(duì)點(diǎn)云進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算并取平均值.對(duì)于具有相同橫向分辨率和粗糙度，接觸面名義接觸面積越大，點(diǎn)云數(shù)據(jù)越多，計(jì)算得到的面密度越準(zhǔn)確[22].因此，當(dāng)名義接觸面積為400 μm×400 μm時(shí)，由于點(diǎn)云數(shù)據(jù)較少，使得m2、m4和面密度η的計(jì)算值出現(xiàn)偏差，導(dǎo)致平均接觸壓力值出現(xiàn)誤差.

3 結(jié)論

a.根據(jù)基底的嚴(yán)重變形區(qū)域理論推導(dǎo)得到基底變形量，應(yīng)用受力平衡原理建立粗糙面壓縮量與微凸體真實(shí)變形量的關(guān)系，并提出包含基底的微凸體彈塑性接觸模型；進(jìn)而結(jié)合粗糙面微凸體高度分布規(guī)律與統(tǒng)計(jì)學(xué)原理建立考慮基底體變形的粗糙面接觸模型.

b.由本文中的模型與ZMC模型和KE模型的對(duì)比可知，本文中模型對(duì)平均接觸壓力的計(jì)算結(jié)果與ZMC模型和KE模型的計(jì)算結(jié)果具有相同的變化趨勢(shì)與量級(jí)，驗(yàn)證了本文中模型的有效性.本文中模型計(jì)算得到的平均接觸壓力在輕載時(shí)與ZMC模型的計(jì)算結(jié)果相同，隨著載荷的增大，兩種模型計(jì)算結(jié)果的分離度逐漸增加，且本文中模型的計(jì)算結(jié)果小于ZMC模型的計(jì)算結(jié)果.這表明，基底變形只在重載的情況下對(duì)接觸面的接觸狀態(tài)有顯著影響.

c.應(yīng)用本文中模型研究了橫向分辨率與名義接觸面積對(duì)接觸面平均接觸壓力的影響，結(jié)果表明，平均接觸壓力與橫向分辨率成反比，當(dāng)橫向分辨率為1 μm時(shí)，可計(jì)算得到穩(wěn)定的平均接觸壓力值；名義接觸面積的取值應(yīng)大于600 μm×600 μm，此時(shí)名義接觸面積對(duì)平均接觸壓力無(wú)影響，平均接觸壓力對(duì)橫向分辨率與名義接觸面積的變化并不敏感，這表明本文中模型具有良好的穩(wěn)定性.