“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念下的初三應(yīng)用題復(fù)習(xí)課教學(xué)研究
——以“應(yīng)用題求最值”為例

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528403) 錢夢(mèng)亞

復(fù)習(xí)課是初三階段最常見的課型,通過(guò)復(fù)習(xí)課,可以使學(xué)生對(duì)之前的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行查缺補(bǔ)漏,形成知識(shí)體系,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).初中應(yīng)用題本身不但具有體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的功能,而且具有培育數(shù)學(xué)思想方法的作用.[1]應(yīng)用題的教學(xué)能夠使學(xué)生將自己在課堂上學(xué)習(xí)的理論知識(shí)和生活實(shí)際進(jìn)行有效結(jié)合,提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.同時(shí),應(yīng)用題也是中考的重點(diǎn),但是筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),初三學(xué)生的應(yīng)用題解題能力普遍不高,害怕讀題,害怕解題,畏難情緒嚴(yán)重,在中考中得分率普遍偏低.另外,初三教師在進(jìn)行應(yīng)用題復(fù)習(xí)課的教學(xué)時(shí),很容易將復(fù)習(xí)課上成新授課的再現(xiàn),或者上成習(xí)題課的翻版,缺少生機(jī).那應(yīng)用題復(fù)習(xí)課怎么上出新意、上得有效呢? 用生長(zhǎng)型架構(gòu)來(lái)統(tǒng)領(lǐng)復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動(dòng),就是一個(gè)很好的方法.

1 “生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”的基本理念和愿景構(gòu)想

“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”是江蘇省特級(jí)教師卜以樓先生提出的一種初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張.卜老師常說(shuō),要教給學(xué)生有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué),那何為有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué)呢?“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”中的“生長(zhǎng)”不光是指數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的生長(zhǎng),也指學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng),更指學(xué)生思維品質(zhì)、精華及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生長(zhǎng)、升華.教師要激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性,新知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解都是基于學(xué)生原有的知識(shí).學(xué)生學(xué)透了最基礎(chǔ)的“元知識(shí)”,后續(xù)的知識(shí)就是在其基礎(chǔ)上的遷移、同化、順應(yīng)和生長(zhǎng).生長(zhǎng)數(shù)學(xué)必須關(guān)注好、選擇好生長(zhǎng)的種子, 數(shù)學(xué)上的種子, 就是前后一致, 邏輯連貫,一以貫之的基本的、可遷移的、可生長(zhǎng)的“元”知識(shí)、“元”方法,通俗的來(lái)講,就是那些“反復(fù)強(qiáng)化”的知識(shí)、方法和經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)的成長(zhǎng)及學(xué)習(xí)如同大樹的生長(zhǎng)過(guò)程: 種子發(fā)芽,扎根、再扎根,再生長(zhǎng),雙向促進(jìn),根深葉茂,葉茂根深[2].

生長(zhǎng)數(shù)學(xué)理念下的復(fù)習(xí)課,不是機(jī)械地復(fù)習(xí)新授課講過(guò)的知識(shí),盲從地運(yùn)用新授課解題的方法,而是全新地構(gòu)建一個(gè)學(xué)習(xí)系統(tǒng)、問題鏈條、思維場(chǎng)景,讓學(xué)生用新授課的探索方法去探索將要復(fù)習(xí)的知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生從另一個(gè)視角認(rèn)識(shí)所要復(fù)習(xí)的知識(shí),將復(fù)習(xí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)化,使復(fù)習(xí)課成為講述數(shù)學(xué)思維的故事,讓學(xué)生在對(duì)復(fù)習(xí)課的知識(shí)產(chǎn)生別有洞天的感覺后,自然地走進(jìn)“一覽眾山小”的境地[3].

2 舉例分析“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念在初三應(yīng)用題復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用

初中階段的應(yīng)用題主要有以下幾個(gè)類型: 方程應(yīng)用題、不等式應(yīng)用題、一次函數(shù)應(yīng)用題、二次函數(shù)應(yīng)用題、統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題、幾何應(yīng)用題等.在近幾年廣東中考試題中,各種類型的應(yīng)用題都有出現(xiàn),應(yīng)用題求最值問題幾乎是年年都不缺席,其中,2019年第21 題應(yīng)用題第二問考查利用不等式來(lái)求最值,2020年第23 題應(yīng)用題第二問考查一次函數(shù)求最值,2021年第22 題應(yīng)用題第二問考查二次函數(shù)求最值.下面以筆者在“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念下設(shè)計(jì)的“應(yīng)用題求最值”復(fù)習(xí)課為例,分析如何用生長(zhǎng)型架構(gòu)助力初三數(shù)學(xué)應(yīng)用題的復(fù)習(xí)課教學(xué).

2.1 教學(xué)環(huán)節(jié)

2.1.1 播下“種子”

引入在中考中,我們經(jīng)常會(huì)遇到最值問題,大家回憶并總結(jié)一下有哪些類型?

預(yù)設(shè)生成學(xué)生回憶后發(fā)言, 互相補(bǔ)充, 總結(jié)出四種類型: ①求與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線有關(guān)的最值問題; ②求線段和差的最值問題; ③利用函數(shù)求線段、面積等最值問題; ④在實(shí)際應(yīng)用問題中求最大利潤(rùn)、最佳優(yōu)惠方案等問題.

設(shè)計(jì)說(shuō)明最值問題是每年中考中的必考題,類型多樣,通過(guò)回憶討論,讓學(xué)生對(duì)最值問題進(jìn)行總結(jié)分類,形成知識(shí)結(jié)構(gòu).同時(shí)引入本節(jié)課的主題——應(yīng)用題求最值.

引例1已知一次函數(shù)y=2x+1,請(qǐng)回答以下問題:

(1)該一次函數(shù)有最值嗎?

(2)當(dāng)x≥1 時(shí),討論該一次函數(shù)的最值情況;

(3)當(dāng)1 ≤x≤3 時(shí),討論該一次函數(shù)的最值情況.

預(yù)設(shè)生成學(xué)生通過(guò)作圖、觀察和討論得到以上問題的答案,教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般,總結(jié)一次函數(shù)的最值情況: 一次函數(shù)y=kx+b(k≠ 0) 的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù), 圖象是一條直線, 因而沒有最大(小)值; 但當(dāng)m≤x≤n時(shí),一次函數(shù)的圖象是一條線段,根據(jù)一次函數(shù)的增減性,就有最大(小)值.

引例2已知二次函數(shù),請(qǐng)回答以下問題:

(1)討論該二次函數(shù)的最值情況;

(2)當(dāng)-2 ≤x≤2 時(shí),討論該二次函數(shù)的最值情況;

(3)當(dāng)x≥2 時(shí),討論該二次函數(shù)的最值情況.

預(yù)設(shè)生成該二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式為1,其圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1.學(xué)生通過(guò)計(jì)算和作圖可以發(fā)現(xiàn),第(2)問當(dāng)-2 ≤x≤2 時(shí),x=-1 在-2 ≤x≤2這個(gè)范圍內(nèi),函數(shù)的圖象先上升、再下降;第(3)問當(dāng)x≥2時(shí),其圖象在對(duì)稱軸直線x=-1 的右側(cè),y隨x的增大而減小.學(xué)生通過(guò)觀察和討論后得到引例2 的答案,教師再引導(dǎo)學(xué)生像引例1 一樣,從特殊到一般,嘗試總結(jié)二次函數(shù)的最值情況:

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b為常數(shù)且a≠0)的性質(zhì)有:

①若a ＞0, 當(dāng)時(shí),y有最小值,ymin=

②若a ＜0, 當(dāng)時(shí),y有最大值,ymax=

③若規(guī)定了自變量x的取值范圍,需結(jié)合函數(shù)圖像具體分析.

設(shè)計(jì)說(shuō)明利用一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求最值是應(yīng)用題求最值最常見的考查類型,也是本節(jié)課的重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容.兩個(gè)引例中三道問題的設(shè)置層層遞進(jìn),不斷深入.引例1、2分別通過(guò)兩個(gè)典型的例題幫助學(xué)生歸納鞏固一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),在頭腦中構(gòu)建知識(shí)體系,形成清晰脈絡(luò).一次函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)是應(yīng)用題求最值問題的“種子”,是本節(jié)生長(zhǎng)型復(fù)習(xí)課的“元”知識(shí).通過(guò)兩個(gè)引例將“種子”播種好,后續(xù)才能生根、發(fā)芽.

2.1.2 生根發(fā)芽

例1為響應(yīng)公安部號(hào)召的“珍愛生命,幸‘盔’有你”活動(dòng),某商店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種頭盔,其中甲種頭盔的單個(gè)進(jìn)價(jià)為60 元,乙種頭盔的單個(gè)進(jìn)價(jià)為30 元.商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種頭盔共300 個(gè),其中乙種頭盔的數(shù)量不少于甲種頭盔的2倍.甲種頭盔的單個(gè)售價(jià)為80 元,乙種頭盔的單個(gè)售價(jià)為45元.問商店如何進(jìn)貨才能使這批頭盔售完后的利潤(rùn)最大? 最大利潤(rùn)是多少?

解析解: 設(shè)甲種頭盔購(gòu)進(jìn)x個(gè), 利潤(rùn)為w.根據(jù)題意,得300-x≥2x.解得x≤100.w= (80-60)x+(45-30)(300-x) = 5x+4500.∵5＞0,∴w隨x的增大而增大.∴當(dāng)x=100 時(shí),w有最大值,w最大=5000.

答: 當(dāng)甲種頭盔購(gòu)進(jìn)100 個(gè),乙種頭盔購(gòu)進(jìn)200 個(gè)時(shí)利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為5000 元.

設(shè)計(jì)說(shuō)明例1 是在引例1 基礎(chǔ)上的生長(zhǎng),由“乙種頭盔的數(shù)量不少于甲種頭盔的2 倍”得到自變量x的取值范圍x≤100,再根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量”得到利潤(rùn)w關(guān)于x的一次函數(shù)關(guān)系式.此時(shí)就將這個(gè)應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的性質(zhì)問題了.

例2某網(wǎng)店正在熱銷一款電子產(chǎn)品,其成本為10 元/件,銷售中發(fā)現(xiàn),該商品每天的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-10x+300.求該款電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)為多少元時(shí),每天銷售利潤(rùn)最大? 最大銷售利潤(rùn)是多少元?

解析解: 設(shè)該款電子產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為w元.由題意,得w=(x-10)·y=-10(x-20)2+1000.∵-10＜0,∴當(dāng)x=20 時(shí),w有最大值,最大值為1000.

答: 該款電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)定為20 元時(shí),每天銷售利潤(rùn)最大,最大銷售利潤(rùn)為1000 元.

設(shè)計(jì)說(shuō)明例2 是在引例2 基礎(chǔ)上的生長(zhǎng),根據(jù)題意得到銷售利潤(rùn)關(guān)于銷售單價(jià)的二次函數(shù)關(guān)系式,化為頂點(diǎn)式后,答案就顯而易見了.

例3某水果超市以每千克20 元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批櫻桃,規(guī)定每千克櫻桃的售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)又不高于40 元.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),櫻桃的日銷售量y(千克)與每千克售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,其部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示:

每千克售價(jià)x(元)…25 30 35…日銷售量y(千克)…110 100 90…

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)該超市要想獲得1000 元的日銷售利潤(rùn),每千克櫻桃的售價(jià)應(yīng)定為多少元?

(3)當(dāng)每千克櫻桃的售價(jià)定為多少元時(shí),日銷售利潤(rùn)最大? 最大利潤(rùn)是多少?

解析解: (1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.將(25, 110) , (30, 100) 代入得解得∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+160.

(2)由題意,得(x-20)(-2x+160)=1000.解得x=30或x= 70.∵每千克售價(jià)不低于成本, 且不高于40 元, 即20 ≤x≤40,∴x=30.

答: 該超市要想獲得1000 元的日銷售利潤(rùn),每千克櫻桃的售價(jià)應(yīng)定為30 元.

(3) 設(shè)超市日銷售利潤(rùn)為w元.由題意, 得w=(x -20)(-2x+ 160) =-2(x -50)2+ 1800.∵-2＜0,∴當(dāng)20 ≤x≤40 時(shí),w隨x的增大而增大.∴當(dāng)x= 40 時(shí),w取得最大值,最大值為-2×(40-50)2+1800=1600

答: 當(dāng)每千克櫻桃的售價(jià)定為40 元時(shí),日銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是1600 元.

設(shè)計(jì)說(shuō)明例3 模擬了一道完整的中考應(yīng)用題,第1 問需要學(xué)生讀懂表格,準(zhǔn)確列出二元一次方程組求解,第2 問需要學(xué)生列出一元二次方程并正確求解,再根據(jù)實(shí)際問題取符合條件的解;第3 問則是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題.該問自變量x有范圍,且對(duì)稱軸不在x的取值范圍之內(nèi),求最值時(shí)學(xué)生必須考慮全面才能正確解答.該問是在例2 基礎(chǔ)上的再生長(zhǎng).

2.1.3 根深葉茂

練習(xí)1端午節(jié)是我國(guó)入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日,端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場(chǎng)上豆沙粽的進(jìn)價(jià)比豬肉粽的進(jìn)價(jià)每盒便宜10 元,某商家用8000 元購(gòu)進(jìn)的豬肉粽和用6000 元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中,該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價(jià)50 元時(shí),每天可售出100 盒;每盒售價(jià)提高1 元時(shí),每天少售出2 盒.

(1)求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià);

(2)設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)x元(50 ≤x≤65),y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤(rùn)(單位: 元),求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤(rùn).

解析解: (1)設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)a元,則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)(a-10) 元.則.解得:a= 40, 經(jīng)檢驗(yàn)a=40 是方程的解.∴a-10=30

答: 豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)40 元,豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30 元.

(2)由題意得,當(dāng)x= 50 時(shí),每天可售100 盒.當(dāng)豬肉粽每盒售x元時(shí),每天可售[100-2(x-50)]盒.每盒的利潤(rùn)為(x-40).∴y= (x-40)·[100-2(x-50)] =-2x2+280x-8000, 配方得:y=-2(x-70)2+1800.∵-2＜0,∴50 ≤x≤65 時(shí),y隨x的增大而增大.∴當(dāng)x=65 時(shí),y取得最大值,最大值為-2×(65-70)2+1800=1750.

答:y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-2x2+ 280x -8000(50 ≤x≤65),且最大利潤(rùn)為1750 元.

設(shè)計(jì)說(shuō)明練習(xí)1 選自2021年廣東省中考試題第22 題,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),最近的中考真題新鮮、神圣.第2 問用到二次函數(shù)的性質(zhì),對(duì)稱軸不在自變量的取值范圍之內(nèi),有了前面的基礎(chǔ),學(xué)生可獨(dú)立解答此題,正確地解答也會(huì)讓學(xué)生心理上更自信.以此達(dá)到給剛生根發(fā)芽的小樹澆水、施肥的效果,讓小樹長(zhǎng)成根深葉茂的大樹.

2.2 設(shè)計(jì)反思

本課例在“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”的理念下,基于學(xué)生對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)的理解,通過(guò)由易到難、層層遞進(jìn)的例題,展現(xiàn)知識(shí)遷徙鏈條,凸顯生長(zhǎng)路徑.具體地說(shuō),一次函數(shù)在實(shí)際問題情境中,自變量有取值范圍,要根據(jù)實(shí)際情況取最值,例1是在引例1 基礎(chǔ)上的生長(zhǎng);二次函數(shù)的最值要考慮圖象的開口方向、對(duì)稱軸的位置、問題情境中自變量的取值范圍以及該范圍與對(duì)稱軸的關(guān)系,從引例2 到例2,再到例3,最后到練習(xí)1,是一個(gè)從播種到生長(zhǎng)、再生長(zhǎng)的過(guò)程.

3 結(jié)論和建議

在“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念下,復(fù)習(xí)課要對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理,只有將知識(shí)系統(tǒng)化,才能讓學(xué)生形成能力.初三復(fù)習(xí)階段,應(yīng)用題的教學(xué)應(yīng)該更綜合化,從無(wú)類型到有類型,從有類型到無(wú)類型.所謂有類型是指應(yīng)用題中常見的類型歸納,比如工程問題、行程問題、銷售問題、傳播問題、增長(zhǎng)率問題、面積問題等等,讓學(xué)生掌握解決這些類型題的方法,同時(shí)對(duì)應(yīng)用題有熟悉感,減少畏懼心理.但是應(yīng)用題的類型是無(wú)限的,課堂上不可能列舉出所有的應(yīng)用題類型.所謂無(wú)類型指的就是所有類型的應(yīng)用題,其本質(zhì)都是找到題目中的數(shù)量關(guān)系,等量關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型求解.函數(shù)、方程、不等式等相關(guān)知識(shí)是我們要教給學(xué)生的“元”知識(shí),如何找題目中的數(shù)量關(guān)系、等量關(guān)系就是我們要教給學(xué)生的“元”方法,我們應(yīng)用題教學(xué)的目標(biāo)就是讓學(xué)生能從無(wú)類型到有類型,再?gòu)挠蓄愋偷綗o(wú)類型,提高應(yīng)用題解題能力.

用生長(zhǎng)型架構(gòu)進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí),要認(rèn)真規(guī)劃復(fù)習(xí)內(nèi)容的生長(zhǎng)路徑,巧妙設(shè)計(jì)問題生長(zhǎng)的順序,提煉知識(shí)生長(zhǎng)鏈條,揭示變化中不變的規(guī)律,彰顯數(shù)學(xué)變式的魅力.另外,在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),要根據(jù)所復(fù)習(xí)的內(nèi)容精選生長(zhǎng)鏈中的例、習(xí)題,例、習(xí)題的數(shù)量原則上夠用即可,練習(xí)題要有針對(duì)性和梯度的變化.