分數(shù)階Schro¨dinger-Poisson 方程組解的存在性

鐘巧澄，王 莉，王 軍

（華東交通大學理學院，江西 南昌 330013）

考慮下列分數(shù)階Schro¨dinger-Poisson 方程組非平凡解的存在性和多重性。

式中：s，t∈（0，1）且2t+4s＞3；Ω?R3中一個有界域；勢函數(shù)V：Ω→R+是連續(xù)的；λ 是一個正的常數(shù)；f，g，h 是連續(xù)函數(shù)；（-Δ）s是分數(shù)階Laplacian 算子，其定義為

在f滿足一定的條件下，通過山路定理和集中緊原理，作者們得到了非平凡解的存在性。推薦讀者參考文獻[15]和文獻[16]以獲得更多關于分數(shù)階Schro¨dinger-Poisson 方程的最新結果。

基于上述工作的啟發(fā)，研究式（1）解的存在性和多重性。據(jù)我們分析，非線性項在無窮遠和原點附近的增長條件不同，存在性和多重性的結果是完全不同的。與Zhi 等[13]相比，本文利用較弱的條件得到了相似的結論。

1 準備工作和主要結果

在本節(jié)中，將概述式（1）的變分結構并給出其非局部項?u的性質(zhì)。

分數(shù)階Sobolev 空間Hs（R3）可用下列Fourier變換描述

然后，從Ho¨lder 不等式和式（2）中得到，存在C1，C2＞0 使得

本文用變分法對式（1）進行研究，包括山路定理，Bonanno 和Kajikiya 的臨界點理論。一般地，需要驗證泛函的幾何結構并證明泛函滿足臨界點理論的緊性條件。但本文由于臨界非線性項的存在，能量泛函只在某些范圍內(nèi)可以滿足緊性條件，本文應用不同形式的變分定理來證明解的存在性。假設非線性項f，g，h∈C（Ω，R）且滿足下列假設：

2 山路解的存在性

接下來，證明泛函I 滿足山路幾何條件。

引理2.1 若（f1），（f2），（f3），（g1）成立，那么泛函I滿足山路幾何結構

1）存在α，ρ＞0 使得I（u）≥α 且||u||=ρ；

2）存在e∈E 且||e||＞ρ 使得I（e）＜0。

從而，我們得到在E 上，un強收斂到u。

定理1.1 的證明 根據(jù)引理2.1，引理2.2 和山路定理[19]，得到問題（1）有一個山路解。

3 無窮多解的存在性

考慮式（1）是臨界增長的情況，即

由（g2）可知，式（16）的泛函是偶泛函，可以通過對稱山路定理得到無窮多解的存在性。因為臨界項的存在，所以首先證明全局緊性結論。

引理3.1 設（f2）成立，則對任意M＞0，存在λ*使得對于?λ∈（0，λ*），泛函I 在（-∞，M］滿足PS條件。

證明 設{un}是泛函I 在d 水平上的PS 序列，即存在d＞0 使得當n→∞時有

現(xiàn)在介紹Krasnoselski 虧格。設E 是一個Banach 空間。A 為E 的一個閉子集，如果x∈A，有-x∈A，則稱A 是對稱的。用Σ表示E 的所有對稱閉集族。A 的虧格是指使得φ∈C（A，Rn{0}）是奇映射的最小正整數(shù)。如果n 不存在，則γ（A）=∞。通常，γ（φ）=0。

命題3.1 設A，B∈Σ，則

1）如果存在一個從A 到B 的連續(xù)奇映射，則γ（A）≤γ（B）。

2）如果存在一個從A 到B 的同胚奇映射，則γ（A）=γ（B）。

3）如果γ（B）＜∞，則γ（AB）≥γ（A）-γ（B）。

4）利用Borsuk-Ulam 定理，n 維球面Sn有一個n+1 的虧格。

5）如果A 是緊的，則γ（A）＜∞且存在δ＞0 和一個A 的閉的對稱鄰域Nδ（A）={x∈E：||x-A||≤δ}，使得γ（Nδ（A））=γ（A）。

接下來給出Kajikiya[20]的對稱山路定理。

引理3.2 設E 是一個無限維的Banach 空間且泛函I∈C1（E，R）滿足下列條件：

（A1）I（u）是偶的、下有界的，I（0）=0 且I（u）滿足局部PS 條件，即對于某些d*＞0，如果E 中的任意序列{un}滿足I（un）→d＜d*且在E*上有I'（un）→0，則{un}有一個收斂子列。

那么下列的1）或者2）成立。

1）存在一個序列{un}使得I'（un）=0，I（un）=0，且{un}收斂到0。

容易驗證χ（t）∈[0，1]且χ（t）∈C∞。設β（u）=χ（||u||），考慮截斷泛函J：E→R，

利用上述論斷，有以下結論。

引理3.3 設J（u）的定義為式（29），則

證明 容易驗證1）和2）。由于2）和引理3.1知3）。

引理3.4 假設（f?1）成立，則對任意的k∈N，存在δ（k）＞0 使得γ（｛u∈X∶J（u）≤δ（k）｝｛0｝）≥k。

由于G（ε）→∞（ε→0），當給定的ε 足夠小時，有-δ（k）＜0。因此

{u∈Ek:||u||E=ε}?{u∈E:J（u）≤-δ（k）}{0}

定理1.2 的證明 考慮

Σk:={A∈X{0}:A 是閉的且A=-A，γ（A）≥k}且定義

利用引理3.3 可得-∞＜ck＜0。因此，滿足引理3.2的條件（A1）和（A2），繼而，存在一個解序列收斂到0。從而，定理1.2 由引理3.3 得到。