單位圓盤上幾種Toeplitz算子的數(shù)值域①

丁宣浩， 王章逸， 邵長慧， 李永寧

1.重慶工商大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400067；2.經(jīng)濟社會應用統(tǒng)計重慶市重點實驗室，重慶 400067

設T為Hilbert空間上的有界線性算子.記T的譜為σ(T).記集合S的凸包為convS.則算子T的數(shù)值域定義為集合

W(T)={〈Tf,f〉:f∈H,‖f‖=1}

與算子的譜類似,算子的數(shù)值域是復平面中的子集,并且可以反映出算子的一些代數(shù)性質.例如,T是自伴算子當且僅當W(T)?R,T是半正定的當且僅當W(T)?[0,∞)．

由于本文的需要,這里列舉一些算子數(shù)值域的簡單性質,其證明可參見文獻[1-2].更多關于算子數(shù)值域的知識,我們推薦文獻[2-3]．

引理1[1]算子T的數(shù)值域W(T)具有下述性質:

(i)W(T)是凸集;

(iii) 對任意的α,β∈C,W(αT+βI)=W(T)+β;

(v) 對任何的酉算子U,W(U*TU)=W(T);

設H1,H2為Hilbert空間,記F為H1⊕H2上的由下述分塊形式給出的線性算子

這里A和D分別表示H1和H2上的線性算子,B為從H2到H1上的線性算子,C為從H1到H2上的線性算子．

2×2分塊算子的二次數(shù)值域的概念是由文獻[4]引入的,定義為集合

下述關于F的二次數(shù)值域的性質在我們主要結果的證明中很有用,故我們引用如下(引理2),而且,為了讀者閱讀方便,這里我們用更直接的方法證明了第一條性質,這與文獻[5]中的證明方法不同．

引理2[5]H1⊕H2上的線性算子F的二次數(shù)值域W(F)具有如下性質:

(i)W2(F)?W(F);

(ii)σ(F)?W2(F);

(iv) 若dimH2>1,則W(F)?W2(F); 若dimH1>1,則W(D)?W2(F)．

證(i) 對于任意給定的x∈H1,y∈H2且‖x‖=‖y‖=1,定義Fxy為

則Fxy是從C2到C2的有界線性算子.而且,易知

則有

令f=α1x+α2y.因為x⊥y,

由于

故可得

從而推出W(Fxy)?W(F).因為有限維線性空間上的有界線性算子的數(shù)值域是緊集,所以

由上述事實和引理1,可得

因此,對任意的x∈H1,y∈H2,則有

(1)

從而性質(i)得證．

對于有界線性算子,由引理2中的(i)和(ii)可知在線性算子的譜刻畫方面,二次數(shù)值域能提供比數(shù)值域更精確的信息．

設D是復平面C上的單位開圓盤,H2是單位開圓盤上經(jīng)典的Hardy空間,L2=L2(T)為單位圓周T={z∈C: |z|=1}上的Lebesgue空間.設H∞為D上的有界解析函數(shù)所構成的空間.根據(jù)Fatou定理和調(diào)和延拓定理[6],我們通常將H2與L2(T)中由解析函數(shù)構成的閉子空間等同起來．

設P為從L2到H2上的正交投影算子.對任意的φ∈L∞,Hardy空間上的Toeplitz算子Tφ定義為

Tφx=Pu(φx)x∈H2

Hφx=(I-P)(φx)x∈H2

Hardy空間的正交補空間(H2)⊥上的對偶Toeplitz算子Sφ定義為

Sφy=(I-P)(φy)y∈(H2)⊥

容易驗證

記Mφ為L2上的乘法算子,則在L2=H2⊕(H2)⊥下,由簡單計算可得

(2)

(3)

1 Hardy-Toeplitz算子的數(shù)值域和二次數(shù)值域

在本節(jié),我們研究用Toeplitz算子的符號來刻畫Hardy空間上Toeplitz算子的數(shù)值域和二次數(shù)值域.由Hardy空間上Toeplitz算子的代數(shù)性質[11]可知,所有的Hardy-Toeplitz算子均是凸算子.文獻[12]應用算子的譜完全刻畫了任意一個Hardy-Toeplitz算子的數(shù)值域．

引理3[13](i)若φ∈L∞為非常值函數(shù)且Tφ是正規(guī)算子,則σ(Tφ)是一條連接a和b的閉直線段[a,b],并且W(Tφ)是對應的開直線段(a,b);

(ii) 若φ∈L∞為非常值的函數(shù)且Tφ不是正規(guī)算子,則W(Tφ)=(convσ(Tφ))°,其中E°表示集合E的內(nèi)部;

(iii) 若φ∈H∞,則W(Tφ)=convφ(D)．

定理2設φ∈L∞,Mφ是L2上的乘法算子,則

(4)

證一方面,?z∈D,

φ(z)=〈Mφkz,kz〉∈W(Mφ)

則有

φ(D)?W(Mφ)

從而

從而可得

將以上兩方面結合起來,則結論得證．

下述定理3用符號的值域刻畫了有界符號的Hardy-Toeplitz算子的數(shù)值域．

定理3設φ∈L∞,則

證一方面,由于Mφ在空間分解L2=H2⊕(H2)⊥下的表示為

以及dim(H2)⊥>1,根據(jù)引理2,可得

W(Tφ)?W2(Mφ)?W(Mφ)

另一方面,對任意的z∈D,因為

φ(z)=〈Tφkz,kz〉=〈φkz,kz〉∈W(Tφ)

則有φ(D)?W(Tφ).從而

(5)

在Tφ的上述表示((5)式)下,Tφ的二次數(shù)值域為

W2(Tφ)=W(Tφ)

W(tφ)?W2(Tφ)?W(Tφ)

W(tφ)=W(Tφ)

從而

W2(Tφ)=W(Tφ)

2 Bergman-Toeplitz算子的數(shù)值域

在本節(jié)中,我們給出了Bergman空間上Toeplitz算子的數(shù)值域的刻畫．

文獻[19]研究了Bergman空間上調(diào)和符號的Toeplitz算子的性質,給出了有界調(diào)和符號的Bergman-Toeplitz算子的數(shù)值域刻畫,并應用符號的值域刻畫了解析符號的Bergman-Toeplitz算子的數(shù)值域,這里我們引用如下(引理4).由于調(diào)和符號的Bergman-Toeplitz算子和Hardy-Toeplitz算子的性質相似[20],本節(jié)我們運用符號的值域給出有界解析符號的Bergman-Toeplitz算子的數(shù)值域的類似刻畫．

引理4[19](i) 設φ是單位圓盤D上的非常值的有界調(diào)和函數(shù),且Tφ為正規(guī)算子,則存在常數(shù)a,b使得σ(Tφ)=[a,b]且W(Tφ)=(a,b);

(ii) 設φ是單位圓盤D上的非常值有界調(diào)和函數(shù),且Tφ不是正規(guī)算子,則W(Tφ)是一個開凸集;

(iii) 若φ∈H∞,則W(Tφ)=convφ(D)．

類似定理2,應用Berezin變換可證得下述結論:

引理5設φ∈L∞(D),Mφ是L2(D)上的乘法算子,則

下面,我們給出有界調(diào)和符號的Bergman-Toeplitz算子的數(shù)值域的不同形式的刻畫:

定理5設φ是單位圓盤D上的有界調(diào)和函數(shù),則

W(Tφ)=convφ(D)

W(Tφ)?W2(Mφ)?W(Mφ)

(6)

對任意的z∈D,因為

φ(D)?W(Tφ)

因此

根據(jù)引理5及關系式(6),可得

因為緊集的凸包仍是緊集,開集的凸包仍是開集,以及開凸集等于其閉包的內(nèi)部,根據(jù)引理4,故可得

W(Tφ)=convφ(D)

3 對偶截斷Toeplitz算子的數(shù)值域和二次數(shù)值域

(7)

其中Sφ為定義在(H2)⊥上的對偶Toeplitz算子.下面,我們給出Dφ的數(shù)值域和二次數(shù)值域的刻畫:

定理6設φ∈L∞,u為階大于1的內(nèi)函數(shù),則

證根據(jù)Dφ的表示(7)式以及引理2,可得

W(tφ)?W2(Dφ)?W(Dφ)

從而

可得

W(Dφ)?W2(Mφ)?W(Mφ)

從而

因為

故

φ(D)?W(tφ)?W2(Dφ)?W(Dφ)?W2(Mφ)?W(Mφ)

從而

因此可得

結論得證．