根箭圖表示范疇中的Gorenstein平坦-余撓對(duì)象

吳德軍, 李 丹

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

定義1[1]設(shè)T是平坦-余撓左R-模的零調(diào)復(fù)形.若對(duì)于任意的平坦-余撓左R-模W,復(fù)形HomR(T,W)與HomR(W,T)均正合,則稱T為平坦-余撓左R-模的完全零調(diào)復(fù)形.

定義2[1]設(shè)G是左R-模.若存在平坦-余撓左R-模的完全零調(diào)復(fù)形T,滿足Z0(T)=G,則稱G為Gorenstein平坦-余撓左R-模.

定義3[2]設(shè)F∈Rep(Q,R).若-?F是正合函子,則稱F為平坦表示.

定義4[2]設(shè)Q=(Q0,Q1,s,t)是箭圖.考慮頂點(diǎn)集Q0的子集,存在如下超限序列{Vα}(α是序數(shù)):

1) 對(duì)于第一個(gè)序數(shù)α=0 設(shè)V0=?;

定義5[2]設(shè)Q是箭圖.若存在序數(shù)λ,使得Vλ=Q0,則稱Q是左根箭圖.

引理1[2]設(shè)R是環(huán),Q是左根箭圖.則F∈Rep(Q,R)是平坦表示當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的頂點(diǎn)i∈Q0,以下條件成立:

1)F(i)是平坦左R-模;

引理2[3]設(shè)R是環(huán),Q是左根箭圖.則C∈Rep(Q,R)是余撓表示當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的頂點(diǎn)i∈Q0,C(i)是余撓左R-模.

定義7[4]設(shè)M∈Rep(Q,R).若存在表示范疇Rep(Q,R)中的平坦表示的正合列…→F1→F0→F-1→…,使得M?ker(F0→F-1),且對(duì)任意的內(nèi)射表示E,有E?Q-作用于上正合列上保持正合,則稱M為Gorenstein平坦表示.

引理3[4]設(shè)R是環(huán),Q是左根箭圖.則M∈Rep(Q,R)是Gorenstein平坦表示當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的頂點(diǎn)i∈Q0,以下條件成立:

1)M(i)是Gorenstein平坦左R-模;

定義10設(shè)X∈Rep(Q,R).若X既是平坦表示又是余撓表示,則稱X為平坦-余撓表示.

注2所有的平坦-余撓表示類記為FC(Q).

定理1設(shè)R是環(huán),Q是左根箭圖.則M∈Rep(Q,R)是平坦-余撓表示當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的頂點(diǎn)i∈Q0,以下條件成立:

1)M(i)是平坦-余撓左R-模;

證明由引理1與引理2可得證.

由定義8可知:

則

又由定義8可得

圖1 交換圖

由定義8與定理1可知,?v∈Q0,ev(L′)=L′(v)是平坦-余撓左R-模.

定義11設(shè)M∈Rep(Q,R).若存在表示范疇Rep(Q,R)中平坦-余撓表示的正合列…→X1→X0→X-1→…,使得M?coker(X1→X0),且對(duì)任意的平坦-余撓表示L,有HomQ(-,L)作用于上正合列上保持正合,則稱M為Gorenstein平坦-余撓表示.

注3所有的Gorenstein平坦-余撓表示類記為GFC(Q).

定理2設(shè)Q是左根箭圖,R是環(huán)并且余撓R-模保持直和.則M是Gorenstein平坦-余撓表示當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的頂點(diǎn)i∈Q0,以下條件成立:

1)M(i)是Gorenstein平坦-余撓左R-模;

證明必要性: 因?yàn)镸是Gorenstein平坦-余撓表示,所以存在表示范疇Rep(Q,R)中平坦-余撓表示的正合列

X:=…→X2→X1→X0→X-1→X-2→…

圖2 交換圖

下證:M(i)是Gorenstein平坦-余撓左R-模.

因?yàn)閄是表示范疇中的平坦-余撓表示的正合列,且M?coker(X1→X0),所以由定理1和文獻(xiàn)[7]的引理7.11.1后的注記可知,對(duì)?i∈Q0,

是平坦-余撓左R-模的正合列,且

M(i)?coker(X1(i)→X0(i))

根據(jù)Gorenstein平坦-余撓左R-模的定義,下面只需證明:對(duì)于任意的平坦-余撓左R-模W,對(duì)?i∈Q0,HomR(X(i),W)正合.

定義表示W(wǎng)′∈Rep(Q,R):

?i∈V1,W′(i)=W;

?j∈V1{i},W′(j)=0;

由定理1可知,W′是表示范疇Rep(Q,R)中的平坦-余撓表示.因?yàn)镸是Gorenstein平坦-余撓表示,所以HomQ(X,W′)=…→HomQ(X-1,W′)→HomQ(X0,W′)→HomQ(X1,W′)→…是正合列.

由命題1可知,有正合列

HomR(X,W′)i=…→HomR(X-1(i),W)→

HomR(X0(i),W)→HomR(X1(i),W)→…

又因?yàn)閃′(i)=W是平坦-余撓左R-模,所以M(i)是Gorenstein平坦-余撓左R-模.

考慮下列交換圖,如圖3所示.

圖3 交換圖

根據(jù)Gorenstein平坦-余撓左R-模的定義,下面只需證明:對(duì)于任意的平坦-余撓左R-模N,HomR(-,N)作用在圖3的第三列保持正合.

對(duì)于任意的平坦-余撓左R-模N,用HomR(-,N)作用于圖3,則有下列交換圖,如圖4所示.

圖4 交換圖

充分性:利用超限歸納法構(gòu)造復(fù)形Xα為表示范疇Rep(Q,R)中的平坦-余撓表示的正合列,且對(duì)?α≤μ(Q)(μ(Q)是指使得Vα=Q0的最小的α),Xα滿足下列條件:

1) 對(duì)?i∈Vα(α>0),Xα(i)是平坦-余撓左R-模的正合列,且對(duì)任意的平坦-余撓左R-模L,HomR(Xα(i),L)正合;

3) 對(duì)?β<α≤μ(Q),?i∈Vβ(β>0),Xα(i)=Xβ(i).

下證: 存在表示范疇Rep(Qα+1,R)中的平坦-余撓表示的正合列Xα+1,使得Xα+1滿足1)～3).

對(duì)?i∈Vα+1,任意箭頭a∈Qα+1且t(a)=i,由定義4后的注1可知,s(a)∈Vα.由歸納假設(shè)與已知條件可知:

且存在左R-模中的正合列

因此,存在平坦-余撓左R-模的正合列

使得

由馬蹄引理可知,存在M(w)的平坦-余撓左R-模的分解:

同理可得平坦-余撓左R-模的分解:

將上面兩個(gè)序列連接可得到平坦-余撓左R-模的正合列

使得M(w)?cokerδ,因?yàn)閷?duì)?j∈Ζ,任意的平坦-余撓左R-模L,有

是正合的,所以HomR(Xw,L)是正合的.

(3) 當(dāng)γ<μ(Q)為極限序數(shù)時(shí),假設(shè)對(duì)?α<γ,存在Xα為表示范疇Rep(Qα,R)中的平坦-余撓表示的正合列且滿足1)～3).

下證: 存在表示范疇Rep(Qγ,R)中的平坦-余撓表示的正合列Xγ,使得Xγ滿足1)～3).

由假設(shè)可知,存在Xβ′是表示范疇Rep(Qβ′,R)中的平坦-余撓表示的正合列并且滿足1)～3).

綜上,由超限歸納法可知,存在表示范疇Rep(Q,R)中的平坦-余撓表示的正合列X,使得對(duì)?i∈Q0,X(i)是平坦-余撓左R-模的正合列,且滿足M(i)?coker(X1(i)→X0(i)),對(duì)任意平坦-余撓左R-模L,HomR(X(i),L)正合.

下證:對(duì)任意平坦-余撓表示L′,HomQ(X,L′)正合.

由文獻(xiàn)[8]可知,存在平坦-余撓表示復(fù)形的短正合列

因?yàn)閄是平坦-余撓表示的正合列,所以對(duì)任意平坦-余撓表示L′,HomQ(X,L′)作用于上正合列保持正合,即

是正合列.

由命題3與直積是正合函子可知:

均正合,因此HomQ(X,L′)正合,由定義11可知,M是Gorenstein平坦-余撓表示.

定義12[7]設(shè)Q=(Q0,Q1,s,t)是箭圖.若頂點(diǎn)集Q0與箭頭集Q1均為有限集,則稱Q為有限箭圖.箭圖Q中的長(zhǎng)為l的路p,是指如下有限序列(i|α1,α2,…,αl|j)或簡(jiǎn)記為α1α2…αl,對(duì)任意1≤k≤l,αk∈Q1,有s(α1)=i且t(αl)=j,記為l(p).約定頂點(diǎn)i是起點(diǎn)和終點(diǎn)均為i的長(zhǎng)度為零的路,并記為ei.如果l(p)≥1且s(p)=t(p),那么稱路p是有向圈,簡(jiǎn)稱為圈.特別地,長(zhǎng)度為1的圈稱為環(huán)圈.若Q不包含圈,則稱Q是零調(diào)箭圖.

推論1設(shè)R是環(huán),Q是有限零調(diào)箭圖.則M是Gorenstein平坦-余撓表示當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的頂點(diǎn)i∈Q0,以下條件成立:

1)M(i)是Gorenstein平坦-余撓左R-模;

證明由定理2可得.