例談分類討論思想在動態(tài)幾何問題中的應(yīng)用

江蘇省揚州市揚州大學(xué)(225002) 衡 晨

前不久剛頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版》指出“圖形與幾何”模塊在初中學(xué)段的主題包括圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標,明確將“圖形的變化”作為初中幾何教學(xué)的重要主題[1].由此可見,初中階段開始強調(diào)讓圖形“動”起來,不僅要求學(xué)生順利求解動態(tài)幾何問題,而且通過“動”起來的圖形提高抽象能力、推理能力、幾何直觀等十大能力.

動態(tài)幾何問題是一類綜合性較強的題目,將數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能完美結(jié)合,全面考查了學(xué)生應(yīng)用理論知識的能力和解決實際問題的能力.不僅如此,動態(tài)幾何問題的解決需要學(xué)生綜合運用所學(xué)習(xí)的所有知識,運用數(shù)形結(jié)合、分類討論、邏輯推理和數(shù)學(xué)模型的思想,從各個方面考查學(xué)生所具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).從動態(tài)幾何問題考查的知識點可將動態(tài)幾何問題分為函數(shù)型、最值型、面積型、判斷型等四大類[2].

本文主要論述函數(shù)型與判斷型兩類問題,函數(shù)型問題是指在動點運動過程中,對隨之產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系進行探究的一類問題;判斷型問題常常是探究運動過程中一些特殊位置或特殊圖形是否存在的問題.本文中將判斷型問題分為相似三角形和平行四邊形進行討論.解決動態(tài)幾何問題的關(guān)鍵—明確不變量,發(fā)現(xiàn)不變關(guān)系,將變量用不變量表示,明確數(shù)量關(guān)系.

1 函數(shù)型

1.1 求解函數(shù)解析式及辨別函數(shù)圖像

函數(shù)思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)始終,在初中學(xué)習(xí)的主要有一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù),掌握它們的一般形式以及他們的圖像與性質(zhì).對于和動點相結(jié)合的函數(shù)問題,一般而言,通過觀察我們可以判斷它是否為分段函數(shù),若為分段函數(shù)則需要分類討論,其自變量取值范圍尤其重要.基于圖形存在的變量構(gòu)建函數(shù)關(guān)系,以動態(tài)的眼光觀察變量之間的聯(lián)系,從而解決動態(tài)幾何問題.通過函數(shù)相關(guān)問題,著重培養(yǎng)學(xué)生的模型思想,具有模型意識.

圖1

例1如圖1所示,線段AB=10,點C、D在AB上,AC=BD=1.已知點P從點C出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著AB向點D移動,到達點D后停止移動.在點P移動過程中作如下操作:先以點P為圓心,PA、PB的長為半徑分別作兩個圓心角均為60?的扇形,再將兩個扇形分別圍成兩個圓錐的側(cè)面.設(shè)點P的移動時間為t(秒),兩個圓錐的底面面積之和為S,則S關(guān)于t的函數(shù)圖像大致是( ).

分析若想得到正確的函數(shù)圖像,首先找出S與t的函數(shù)關(guān)系式,圓錐底面積S和底面半徑有關(guān);其次尋找底面半徑和t的關(guān)系,用含t的代數(shù)式表示出兩個扇形的半徑,根據(jù)扇形的弧長等于底面周長可求出兩個圓錐的底面半徑;最后,根據(jù)扇形面積公式,求出S與t的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)關(guān)系選擇相應(yīng)的圖像.

解析因為AB=10,AC=BD=1,所以CD=8,又因為PC=t,所以PA=t+1,PB=10?(t+1)=9?t.設(shè)兩圓錐的底面半徑分別為r和R,則:解得:所以,兩個圓錐的底面面積之和為:

根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可以發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖像是一個開口向上的二次函數(shù),故選D.

評析本題解題關(guān)鍵在于找到圓錐的底面半徑,主要考查扇形弧長與圓錐底面周長之間的互化.對于有關(guān)函數(shù)圖像的選擇題,我們可以從選項中的“轉(zhuǎn)折點”反推點的運動位置.例如,在本題中t=4就是一個“轉(zhuǎn)折點”——動點所在的特殊位置,此時反推點P的運動位置,此時點P位于線段AB的中點.

例2如圖2所示,⊙O的半徑為1,AD,BC是⊙O的兩條互相垂直的直徑,點P從點O出發(fā)(P點與O點不重合),沿O?>C?>D的路線運動,設(shè)AP=x,sin∠APB=y,那么y與x之間的關(guān)系圖像大致是( ).

圖2

分析對于選擇題來說,首先可以觀察選項,發(fā)現(xiàn)選項中的函數(shù)圖像中含有“轉(zhuǎn)折點”,要聯(lián)想到分類討論的思想方法,其次認真分析題目,尋找具體的“轉(zhuǎn)折點”,找到分段函數(shù)的解析式.

解析

(2)9個樣品中Cd地累積指數(shù)值介于1.90～2.82之間，U地累積指數(shù)值介于0.81～1.46之間。其他元素地累積指數(shù)均<0。對于Cd元素，9個樣品中有1個樣品為輕度污染，8個樣品為中度污染。對于U元素，9個樣品中有4個樣品為輕微污染，5個樣品為輕度污染。

1)當(dāng)P在CD上運動時,在RT?AOP中,y=sin∠APB=

通過所求分段函數(shù)解析式得到,第一段為反比例函數(shù),第二段為常函數(shù),故選C.

2 判斷型

2.1 相似三角形

相似三角形是中考中的高頻考點,主要結(jié)合單動點以及雙動點幾何問題綜合考察.對于相似三角形在解題時主要應(yīng)用判定定理中的(SAS),從某一特定角出發(fā),對其鄰邊進行分類討論,在這個過程中,培養(yǎng)學(xué)生初步的抽象能力、更加理性的幾何直觀和空間想象能力.

圖3

例3如圖3所示,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動;點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動,如果P和Q同時出發(fā),用t(s)表示移動的時間(0

分析相似三角形的性質(zhì)為對應(yīng)邊成比例,對應(yīng)角相等.在解決該類問題時,從某一特定角出發(fā),進行分類討論.將所需線段用t表示出來,根據(jù)對應(yīng)邊成比例解得t的值.

解析根據(jù)題意可分為兩種情況討論:

綜上所述,當(dāng)t=1.2(s)或t=3(s)時,以點Q,A,P為頂點的三角形和?ABC相似.

評析在本題中以點Q,A,P為頂點的三角形和?ABC都含有一個直角,最簡單的方法即從直角出發(fā),對兩條直角邊進行分類討論.那么,我們就可以選擇對兩條直角邊分類討論.

2.2 平行四邊形存在性問題

平行四邊形這一節(jié)是初中的一個重要分水嶺,對學(xué)生的抽象能力、空間觀念、幾何直觀要求較高.關(guān)于動點和平行四邊形存在性問題,主要結(jié)合平面直角坐標系進行考察,在該過程中,感悟數(shù)形結(jié)合的思想,會用數(shù)形結(jié)合的方法分析和解決問題.學(xué)會從幾何的角度分析問題、解決問題,培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識,提升幾何直觀、空間觀念、抽象能力、推理能力等.

關(guān)于動點和平行四邊形存在性問題,常見題目的表述方式為:已知三個點A,B,C的坐標(如圖4),若四邊形ABCD是平行四邊形,求點D的坐標.具體方法是:連接A,B,C三點,構(gòu)成三角形,過A,B,C的每一個頂點畫對邊的平行線,三條直線兩兩相交,得到三個點D,不重不漏,一步到位[3].具體實施如下:按B?>C的方向,平移點A,得到點D1;按C?>B的方向,平移點A,得到點D2;按A?>B的方向,平移點C,得到點D3.具體操作如圖5所示:

圖4

圖5

圖6

例4如圖6,直線+6與坐標軸分別交于A,B兩點,動點P,Q同時從點O出發(fā),同時到達點A,運動停止.點Q沿線段OA運動,速度為每秒一個單位長度,點P沿路線O?>B?>A運動.

(1)直接寫出A,B兩點坐標;

(2)設(shè)點Q的運動時間為t秒,?OPQ的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

(4)?ABO與?OPQ在運動過程中能否相似,若存在求出對應(yīng)的t的值,若不存在,說明理由.

分析第(2)問的關(guān)鍵點在于對點P的運動軌跡進行分類討論,從而得到S與t的分段函數(shù);第(3)問依賴于第二問的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)條件求得P,Q坐標,第四個頂點的坐標,具體方法見解答過程;第(4)問有關(guān)三角形相似問題,同樣需要對點P的運動軌跡進行分類討論,在此基礎(chǔ)上選擇某一角,從該角鄰邊對應(yīng)成比例進行討論.

解析(1)A(8,0),B(0,6);

(2)因為OA=8,OB=6,由勾股定理得AB=10.因為動點P,Q同時從點O出發(fā),同時到達A點,點Q速度為每秒一個單位長度,所以點P的運動速度為=2;

①點P在線段OB上運動時,OP=2t,OQ=t,S=t2(0

圖7

圖8

(4)對點P運動軌跡進行討論:

評析本題是一道非常經(jīng)典的動態(tài)幾何問題,難點主要在于多次分類討論,考察的知識面較廣,綜合性較強.既考察了分段函數(shù)解析式,也考察了平行四邊形第四點存在性問題以及三角形相似.在平時學(xué)習(xí)生活中多積累分類討論的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,這個題目難度會大大降低.

3 總結(jié)

動態(tài)幾何問題通常將函數(shù)和圖形的相關(guān)性質(zhì)結(jié)合考察,將幾何和代數(shù)相結(jié)合.由以上例題可知,動態(tài)幾何問題的解析過程中,最重要的是分類討論的數(shù)學(xué)思想,尋找動點的特殊位置.在不同的問題情境中,關(guān)鍵在于用“不變量”表示“變量”,“以靜制動”,要抓住問題本質(zhì),適當(dāng)簡化問題模型,找出題目中靜與動的主體,可適當(dāng)構(gòu)造輔助線[4].動態(tài)幾何問題對于提升學(xué)生靈活運用知識的能力、加強知識間的相互轉(zhuǎn)換與聯(lián)想有重大作用.分類討論地數(shù)學(xué)思想方法有利于加強學(xué)生思維的條理性、縝密性.