一題一課 變式拓展*
——以一節(jié)中考專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)為例

廣東省廣州市真光中學(xué)(510380) 蘇國東

廣東省廣州市第七中學(xué)東山學(xué)校(510600) 高惠平

鑒于新授課對知識研究的深度和廣度有限,往往需要設(shè)計專題復(fù)習(xí)課,立足全新視角,打開章節(jié)通道,貫通前后內(nèi)容,建立知識關(guān)聯(lián),以提升學(xué)生的知識運用水平,發(fā)展學(xué)生的高階思維能力.“一題一課”則是專題課有效實施的重要途徑,其以一道題目或一項學(xué)習(xí)材料切入,以問題鏈的形式啟發(fā)學(xué)生深入探究數(shù)學(xué)規(guī)律,將問題特殊化、一般化、靈活化,擴(kuò)展成一節(jié)更具教育價值的課.

1 教學(xué)案例

“全等的應(yīng)用與拓展”是在復(fù)習(xí)完三角形、四邊形、全等三角形后開展的一節(jié)中考專題復(fù)習(xí)課.在“雙減”背景下,本課創(chuàng)新設(shè)計教學(xué)內(nèi)容,以含60?角的菱形為載體,通過一題一課變式拓展,豐富設(shè)問形式,挖掘圖形本質(zhì).

本課旨在引導(dǎo)學(xué)生在不同的問題情境中,將表面上與全等無關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為求線段或角相等的問題,合理構(gòu)造輔助線,運用全等解決綜合性問題.經(jīng)歷直觀感知,觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、演繹證明、反思構(gòu)建等思維過程,掌握共有的解題通法,培養(yǎng)幾何直觀、模型觀念、推理意識和創(chuàng)新意識等學(xué)科核心素養(yǎng).

2 教學(xué)過程

本課教學(xué)過程共分為六個環(huán)節(jié).

2.1 前置練習(xí),鞏固應(yīng)用

課前練習(xí):如圖1,在菱形ABCD中,∠ABC=60?,連接AC,點H,F分別在線段AC,BC上,CH=BF,AF與BH相交于點P,則線段AF與BH有何數(shù)量關(guān)系,∠APH的度數(shù)是多少.

設(shè)計意圖:在含60?角的菱形這個基本圖形中,直接應(yīng)用全等解題,師生共同總結(jié)解題思路,并根據(jù)全等的結(jié)論得知所求的數(shù)量關(guān)系及度數(shù)不變,為后續(xù)問題做好鋪墊.

圖1

教學(xué)分析:教師布置課前練習(xí),學(xué)生完成.課堂上教師展示典型解答,學(xué)生講述解題思路.隨后,教師利用幾何畫板等教學(xué)軟件改變CH的長度,且保持CH=BF,學(xué)生觀察到所求的數(shù)量關(guān)系及度數(shù)不會改變.當(dāng)添加合適的輔助線,則可形成等邊?APE,將?APE移動到不同位置,可得到菱形與等邊三角形的不同組合方式,形成多種豐富的問題情境.

2.2 創(chuàng)設(shè)情境,熟練通法

探究問題:在菱形ABCD中,∠ABC=60?,點P是平面內(nèi)一動點,以AP為邊作等邊?APE,其中A,P,E按逆時針方向排列.

(1)如圖2,當(dāng)點P在線段BD上,點E在菱形ABCD內(nèi)部時,連接CE.則線段BP與CE的數(shù)量關(guān)系是____,BP與CE的夾角度數(shù)是____.

設(shè)計意圖:問題情境隱藏了全等的顯性要素,需要進(jìn)行構(gòu)造.設(shè)計填空題的形式,重在讓學(xué)生從題干分析為何、如何構(gòu)造輔助線,為何想到用全等,證明兩線段相等有哪些方法,如何確定用哪一對三角形,如何應(yīng)用全等的性質(zhì),體會全等的應(yīng)用價值.

教學(xué)分析:學(xué)生獨立完成,上臺操作、講解,連接AC構(gòu)造全等解題.教師利用希沃白板適時批注,通過問題串幫助學(xué)生逐步歸納要點,提煉方法技巧.

2.3 橫向變式,深化技能

(2)如圖3,當(dāng)點P在線段BD上,點E在菱形ABCD外部時,連接CE.求證:=PD+CE;

(3)如圖4,當(dāng)點P在線段BD的延長線上時,連接CE.請直接用等式表示線段AD,PD,CE之間的數(shù)量關(guān)系:____.

圖2

圖3

圖4

設(shè)計意圖:從兩條線段的相等關(guān)系,上升到三條線段的數(shù)量關(guān)系,增加系數(shù)形成橫向變式.三個問題實質(zhì)都是“手拉手模型”,但設(shè)計圖形時未連接AC,旨在引導(dǎo)學(xué)生從已有條件和求解入手證明全等,淡化模型的機(jī)械記憶,注重培養(yǎng)學(xué)生探究與解決新問題的思維能力.

教學(xué)分析:教師使用幾何畫板、希沃白板依次演變出第(2)(3)問.第(2)問教師提出三個思考:解決問題的思考切入口是什么?由該切入口你能聯(lián)想到什么已有的知識?利用什么方法實現(xiàn)你的聯(lián)想?引導(dǎo)學(xué)生從所求結(jié)論入手,對線段和、的意義展開合理聯(lián)想,轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題,考慮構(gòu)造全等三角形解題.學(xué)生小組交流,教師拍照上傳學(xué)生解答過程,邀請學(xué)生上臺講解思路.第(3)問學(xué)生類比解題,教師適時點評、補(bǔ)充.

2.4 深度探究,挖掘本質(zhì)

(4)思考:觀察圖2、圖3、圖4,當(dāng)點P在射線BD上運動時,點E的運動路徑是什么?

設(shè)計意圖:借助全等得到的邊、角相等關(guān)系,可進(jìn)一步設(shè)計補(bǔ)充點的運動路徑問題,讓學(xué)生掌握解決路徑問題的基本方法,體會全等的拓展功能,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

教學(xué)分析:教師引導(dǎo)學(xué)生觀察三幅圖形,獨立思考,再進(jìn)行組內(nèi)交流,得出在運動過程中,CE與AC的夾角∠ACE始終等于∠ABD的度數(shù)30?不變,由此得到點E的路徑為∠ACD的平分線CE.教師繼續(xù)追問,其運動路徑長為何,學(xué)生指出其等于點P的運動路徑長BP.最后,教師利用畫板的跟蹤軌跡功能動態(tài)描繪出點E的運動路徑,如圖5所示.

2.5 拓展提升,創(chuàng)新思維

(5)如圖6,當(dāng)?APE在菱形ABCD外側(cè)時,連接BE.DP,點M為BE的中點.求證:DP=2AM.

設(shè)計意圖:本題將等邊?APE旋轉(zhuǎn)到菱形外側(cè),變換圖形位置與構(gòu)成方式進(jìn)行編制,上述情境下∠BAP=∠CAE的相等關(guān)系巧妙轉(zhuǎn)換為了∠EAP+∠BAD=180?的互補(bǔ)關(guān)系,學(xué)生需要打破思維定勢,而不是簡單套用前述的方法.同時,本題全等的工具性更為隱蔽,但又必須使用,要求學(xué)生由所求結(jié)論聯(lián)想到倍長中線(如圖7),或截取一半,或構(gòu)造中位線等,構(gòu)造出一組全等三角形,凸顯創(chuàng)新思維.

教學(xué)分析:教師引導(dǎo)學(xué)生從以下三方面進(jìn)行獨立思考,即思考的切入口在哪、與其相關(guān)的知識有哪些,采用何種方法實現(xiàn),再進(jìn)行小組合作,鼓勵學(xué)生多動手畫圖.根據(jù)課堂實際情況,邀請不同的學(xué)生上臺分享多種解題思路,教師利用畫板軟件逐一構(gòu)造、呈現(xiàn)圖形和解題過程,引導(dǎo)學(xué)生歸納解題的關(guān)鍵:即將表面上與全等無關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為證明線段或角相等的問題,進(jìn)而構(gòu)造全等解題.

圖5

圖6

圖7

2.6 課堂小結(jié),升華主旨

本課板書主要呈現(xiàn)了(2)的解題關(guān)鍵步驟,提煉出全等應(yīng)用與拓展的一般思路,即“想全等——找全等——用全等——應(yīng)用拓展”,如圖8.師生對此加以小結(jié),并分享本課的學(xué)習(xí)收獲.

圖8

3 教學(xué)反思

3.1 選取切入起點,立足基本學(xué)情

本課在復(fù)習(xí)全等三角形性質(zhì)與判定、菱形與等邊三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上,以全新視角審視初中學(xué)段內(nèi)容,找準(zhǔn)選題的切入點,多角度融匯知識,拓寬思維廣度,提升思維深度.設(shè)置前置練習(xí),一是引導(dǎo)學(xué)生觀察含60?角的菱形的幾何圖形特征,解構(gòu)圖形的基本構(gòu)造;二是通過菱形背景中全等三角形的證明鋪墊方法,起到承前啟后的作用.

3.2 問題變式驅(qū)動,立足深度的學(xué)

認(rèn)知難點是思維發(fā)展的一塊“磨刀石”.初始問題的挖掘與整合,要基于學(xué)生實際的知識經(jīng)驗,找準(zhǔn)難點,突破難點,用好難點,揭示難點突破的思維合理性,而不是采取簡單“告知”的方式.本課對典型的全等問題重新組合,形成“一題”的重要素材,以問題驅(qū)動、變式拓展的方式生成“一課”,構(gòu)建新知地圖和方法鏈接,追求簡約而不失思維的數(shù)學(xué)課堂,彰顯數(shù)學(xué)思維發(fā)展的流暢美與結(jié)構(gòu)美.

3.3 精裁教學(xué)設(shè)計,立足深度的教

本課以“圖形的全等運用與拓展”為主題,別出心裁地設(shè)計出一系列含60?角的菱形為背景的幾何綜合題,從圖形變換的多個角度探尋圖形動態(tài)與靜態(tài)的變化規(guī)律.在有限的40分鐘課堂上,以轉(zhuǎn)化思想為主線,串聯(lián)孤立問題,縱橫整合形成變式問題鏈.通過復(fù)習(xí)訓(xùn)練,增強(qiáng)學(xué)生面對新問題時敢于聯(lián)想、敢于嘗試用已有知識解決新問題的意識與能力.

3.4 聚焦通性通法,立足深度的悟

本課以問題鏈為載體,引導(dǎo)學(xué)生深度思考,將積累的解題經(jīng)歷轉(zhuǎn)換為思維活動經(jīng)驗,將基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗遷移到新的問題情境中.學(xué)生經(jīng)歷觀察、類比、聯(lián)想、推理、驗證的全過程,淡化模型技巧,不陷題海套路,感悟數(shù)學(xué)解題的通性通法,優(yōu)化思維品質(zhì),發(fā)展高階思維能力,使學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落地生根.