探索知識本質(zhì),促發(fā)自然生成*
——以向量的加法教學(xué)設(shè)計探析

福建省福清第一中學(xué)(350300) 林琳琳

福建省福清進修學(xué)校(350300) 林新建

人教版新課標(biāo)教材《主編寄語》指出:“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的,如果有人感到某個概念不自然,是強加于人的,那么只要一想它的背景,它的形成過程,它的應(yīng)用,及它與其他概念的聯(lián)系,你就會發(fā)現(xiàn)實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物,不僅合情合理,甚至很有人情味,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要摸索學(xué)習(xí)的方法.”本文以向量的加法教學(xué)設(shè)計為例,就如何引導(dǎo)學(xué)生探索知識本質(zhì),促發(fā)知識自然生成作一探析,以饗讀者.

1 教學(xué)過程設(shè)計

1.1 數(shù)學(xué)情境,感知向量加法背景

教師:我們知道,力和位移可以合成,那么,向量是否可以合成?

追問:如果可以合成,合成的結(jié)果是什么?

設(shè)計意圖:教師設(shè)置問題,讓學(xué)生在熟悉的情境中感知向量加法的背景.學(xué)生會自然地由力和位移是向量,它們可以合成,從而想到向量當(dāng)然可以合成,進而思考如何合成,合成的結(jié)果是什么,為新課的自然引入做好鋪墊.

1.2 數(shù)學(xué)探究,抽象向量加法特征

教師:如圖1,力F對橡皮條產(chǎn)生的效果與力F1與F2共同作用產(chǎn)生的效果相同,物理學(xué)中把力F叫做F1與F2的合力[3].合力F與力F1,F2有怎樣的關(guān)系呢?

追問:你如何從向量角度加以表述?

教師:如圖2,由于以前大陸和臺灣沒有直航,想從臺灣去上海探親,需乘飛機先從臺北到香港,再從香港到上海,請問這兩次位移的結(jié)果是什么?

追問:你又如何從向量角度加以表述?

圖1

圖2

設(shè)計意圖:學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,對上述現(xiàn)象進行了抽象,發(fā)現(xiàn)兩個力F1與F2作用的結(jié)果與一個力F作用的結(jié)果相同,兩次位移的結(jié)果與一次位移結(jié)果相同.

從向量的角度表述,即兩個向量合成為一個新的向量.

1.3 數(shù)學(xué)體驗,概括加法定義

教師:兩個向量合在一起,形成一個新的向量,你認為兩個向量是否進行了一次運算?根據(jù)“合成”可將這種運算命名為什么?

追問:你能對這個運算的定義加以概括嗎?

設(shè)計意圖:從運算角度看,力F可以看作是兩個力F1與F2的“和”,向量也可以看作是向量與的“和”,從而很自然地得到向量加法的概念:求兩個向量的和的運算叫做向量的加法,使向量加法定義的引入順理成章,水到渠成.

教師:位移合成中的三個向量構(gòu)成一個什么圖形?能根據(jù)這個圖形給這種加法運算法則一個名稱嗎?

圖3

師生活動:如圖,位移合成中的三個向量構(gòu)成三角形,所以給這個加法法則取個名字“三角形”法則.教師引導(dǎo)學(xué)生概括出三角形法則的特征.

追問:該如何用符號表示它呢?

教師:力的合成中的三個向量構(gòu)成一個什么圖形?如何給這種加法運算法則一個名稱呢?如何用符號表示它呢?

設(shè)計意圖:通過教師引導(dǎo)、學(xué)生動手操作,體驗形到數(shù)、特殊到一般、具體到抽象,引領(lǐng)學(xué)生對向量加法法則特征的進一步感受,讓學(xué)生獲得足夠的關(guān)于特征的體驗,進而抽象出向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,其核心是動手體驗到抽象概括,從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.4 數(shù)學(xué)內(nèi)化,掌握向量加法法則

教師:向量加法的這個兩個法則是否一致嗎?為什么[3]?

師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生動手操作體會:已知向量a,b,用兩種運算法則求作向量a+b.

圖4

通過學(xué)生動手操作歸納出向量加法三角形法則和平行四邊形法則本質(zhì)是一致.

設(shè)計意圖:“主動學(xué)習(xí)的原則”是教學(xué)的一條重要原則,其核心思想是:學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑就是靠自己去發(fā)現(xiàn).教師要舍得留下足夠的時間,讓學(xué)生開展研究,以更好地培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

教師:如果向量a,b共線,類比數(shù)的加法,你又能得到什么關(guān)系呢?你能動手作出向量a+b嗎?

追問:這時你能歸納出|a+b|,|a|,|b|之間關(guān)系嗎[3]?

師生活動:教師提出問題,學(xué)生動手操作,可能個別學(xué)生不能得到正確答案,教師再進行講解.再進一步讓同學(xué)們回顧一般情況,進而鞏固加深概念內(nèi)涵.

設(shè)計意圖:讓學(xué)生經(jīng)歷一般到特殊的向量加法,再進行回顧,又經(jīng)歷特殊到一般,是為了更好讓他們把握向量加法法則的本質(zhì),理解向量加法的內(nèi)涵.這樣比直接給一道向量加法法則運算題目,更能提高課堂效率.

1.5 數(shù)學(xué)應(yīng)用,深化向量加法理解

教師:數(shù)的加法具有交換律、結(jié)合律,你能用圖形語言證明向量加法的交換律和結(jié)合律?

師生活動:引導(dǎo)同學(xué)們通過自己動手設(shè)計圖形來證明向量加法的交換律和結(jié)合律.教師可以進一步嘗試讓學(xué)生自己說出其設(shè)計的這種證明方法的思路.

設(shè)計意圖:動手實踐→準確表達,使得學(xué)生更進一步獲得知識的內(nèi)涵和本質(zhì),進而達到深度學(xué)習(xí).這比教師事先畫出圖形,讓學(xué)生理解概念運算律,要好的多.

教師:教材第9頁例2長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪船進行運輸,如圖所示,一艘船從長江南岸A點出發(fā),以15km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東6km/h[3].

(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度[3];

(2)求船實際航行的速度的大小與方向[3](用與江水速度的夾角來表示).

圖5

設(shè)計意圖:一方面,讓學(xué)生經(jīng)歷生活→數(shù)學(xué)→生活,從而理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律.另一方面圍繞概念的核心做辨析練習(xí),以進一步鞏固概念,促使學(xué)生把基本概念搞清楚,把握知識的本質(zhì),把握概念的內(nèi)涵,促成能力和素養(yǎng)的提升.

2 教學(xué)設(shè)計體會

2.1 基于四能提出問題

為了使學(xué)生更進一步獲得知識的內(nèi)涵和本質(zhì),進而達到深度學(xué)習(xí).教師在設(shè)置問題時,讓學(xué)生動手操作、觀察歸納、言語表達等活動,從而提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力[1].

2.2 基于四基設(shè)計過程

依據(jù)高中數(shù)學(xué)課程理念,實現(xiàn)“人人能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同發(fā)展”[1],促使讓學(xué)生感受新概念產(chǎn)生的必要性是非常重要的,故本節(jié)課主要從現(xiàn)實生活中的向量物理意義和類比數(shù)的加法使學(xué)生感知向量加法定義產(chǎn)生的必要性.并且概念應(yīng)用環(huán)節(jié),又讓數(shù)學(xué)服務(wù)于現(xiàn)實世界,

高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已逐漸顯現(xiàn)出來,應(yīng)基于“四基”設(shè)計過程,從“數(shù)”與“形”兩個方面,從特殊到一般,從具體到抽象,讓學(xué)生參與概括,參與表達.讓學(xué)生感受新概念產(chǎn)生的必要性,感受新概念的合理性,體驗、感受向量加法的本質(zhì)特征,以獲得更多的活動體驗,積累基本經(jīng)驗,有效地培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.3 基于認知設(shè)計探究

如何使學(xué)生更加自然、更加直觀深入地學(xué)習(xí)和掌握向量加法的本質(zhì),這就要求教師應(yīng)設(shè)置一個更要符合學(xué)生認知規(guī)律的過程.

應(yīng)基于“認知”提出問題,如“像位移合成的三個向量構(gòu)成一個什么圖形?從三個向量關(guān)系看,你得到什么結(jié)論?”,“如果向量a,b共線,它們的加法和數(shù)的加法有什么關(guān)系?你能作出向量a+b嗎?”等等,這樣更能接近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū).