有限容積法對(duì)流項(xiàng)離散格式的穩(wěn)定性與有界性研究

宇波,焦開(kāi)拓,陳宇杰,李敬法,鄧雅軍,王鵬,孫東亮

(1. 北京石油化工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,102617,北京;2. 西安交通大學(xué)動(dòng)力工程多相流國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安)

有限容積法是數(shù)值求解工程流動(dòng)傳熱問(wèn)題的主流方法?；谟邢奕莘e法進(jìn)行控制方程離散時(shí),若對(duì)流項(xiàng)處理不當(dāng),可能導(dǎo)致模擬結(jié)果出現(xiàn)無(wú)物理意義的振蕩或越界現(xiàn)象。因此,對(duì)流項(xiàng)離散格式的性質(zhì)成為了有限容積法研究的重點(diǎn)[1-2]。對(duì)流項(xiàng)離散常用的低階格式有一階迎風(fēng)格式(first-order upwind difference, FUD)、混合格式、指數(shù)格式和乘方格式[3]。對(duì)于強(qiáng)對(duì)流問(wèn)題,采用低階格式計(jì)算穩(wěn)定,但存在假擴(kuò)散,計(jì)算精度較低。二階精度及以上的高階格式可以顯著減輕假擴(kuò)散現(xiàn)象[4],常見(jiàn)的高階格式有二階迎風(fēng)格式(second-order upwind difference, SUD)、中心差分格式(central difference, CD)和QUICK格式等。然而,采用高階格式可能由于不滿足對(duì)流項(xiàng)離散格式的穩(wěn)定性得到非物理意義的振蕩解[5],對(duì)流項(xiàng)穩(wěn)定性分析是有限容積法高階格式研究的關(guān)鍵點(diǎn)[6]。SUD格式只涉及到上游點(diǎn),為絕對(duì)穩(wěn)定格式,而CD格式、QUICK格式涉及下游點(diǎn),在網(wǎng)格貝克萊數(shù)較大時(shí)會(huì)產(chǎn)生數(shù)值振蕩,即為條件穩(wěn)定格式[7]。此外,組合SUD、CD格式的SCSD(stability-controllable second-order difference)格式[8],通過(guò)調(diào)節(jié)SUD、CD格式的權(quán)重實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性可控?；赟CSD格式,Li等[9]提出了一種通過(guò)網(wǎng)格貝克萊數(shù)大小調(diào)節(jié)SUD、CD格式權(quán)重的SGSD(stability-guaranteed second-order difference)格式,該格式可根據(jù)當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)格貝克萊數(shù)調(diào)整權(quán)重系數(shù),使其自動(dòng)滿足對(duì)流項(xiàng)穩(wěn)定性條件,兼顧了計(jì)算精度和對(duì)流項(xiàng)的穩(wěn)定性。權(quán)重系數(shù)的計(jì)算方法并不唯一,不同權(quán)重計(jì)算方法對(duì)計(jì)算精度性存在影響,但對(duì)此鮮有研究。此外,不同對(duì)流項(xiàng)離散格式的穩(wěn)定性條件由當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)格貝克萊數(shù)確定,對(duì)于與邊界相鄰的節(jié)點(diǎn),無(wú)論是采用內(nèi)節(jié)點(diǎn)法還是外節(jié)點(diǎn)法,對(duì)于均分網(wǎng)格由于界面與節(jié)點(diǎn)之間位置關(guān)系特殊,可能導(dǎo)致穩(wěn)定性條件與內(nèi)部節(jié)點(diǎn)存在差異。但是,目前對(duì)流項(xiàng)離散格式的穩(wěn)定性分析均基于計(jì)算區(qū)域內(nèi)部節(jié)點(diǎn),推導(dǎo)得出的對(duì)流穩(wěn)定性條件對(duì)于與邊界相鄰節(jié)點(diǎn)的適用性有待探討。

絕對(duì)穩(wěn)定的對(duì)流項(xiàng)離散格式可以避免產(chǎn)生非物理意義的振蕩解,但部分絕對(duì)穩(wěn)定的離散格式并不能避免越界現(xiàn)象(待求變量超出物理問(wèn)題本身所規(guī)定的物理量的上下限),即無(wú)法保證有界性。對(duì)流項(xiàng)離散格式的有界性也是有限容積法研究的關(guān)鍵點(diǎn)[3]。為了克服越界現(xiàn)象,已發(fā)展了多類方法,例如通量密度修正法[10-12]、規(guī)正變量圖(normalized variable diagram,NVD)[13-14]和總變差減小法(total variation diminishing,TVD)[15-17]等?；谝?guī)正變量圖,Gaskell等[18]提出了對(duì)流有界性CBC(convection boundedness criterion)準(zhǔn)則,滿足該準(zhǔn)則的高階格式被稱為高階有界格式。經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展,國(guó)內(nèi)外學(xué)者們提出了多種高階有界格式,常見(jiàn)的有SMART[18]、MINMOD[19]、HOAB[20]、SUPERBEE[21]、MUSCL[22]等。這些格式在計(jì)算精度、收斂速率和健壯性上表現(xiàn)各異[23],如何構(gòu)造一種平衡各類性能的高階有界格式值得探究。

對(duì)于上述有限容積法對(duì)流項(xiàng)離散格式在穩(wěn)定性和有界性方面存在的不足,本文采用理論分析和數(shù)值試驗(yàn)相結(jié)合的方法開(kāi)展研究:對(duì)于對(duì)流項(xiàng)穩(wěn)定性,探究與邊界相鄰節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定性條件和SGSD格式的權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法;對(duì)于對(duì)流項(xiàng)有界性,分析常見(jiàn)的高階有界格式特性,總結(jié)有利于編程實(shí)施的通用表達(dá)形式,提出性能可控的高階有界格式,并進(jìn)一步優(yōu)化得到綜合計(jì)算性能較優(yōu)的高階有界格式。

1 對(duì)流項(xiàng)離散格式的穩(wěn)定性

若采用某一對(duì)流項(xiàng)離散格式得到的收斂解是不具有物理意義的振蕩解,則稱該對(duì)流項(xiàng)離散格式是不穩(wěn)定的,否則是穩(wěn)定的。本節(jié)主要針對(duì)與邊界相鄰節(jié)點(diǎn)的對(duì)流穩(wěn)定性條件以及絕對(duì)穩(wěn)定的SGSD格式權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法進(jìn)行說(shuō)明。

1.1 與邊界相鄰節(jié)點(diǎn)的對(duì)流穩(wěn)定性條件

上述穩(wěn)定性條件僅適用于與邊界不相鄰的內(nèi)點(diǎn)。對(duì)于與邊界相鄰的節(jié)點(diǎn),無(wú)論是采用內(nèi)節(jié)點(diǎn)法還是外節(jié)點(diǎn)法,邊界面上對(duì)流通量(CD格式、QUICK格式等)和擴(kuò)散通量的表達(dá)式與其他內(nèi)節(jié)點(diǎn)不同,由此得到的邊界相鄰節(jié)點(diǎn)的對(duì)流穩(wěn)定性條件與其他內(nèi)點(diǎn)不同。內(nèi)節(jié)點(diǎn)法西邊界面網(wǎng)格示意圖如圖1所示。

圖1 內(nèi)節(jié)點(diǎn)法西邊界面網(wǎng)格示意圖Fig.1 Schematic of the grid at the west boundary based on the cell centered scheme

(1)

式中:φ為待求變量;下標(biāo)e、w代表東、西界面。

若對(duì)流項(xiàng)采用QUICK格式,擴(kuò)散項(xiàng)一階導(dǎo)數(shù)采用界面相鄰兩點(diǎn)近似,采用圖1所示的均分網(wǎng)格,則式(1)可離散為

(2)

整理得

(3)

由正型系數(shù)法[3]可知,對(duì)流穩(wěn)定性應(yīng)滿足

(4)

式(2)中擴(kuò)散項(xiàng)在邊界面處一階導(dǎo)數(shù)采用一階精度格式離散,而對(duì)流項(xiàng)中各界面處待求變量和東界面處一階導(dǎo)數(shù)采用二階精度格式離散。為使得各界面對(duì)流通量和擴(kuò)散通量離散階數(shù)相等,邊界面處一階導(dǎo)數(shù)需采用三點(diǎn)近似的二階格式,此時(shí)離散表達(dá)式為

(5)

整理得

(6)

由正型系數(shù)法可知,對(duì)流穩(wěn)定性應(yīng)滿足

(7)

同理,推導(dǎo)了其他情況與邊界相鄰節(jié)點(diǎn)采用CD格式、QUICK格式時(shí)的對(duì)流項(xiàng)穩(wěn)定性條件,如表1所示,表中上標(biāo)1表示邊界處擴(kuò)散通量中的一階導(dǎo)數(shù)采用一階精度,2表示采用二階精度。由此可知,與邊界相鄰節(jié)點(diǎn)的對(duì)流穩(wěn)定性條件不僅與離散格式相關(guān),還與區(qū)域離散方式(內(nèi)、外節(jié)點(diǎn)法)、界面流速方向和邊界法線方向相關(guān)。

(a)內(nèi)節(jié)點(diǎn)法

(b)外節(jié)點(diǎn)法

對(duì)流項(xiàng)穩(wěn)定性條件是在理想和苛刻的條件下得到的,事實(shí)上對(duì)流離散格式的穩(wěn)定性條件受到流動(dòng)的維度、非線性、內(nèi)熱源和網(wǎng)格類型等多種因素的影響,在流動(dòng)與傳熱實(shí)際工程問(wèn)題中使數(shù)值解發(fā)生振蕩的PeΔ值往往比理想條件下得到的結(jié)果大得多。

1.2 絕對(duì)穩(wěn)定的SGSD格式權(quán)重計(jì)算

數(shù)值模擬計(jì)算中,為減輕假擴(kuò)散的影響,對(duì)流項(xiàng)推薦采用高階格式進(jìn)行離散。從物理意義上講,大PeΔ表示離散的對(duì)流項(xiàng)影響較強(qiáng)、擴(kuò)散項(xiàng)影響較弱,采用絕對(duì)穩(wěn)定的SUD格式離散較為合適;反之,小PeΔ表示離散的對(duì)流項(xiàng)影響較弱、擴(kuò)散項(xiàng)影響較強(qiáng),采用條件穩(wěn)定的CD格式較為合適。據(jù)此,結(jié)合SUD格式、CD格式的優(yōu)點(diǎn),文獻(xiàn)[9]提出對(duì)強(qiáng)對(duì)流、弱對(duì)流問(wèn)題均適用的絕對(duì)穩(wěn)定的SGSD格式

(8)

為了減小假擴(kuò)散并提高計(jì)算精度,王賢鋼等[24]提出了一種新的權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法

(9)

式中:(PeΔ)max為計(jì)算區(qū)域中PeΔ的最大值。相較于原權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法,該方法在PeΔ>6時(shí)增大了CD格式的權(quán)重,但修正后的權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法并不滿足絕對(duì)穩(wěn)定性條件。

CD格式、SUD格式的截差首項(xiàng)系數(shù)不同,當(dāng)滿足對(duì)流項(xiàng)穩(wěn)定性時(shí)CD格式、SUD格式造成的計(jì)算誤差也不同,因此SUD格式、CD格式的權(quán)重配比會(huì)影響SGSD格式整體的計(jì)算誤差。本文以滿足絕對(duì)穩(wěn)定性條件為前提,提出了兩種權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法:

方法Ⅰ

(10)

方法Ⅱ

(11)

采用SGSD格式不同權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法得到的平均誤差隨PeΔ的變化如圖3所示。由圖3可知:當(dāng)PeΔ為1～2時(shí),按誤差從大到小排序?yàn)榉椒á?、原?quán)重系數(shù)計(jì)算方法和文獻(xiàn)[24]方法、方法Ⅰ;當(dāng)PeΔ為3～7時(shí),排序?yàn)榉椒á瘛⒎椒á?、原?quán)重系數(shù)計(jì)算方法和文獻(xiàn)[24]方法;當(dāng)PeΔ為7～9時(shí),排序?yàn)榉椒á瘛⒃瓩?quán)重系數(shù)計(jì)算方法和文獻(xiàn)[24]方法、方法Ⅱ;當(dāng)PeΔ>9時(shí),排序?yàn)槲墨I(xiàn)[24]方法、原權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法、方法Ⅰ、方法Ⅱ。綜合來(lái)看,SGSD格式原權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法在較大PeΔ取值范圍內(nèi)并不是最優(yōu)的,可根據(jù)問(wèn)題需要進(jìn)行選擇。強(qiáng)對(duì)流問(wèn)題可采用本文所提權(quán)重計(jì)算方法Ⅰ、方法Ⅱ。

(a)S=0

(b)S=800x

2 對(duì)流項(xiàng)離散格式的有界性

本節(jié)主要總結(jié)常見(jiàn)對(duì)流項(xiàng)高階有界格式的特點(diǎn),提出通用表達(dá)式和兼顧計(jì)算精度、收斂速率、健壯性的高階有界格式。

2.1 CBC準(zhǔn)則

關(guān)于對(duì)流項(xiàng)有界性的討論常基于規(guī)正變量的形式,規(guī)正變量和規(guī)正空間坐標(biāo)的定義為

(12)

圖4 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及下標(biāo)U、C、D和f的相對(duì)位置關(guān)系Fig.4 Node coordinate and relative position of subscripts U, C, D, f

對(duì)流項(xiàng)滿足有界性的充分必要條件為在規(guī)正變量圖上滿足CBC準(zhǔn)則,具體表達(dá)式為

(13)

式(13)所示在規(guī)正變量圖中對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖5中陰影部分所示。在規(guī)正變量圖中滿足CBC準(zhǔn)則的格式稱為有界格式。

圖5 對(duì)流項(xiàng)有界性的CBC準(zhǔn)則示意圖 Fig.5 Schematic of boundedness criteria for convection term

常見(jiàn)對(duì)流項(xiàng)離散格式在均分網(wǎng)格下規(guī)正變量圖中的圖線如圖6所示。格式圖線與縱軸的交點(diǎn)等于該格式對(duì)流穩(wěn)定性條件的倒數(shù),與原點(diǎn)相交的SUD、FUD格式為絕對(duì)穩(wěn)定格式。圖6中位于CD、SUD格式之間的陰影區(qū)域可視作CD、SUD兩種二階格式的組合,因此具有二階截差精度。具有二階及以上截差精度并同時(shí)滿足CBC準(zhǔn)則的格式稱為高階有界格式,可以證明高階有界格式是絕對(duì)穩(wěn)定的格式?；诟唠A有界格式的這些優(yōu)點(diǎn),建議在工程實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)盡可能采用高階有界格式離散對(duì)流項(xiàng),以保證得到精度較高且具有物理意義的數(shù)值解。

圖6 均分網(wǎng)格下常見(jiàn)對(duì)流項(xiàng)離散格式的NVD圖Fig.6 NVD plot of typical discretized schemes for convection term in the uniform grid system

2.2 高階有界格式通用表達(dá)形式

(14)

表2 常見(jiàn)高階有界格式坐標(biāo)點(diǎn)

圖7 通用高階有界格式示意圖Fig.7 Schematic of general high-order bounded scheme

圖8 性能可控高階有界格式示意圖Fig.8 Schematic of high-order bounded scheme with controllable performance

(15)

AHB格式的非均分網(wǎng)格表達(dá)式為

(16)

Nerr=max(|φn+1-φn|)

(17)

式中φn+1、φn為相鄰兩迭代步的待求變量向量。設(shè)置迭代收斂標(biāo)準(zhǔn)為Nerr≤1×10-8,最大外迭代次數(shù)為5 000。

圖9 二維單階梯突變純對(duì)流問(wèn)題示意圖 Fig.9 Schematic of the two-dimensional convective problem with a sharp interface

為保證不同C、D取值情況下,絕大部分區(qū)域均可獲得收斂解,松弛因子為0.1。平均誤差、計(jì)算時(shí)間隨C、D取值的變化如圖10所示,其中平均誤差由x=0.5處中垂線待求變量結(jié)果獲得。

(a)平均誤差

(b)計(jì)算時(shí)間分布

(18)

2.3 案例分析

2.3.1 單階梯突變的純對(duì)流問(wèn)題

該問(wèn)題計(jì)算參數(shù)與2.2小節(jié)單階梯突變的純對(duì)流問(wèn)題相同。松弛因子為0.2時(shí)各高階有界格式在x=0.5處中垂線的變量分布如圖11所示。由圖11可知,MINMOD格式假擴(kuò)散最嚴(yán)重,待求變量在階梯處平緩變化與解析解差距最大,SMART、MUSCL格式與解析解的差距次之,SUPERBEE、SAHB、HOAB和ABC這4種格式均可較好地捕捉到階梯突變結(jié)果。表3給出了松弛因子為0.8、0.6、0.4、0.2時(shí)各格式平均誤差、迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間,迭代次數(shù)為5 000表示該格式并未完全收斂。由表3可知,各格式之間計(jì)算精度、收斂速率和健壯性差別較大,且沒(méi)有一種格式能在多個(gè)方面明顯優(yōu)于其他格式。單階梯突變純對(duì)流問(wèn)題采用不同高階有界格式的平均誤差如圖12所示,單階梯突變純對(duì)流問(wèn)題采用不同高階有界格式的最大松弛因子如圖13所示,可知SUPERBEE、SAHB、HOAB和ABC格式計(jì)算精度相對(duì)較高,但這些格式達(dá)到收斂標(biāo)準(zhǔn)對(duì)松弛因子的要求較高,尤其是SUPERBEE格式,在測(cè)試中并未收斂。在這4種計(jì)算精度相對(duì)較高的格式中,ABC格式可獲得的最大松弛因子為0.45,小于HOAB格式,但前者收斂過(guò)程更加穩(wěn)定,所需的收斂時(shí)間明

圖11 單階梯突變純對(duì)流問(wèn)題中垂線計(jì)算結(jié)果 Fig.11 Variable profile at the mid-vertical line for the convective problem with a sharp interface

圖12 單階梯突變純對(duì)流問(wèn)題采用不同高階有界格式的平均誤差Fig.12 Mean error of high-order bounded schemes for the convective problem with a sharp interface

顯小于后者,并且計(jì)算效率接近可取高松弛因子的MINMOD、MUSCL格式,單階梯突變純對(duì)流問(wèn)題采用不同高階有界格式的計(jì)算時(shí)間如圖14所示。

圖13 單階梯突變純對(duì)流問(wèn)題采用不同高階有界格式的最大松弛因子Fig.13 Maximum relaxing factor of high-order bounded schemes for the convective problem with a sharp interface

因此,ABC格式具有良好的收斂速率和健壯性,且計(jì)算精度較高。計(jì)算時(shí)間為不同松弛因子下計(jì)算收斂所需的最短時(shí)間,后文如無(wú)特殊說(shuō)明,均與此相同。

圖14 單階梯突變純對(duì)流問(wèn)題采用不同高階有界格式的計(jì)算時(shí)間Fig.14 Computation time of high-order bounded schemes for the convective problem with a sharp interface

表3 單階梯突變純對(duì)流問(wèn)題中各高階有界格式計(jì)算性能

2.3.2 Smith-Hutton純對(duì)流問(wèn)題

第一個(gè)案例基于均勻流場(chǎng)進(jìn)行分析,為對(duì)比不均勻流場(chǎng)中不同高階有界格式的計(jì)算性能,采用Smith-Hutton純對(duì)流問(wèn)題進(jìn)行研究。如圖15所示,幾何區(qū)域大小為2 m×1 m,區(qū)域中存在旋轉(zhuǎn)流場(chǎng),通過(guò)邊界條件控制:下邊界被分成左、右兩部分,左半邊入口為第一類邊界條件,變量分布滿足雙曲正切函數(shù)φ=1+tanh[α(1+2x)],其中α取40;右半邊出口為第二類邊界條件,界面法向?qū)?shù)為0。該問(wèn)題的解析解為φ=1+tanh[α(1-2x)]。采用均分網(wǎng)格內(nèi)節(jié)點(diǎn)法對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散,網(wǎng)格數(shù)為120×60,求解方法與案例1相同。

圖15 Smith-Hutton純對(duì)流問(wèn)題示意圖 Fig.15 Schematic of the Smith-Hutton convection problem

松弛因子為0.2時(shí)各高階有界格式在右半部分出口處的變量分布如圖16所示。由于其解析解分布為雙曲正切函數(shù),因此變量分布并非完全的階梯突變。由圖16可知,該問(wèn)題中各格式計(jì)算精度差異與前兩個(gè)案例大致相同,SUPERBEE、SAHB、HOAB和ABC格式的計(jì)算結(jié)果更接近解析解。表4和圖17～19給出了該問(wèn)題中各格式的計(jì)算精度、收斂速率和健壯性對(duì)比結(jié)果。不同于第一個(gè)算例,ABC的計(jì)算精度、收斂速率、健壯性均優(yōu)于HOAB、MUSCL格式。MUSCL、SUPERBEE和SAHB格式未完全收斂。

圖16 Smith-Hutton純對(duì)流問(wèn)題出口變量分布Fig.16 Variable profile of the Smith-Hutton convection problem at the outlet

表4 Smith-Hutton純對(duì)流問(wèn)題中各高階有界格式計(jì)算性能

圖17 Smith-Hutton純對(duì)流問(wèn)題采用不同高階有界格式的平均誤差Fig.17 Mean error of high-order bounded schemes for the Smith-Hutton convection problem

圖18 Smith-Hutton純對(duì)流問(wèn)題采用不同有界格式的最大松弛因子 Fig.18 Maximum relaxing factor of high-order bounded schemes for the Smith-Hutton convection problem

圖19 Smith-Hutton純對(duì)流問(wèn)題采用不同高階有界格式的計(jì)算時(shí)間Fig.19 Computation time of high-order bounded schemes for the Smith-Hutton convection problem

2.3.3 頂蓋驅(qū)動(dòng)問(wèn)題

上述兩個(gè)案例均為二維純對(duì)流問(wèn)題,為了分析本文所提出的高階有界格式在三維對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題以及非線性流動(dòng)問(wèn)題中的計(jì)算性能,本小節(jié)采用三維方腔頂蓋驅(qū)動(dòng)問(wèn)題對(duì)此進(jìn)行研究。雷諾數(shù)為1 000,所有壁面均為無(wú)滑移,采用50×50×50的結(jié)構(gòu)化均分網(wǎng)格對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散。采用SIMPLE算法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解,收斂標(biāo)準(zhǔn)為動(dòng)量方程、連續(xù)性方程余量的二范數(shù)分別小于6.0×10-6、1.0×10-10,對(duì)于收斂困難的SUPERBEE格式,動(dòng)量方程收斂標(biāo)準(zhǔn)采用1.0×10-4。

本文采用文獻(xiàn)[25]中z=0.5平面與x=0.5平面相交線上的u方向速度的計(jì)算結(jié)果作為基準(zhǔn)解,進(jìn)一步計(jì)算了相同網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位置處、不同格式計(jì)算結(jié)果與基準(zhǔn)解之間的相對(duì)差異,如圖20所示。對(duì)比結(jié)果表明,ABC格式平均相對(duì)偏差最小,HOAB格式、SAHB格式次之。不同于上述給定流場(chǎng)問(wèn)題,SUPERBEE格式無(wú)法收斂且計(jì)算精度最低。

圖20 三維頂蓋驅(qū)動(dòng)問(wèn)題采用不同高階有界格式的相對(duì)偏差Fig.20 Relative error of different discrete schemes of convection term for the three-dimensional lid-driven flow problem

計(jì)算時(shí)間對(duì)比結(jié)果如圖21所示。由圖21可以看出,ABC與MINMOD、MUSCL格式的收斂所需時(shí)間均在1 000 s左右,且明顯低于其他高階有界格式。此外,采用經(jīng)典的QUICK格式得到的計(jì)算時(shí)間為922 s,與ABC格式差異不大。

圖21 三維頂蓋驅(qū)動(dòng)問(wèn)題采用不同對(duì)流項(xiàng)離散格式的計(jì)算時(shí)間Fig.21 Computation time of different discrete schemes of convection term for the three-dimensional lid-driven flow problem

采用不同對(duì)流項(xiàng)離散格式的最大松弛因子如圖22所示。由圖22可以看出,采用ABC、MINMOD和MUSCL格式時(shí),亞松弛因子均可取到0.85,且大于其他高階有界格式。此外,采用QUICK格式的最大松弛因子同為0.85。這表明ABC格式具有較高的求解健壯性。

圖22 三維頂蓋驅(qū)動(dòng)問(wèn)題采用不同對(duì)流項(xiàng)離散格式的最大松弛因子Fig.22 Maximum relaxing factor of different discrete schemes of convection term for the three-dimensional lid-driven flow problem

綜上,對(duì)于階梯突變、Smith-Hutton純對(duì)流和頂蓋驅(qū)動(dòng)問(wèn)題,所測(cè)試的現(xiàn)有格式均無(wú)法兼顧計(jì)算精度、收斂速率和健壯性,且這些格式在不同問(wèn)題下的表現(xiàn)不同。為了進(jìn)一步對(duì)比說(shuō)明ABC格式在計(jì)算精度、收斂速率和健壯性方面的綜合表現(xiàn),以上述3個(gè)算例為對(duì)象,對(duì)不同格式的計(jì)算精度、計(jì)算時(shí)間和最大松弛因子進(jìn)行分別排名,并以排名大小為分?jǐn)?shù)進(jìn)行加權(quán)平均得到總分,總分越小意味著綜合表現(xiàn)越佳。為了提高對(duì)比的可靠性,分別采用兩種不同的排名方式和權(quán)重因子。兩種排名方式為:①考慮計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間因編程風(fēng)格和計(jì)算機(jī)運(yùn)行狀態(tài)不同而導(dǎo)致的差異,當(dāng)兩種格式差異較小時(shí),認(rèn)為兩者一致,并列排名;②不考慮編程風(fēng)格和計(jì)算機(jī)運(yùn)行狀態(tài)差異帶來(lái)的偏差,直接根據(jù)計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間的大小進(jìn)行排名。兩種權(quán)重因子為:①計(jì)算精度、計(jì)算時(shí)間、最大松弛因子的權(quán)重取值分別為0.5、0.25、0.25;②計(jì)算精度、計(jì)算時(shí)間、最大松弛因子的權(quán)重取值均為1/3。不同排名方式下不同高階有界格式在3種經(jīng)典算例中的計(jì)算性能排名如表5～8所示,可知ABC格式雖然在不同問(wèn)題中的計(jì)算精度、收斂速率和健壯性的排名不同,但均整體表現(xiàn)最優(yōu),具有求解精度高、收斂快、健壯性好的特點(diǎn)。

表5 各高階有界格式計(jì)算性能對(duì)比(排名方式①,權(quán)重系數(shù)①)

表6 各高階有界格式計(jì)算性能對(duì)比(排名方式①,權(quán)重系數(shù)②)

表7 各高階有界格式計(jì)算性能對(duì)比(排名方式②,權(quán)重系數(shù)①)

表8 各高階有界格式計(jì)算性能對(duì)比(排名方式②,權(quán)重系數(shù)②)

3 結(jié) 論

本文對(duì)有限容積法對(duì)流項(xiàng)離散格式的穩(wěn)定性和有界性進(jìn)行了較為深入的研究,主要結(jié)論如下。

(1)通過(guò)對(duì)流項(xiàng)離散格式的穩(wěn)定性分析,發(fā)現(xiàn)內(nèi)、外節(jié)點(diǎn)法邊界相鄰節(jié)點(diǎn)的對(duì)流項(xiàng)穩(wěn)定性條件與內(nèi)點(diǎn)的存在較大差異;對(duì)于SGSD格式,存在多種權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法。

(2)根據(jù)常見(jiàn)高階有界格式線型為分段線性函數(shù)的特點(diǎn),推導(dǎo)得到通用的分段線型高階有界格式GHB,并給出了均分、非均分網(wǎng)格下常見(jiàn)格式的折點(diǎn)取值。

(3)提出了通過(guò)調(diào)節(jié)C、D兩個(gè)控制因子實(shí)現(xiàn)性能可控的高階有界格式AHB格式,并通過(guò)參數(shù)優(yōu)化得到了綜合性能較優(yōu)的ABC格式。采用不同的高階有界格式計(jì)算了3個(gè)經(jīng)典算例,并對(duì)計(jì)算誤差、計(jì)算時(shí)間和最大松弛因子進(jìn)行綜合評(píng)估,結(jié)果表明在不同評(píng)估方法下,ABC格式在計(jì)算精度、收斂速率和健壯性的整體性能方面均表現(xiàn)最優(yōu)。