項(xiàng)目化實(shí)施數(shù)學(xué)建模 跨學(xué)科落實(shí)活動(dòng)育人

周遠(yuǎn)方 張利 范俊明

摘 ?要：“測(cè)量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”這一課例展示了一個(gè)完整的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng). 全程通過(guò)項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)與物理、地理、測(cè)量等學(xué)科知識(shí)和思想方法，從平面與空間、三角與函數(shù)、幾何與代數(shù)的角度，跨學(xué)科融合解決“測(cè)量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題. 課題突出活動(dòng)育人，讓學(xué)生在綜合實(shí)踐的活動(dòng)過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)聯(lián)，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升探究能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和跨學(xué)科研究意識(shí)，凸顯了跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)的育人功能．

關(guān)鍵詞：跨學(xué)科；數(shù)學(xué)建模；項(xiàng)目學(xué)習(xí)；綜合實(shí)踐；核心素養(yǎng)；活動(dòng)育人

一、課題背景說(shuō)明

“測(cè)量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”是第十一屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)的指點(diǎn)課題之一，源于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）附錄中的第15個(gè)案例和第19個(gè)案例.

本指定課題是以平面幾何、立體幾何、解三角形等相關(guān)知識(shí)應(yīng)用為核心的跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)涉及數(shù)學(xué)、物理、地理等不同學(xué)科. 課題給學(xué)生提供了開(kāi)放性的活動(dòng)任務(wù)，倡導(dǎo)通過(guò)項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式和團(tuán)隊(duì)合作的形式解決問(wèn)題. 如圖1，活動(dòng)可以分為課外和課內(nèi)兩部分，課外主要是確定測(cè)量對(duì)象、完成測(cè)量任務(wù)；課內(nèi)主要是成果的展示與交流. 課題要求以活動(dòng)育人，由教師主導(dǎo)實(shí)施，讓學(xué)生經(jīng)歷開(kāi)題、選題、做題和結(jié)題的全過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的完整過(guò)程，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算，以及團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和跨學(xué)科研究意識(shí).

《標(biāo)準(zhǔn)》的兩個(gè)案例分別從目的、情境、過(guò)程、分析、評(píng)價(jià)和拓展等六個(gè)維度，提出了本指定課題的教學(xué)要求和評(píng)價(jià)建議（詳見(jiàn)表1），既要突出跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的實(shí)施要求，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷選題、開(kāi)題、做題和結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)，又要突出數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的內(nèi)容要求，讓學(xué)生完整體驗(yàn)設(shè)模、建模、解模和驗(yàn)?zāi)５恼鎸?shí)過(guò)程（如圖2）.

本指定課題也是此次展示活動(dòng)中唯一的一節(jié)跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)課例，并分別由三位教師承擔(dān)該課題的同課異構(gòu)任務(wù). 三節(jié)展示課例都體現(xiàn)了課程觀新、建模味濃、過(guò)程性強(qiáng)等特點(diǎn). 其中，盧龍老師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）的展示課例相對(duì)更為突出，特別是按項(xiàng)目學(xué)習(xí)實(shí)施數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，演繹了跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的基本套路，展示了讓學(xué)生在做中學(xué)、悟中學(xué)、用中學(xué)、創(chuàng)中學(xué)的具體做法，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的育人價(jià)值. 以下擷取本節(jié)課的亮點(diǎn)進(jìn)行評(píng)析，以供借鑒參考.

二、亮點(diǎn)評(píng)析

本課例遵循指定課題的設(shè)計(jì)定位、教學(xué)要求和評(píng)價(jià)建議，通過(guò)真實(shí)的測(cè)量高度問(wèn)題，給學(xué)生提供了開(kāi)放性的活動(dòng)任務(wù)，學(xué)生從不同視角提出了具有創(chuàng)意的測(cè)量方法，通過(guò)團(tuán)隊(duì)合作來(lái)解決問(wèn)題，體現(xiàn)了跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的真實(shí)性、綜合性、實(shí)踐性、開(kāi)放性、探究性和靈活性等特點(diǎn).

1. 課時(shí)劃分契合要求，有效引領(lǐng)了學(xué)生的研究過(guò)程

本課例立足于單元整體化設(shè)計(jì)，將課題研究合理劃分為三個(gè)課時(shí)進(jìn)行. 采用項(xiàng)目學(xué)習(xí)方式，通過(guò)開(kāi)題、做題和結(jié)題三個(gè)環(huán)節(jié)，有效引導(dǎo)了學(xué)生的研究過(guò)程.

在實(shí)踐活動(dòng)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施中，秉承以學(xué)生為中心的基本理念，讓學(xué)生在這樣一個(gè)涉及數(shù)學(xué)、物理、地理、建筑等多學(xué)科內(nèi)容的復(fù)雜問(wèn)題情境中，聚焦測(cè)量主題，自主經(jīng)歷方案設(shè)計(jì)、模型建立、模型優(yōu)化、模型求解、誤差分析等過(guò)程，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)與跨學(xué)科知識(shí)和思想方法，解決高度測(cè)量的相關(guān)問(wèn)題，從中體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受用數(shù)學(xué)的眼光觀察測(cè)量問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的思維研究測(cè)量問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)測(cè)量問(wèn)題.

2. 情境設(shè)計(jì)切合實(shí)際，有效激發(fā)了學(xué)生的探究興趣

在項(xiàng)目學(xué)習(xí)的啟動(dòng)環(huán)節(jié)中，由于“測(cè)量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”課題范圍太廣，如何實(shí)現(xiàn)聚焦？執(zhí)教教師對(duì)此進(jìn)行了一系列精心設(shè)計(jì). 首先，通過(guò)任務(wù)型支架設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)回顧、調(diào)查研究、查閱資料等方式，引導(dǎo)學(xué)生了解建筑物高度的測(cè)量問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)入高度測(cè)量的實(shí)際情境，有效激發(fā)了學(xué)生的探究興趣. 其次，教師給出三個(gè)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入思考測(cè)量問(wèn)題的情境之中，有效激發(fā)了學(xué)生的求知欲望. 最后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，學(xué)生通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析并結(jié)合查閱文獻(xiàn)，找到三個(gè)任務(wù)的答案，自然而然地完成任務(wù)，實(shí)現(xiàn)了研究的聚焦效應(yīng). 整個(gè)情境設(shè)計(jì)自然、流暢，能夠讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴，有利于開(kāi)闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力.

在項(xiàng)目學(xué)習(xí)的展示活動(dòng)中，堅(jiān)持“有的放矢，立足課內(nèi)，突出校外”的原則，先將校內(nèi)建筑物測(cè)高作為鋪墊，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)了7種測(cè)量方案. 在此基礎(chǔ)上，將展示活動(dòng)的重心放在校外建筑物（大雁塔）的高度測(cè)量上，并將學(xué)生分為6個(gè)小組開(kāi)展測(cè)量結(jié)果匯報(bào)活動(dòng)，每個(gè)小組采取趣味冠名，進(jìn)一步激活了展示與交流的氛圍，讓學(xué)生真正沉浸在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，以及“玩數(shù)學(xué)”的情境之中，享受數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的快樂(lè).

3. 學(xué)科跨度融合自然，有效發(fā)揮了活動(dòng)的育人價(jià)值

課題研究活動(dòng)大膽嘗試了項(xiàng)目化學(xué)習(xí)方式，恰當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)與物理、地理、建筑和信息技術(shù)等學(xué)科知識(shí)自然融合，啟發(fā)學(xué)生從數(shù)學(xué)和跨學(xué)科的角度發(fā)現(xiàn)、思考和解決“測(cè)量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題. 在促進(jìn)學(xué)生跨學(xué)科理解數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，還獲得了對(duì)其他相關(guān)學(xué)科知識(shí)的認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，實(shí)現(xiàn)了跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)方式和育人方式的變革.

課題展示活動(dòng)聚焦大雁塔的高度測(cè)量，按照“測(cè)量問(wèn)題—建立模型—優(yōu)化模型—評(píng)價(jià)模型”的線索組織結(jié)題報(bào)告，使得活動(dòng)層次清晰、結(jié)構(gòu)清楚、融合自然. 其融合方式和育人價(jià)值，突出體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

（1）突出數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部不同主題知識(shí)的融合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

針對(duì)底部可達(dá)與底部不可達(dá)的建筑物，教師引導(dǎo)學(xué)生從平面與空間、幾何與代數(shù)、三角與函數(shù)等學(xué)科主題角度入手，讓學(xué)生綜合運(yùn)用平面幾何、立體幾何、解三角形等相關(guān)知識(shí)，通過(guò)相關(guān)計(jì)算公式、測(cè)量模型、實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)、計(jì)算結(jié)果和誤差分析，比較、評(píng)價(jià)多種不同測(cè)高方式的優(yōu)劣，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的數(shù)學(xué)化過(guò)程.

（2）突出數(shù)學(xué)與其他相關(guān)學(xué)科知識(shí)的融合，體現(xiàn)跨學(xué)科的育人價(jià)值.

在學(xué)校內(nèi)、外建筑物的測(cè)高過(guò)程中，教師恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)與物理、地理、建筑、信息技術(shù)等多個(gè)角度看待不同的測(cè)高方式，并嘗試?yán)米杂陕潴w運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)、Phyphox軟件、比例尺和平面鏡等多種測(cè)量工具和測(cè)量方式，讓學(xué)生體會(huì)利用數(shù)學(xué)、物理和地理等多學(xué)科知識(shí)綜合分析問(wèn)題的優(yōu)越性，感悟數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，發(fā)展跨學(xué)科研究意識(shí)，充分體現(xiàn)了跨學(xué)科的育人價(jià)值.

（3）突出古代測(cè)量文化和現(xiàn)代測(cè)量技術(shù)的融合，體現(xiàn)文化的育人價(jià)值.

首先，學(xué)生受到高考數(shù)學(xué)試題中與《海島算經(jīng)》相關(guān)的數(shù)學(xué)文化試題的啟發(fā)，建立了雙點(diǎn)位測(cè)量的模型，既真實(shí)地展現(xiàn)了測(cè)量方法的優(yōu)化過(guò)程，又有效滲透了我國(guó)古老的測(cè)量文化.

其次，對(duì)于測(cè)量模型的評(píng)價(jià)過(guò)程，采用教師評(píng)價(jià)與學(xué)生評(píng)價(jià)相結(jié)合、小組自評(píng)與互評(píng)相結(jié)合的方式，充分體現(xiàn)了以評(píng)促學(xué)、以評(píng)促研和以評(píng)育人.

最后，對(duì)于測(cè)量方法的拓展延伸，通過(guò)執(zhí)教教師介紹古今測(cè)量工具的演變過(guò)程，既滲透了悠久的測(cè)量歷史，又融入了現(xiàn)代的測(cè)量技術(shù)，尤其是不失時(shí)機(jī)地引出了三角高程測(cè)量法，結(jié)合我國(guó)北斗全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)首次參與對(duì)珠穆朗瑪峰高度的探測(cè)結(jié)果，讓學(xué)生感受我國(guó)對(duì)于高度的探索精神，感悟精密測(cè)量?jī)x器的數(shù)學(xué)原理，體驗(yàn)跨學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)的育人價(jià)值，充分體現(xiàn)了以史育人、以文化人，增強(qiáng)了學(xué)生的民族自豪感和文化自信.

4. 信息技術(shù)整合應(yīng)用，有效提高了活動(dòng)的教學(xué)效率

在項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動(dòng)中，執(zhí)教教師充分利用信息技術(shù)輔助數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，為學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維分析問(wèn)題提供了廣闊的空間，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 在實(shí)施數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的過(guò)程中，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)習(xí)工具建立模型，借助數(shù)學(xué)軟件求解模型，采用圖形計(jì)算器進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算和誤差分析，體會(huì)信息技術(shù)在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的重要作用，感受應(yīng)用信息技術(shù)解決問(wèn)題的優(yōu)越性，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在成果展示活動(dòng)中，執(zhí)教教師利用信息技術(shù)的整合應(yīng)用，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，幫助學(xué)生完成了測(cè)量模型的建構(gòu)，為生生之間的成果共享、交流互助提供了平臺(tái)，為及時(shí)反饋學(xué)生所提的問(wèn)題提供了便利，為不同基礎(chǔ)的學(xué)生提供了適當(dāng)?shù)膸椭?，提高了?shù)學(xué)建?；顒?dòng)的教學(xué)效率.

三、教學(xué)改進(jìn)建議

“測(cè)量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，既綜合又實(shí)踐，既建模又探究，既靜態(tài)又動(dòng)態(tài). 因此，其設(shè)計(jì)與實(shí)施，仍然可以從突出以下“三化”上進(jìn)一步完善.

1. 進(jìn)一步突出數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)四個(gè)環(huán)節(jié)的整體化

盡管是指定課題，但選題（包括確定測(cè)量對(duì)象、擬定測(cè)量任務(wù)和選擇測(cè)量方法等）也是不可忽視的重要一環(huán)，因此要加強(qiáng)選題、開(kāi)題、做題和結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)的一致性，并把選題環(huán)節(jié)作為項(xiàng)目學(xué)習(xí)的一部分融入開(kāi)題、做題和結(jié)題環(huán)節(jié)之中，相互支撐印證，形成整體效應(yīng)，更好地凸顯項(xiàng)目學(xué)習(xí)的特點(diǎn).

2. 進(jìn)一步突出數(shù)學(xué)建模過(guò)程的真實(shí)化

針對(duì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的問(wèn)題很真、過(guò)程不實(shí)的現(xiàn)象，要強(qiáng)化學(xué)生實(shí)際測(cè)量過(guò)程的微視頻印證，更要深化對(duì)測(cè)量意義的思考，突出實(shí)效性.

3. 進(jìn)一步突出展示活動(dòng)的精細(xì)化

對(duì)于古代測(cè)量文化、現(xiàn)代測(cè)量技術(shù)和珠穆朗瑪峰高程測(cè)量的滲透，不必完全由教師包辦代替，可以放手讓學(xué)生查閱和整理文獻(xiàn)資料后再進(jìn)行展示交流，以增強(qiáng)學(xué)生的文化自覺(jué)和文化自信，更好地弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化和凸顯活動(dòng)育人.

總之，學(xué)生在跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)中遇到的困難，往往沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，教師不能將這些問(wèn)題大包大攬，更不能完全不管，應(yīng)該以一個(gè)學(xué)習(xí)者、引導(dǎo)者和研究者的身份，與學(xué)生共同探討解決問(wèn)題的方案. 特別是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法分析測(cè)量誤差的過(guò)程，更應(yīng)該讓學(xué)生大膽嘗試、勇于試錯(cuò)，這樣得出的結(jié)論才能讓學(xué)生真正收獲成功的喜悅.

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