問題啟發(fā)思考 過程提升素養(yǎng)

趙小強(qiáng)

摘 ?要：課例“指數(shù)”（第2課時(shí)）是一節(jié)比較成功的課. 執(zhí)教教師能夠準(zhǔn)確理解課程標(biāo)準(zhǔn)，定位準(zhǔn)確，在充分理解教材編寫意圖的前提下，能體會(huì)到“把指數(shù)冪的拓展過程作為指數(shù)函數(shù)研究的一部分，把指數(shù)冪的運(yùn)算法則看作指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”等本質(zhì)要求，通過設(shè)計(jì)問題串的形式組織教學(xué)，體現(xiàn)了基于情境和問題導(dǎo)向的教學(xué)理念. 課堂脈絡(luò)清晰、一氣呵成；實(shí)施精準(zhǔn)施教，特別重視落實(shí)對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般方法路徑的學(xué)法指導(dǎo)；教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)整體性，重視過程性，并具有一定的創(chuàng)新性.

關(guān)鍵詞：指數(shù)；問題導(dǎo)向；思維過程

“指數(shù)”是第十一屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)中的一節(jié)指定課題，其基本要求為：通過對有理數(shù)指數(shù)冪[amn]（[a>0]且[a≠1]；[m，n]為整數(shù)且[n>0]）、實(shí)數(shù)指數(shù)冪[ax]（[a>0]且[a≠1]；[x∈R]）含義的認(rèn)識(shí)，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì). 指數(shù)冪的拓展過程與數(shù)及其運(yùn)算的擴(kuò)充過程有關(guān)聯(lián)，要將內(nèi)容放在數(shù)系擴(kuò)充的大背景下，從基于運(yùn)算單位的運(yùn)算一致性上加強(qiáng)思考，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性；要注意與初中整數(shù)指數(shù)冪拓展經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生建立拓展指數(shù)冪的整體架構(gòu)；要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪、再到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算法則和變化規(guī)律，領(lǐng)悟運(yùn)算法則的合理性，理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的一致性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思維方式.

一、教學(xué)內(nèi)容的解析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在函數(shù)主題單元的教學(xué)提示中指出：指數(shù)函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)關(guān)注指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪、再到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和變化規(guī)律. 以上“提示”實(shí)際上是把指數(shù)冪的拓展過程作為指數(shù)函數(shù)研究的一部分，把指數(shù)冪的運(yùn)算法則看作指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，而不能把指數(shù)冪的推廣只看作代數(shù)中數(shù)及其運(yùn)算的問題. 這也是將“指數(shù)”作為指定課題的原因.

二、本節(jié)課的特點(diǎn)分析

執(zhí)教教師對所教的這節(jié)課內(nèi)容的本質(zhì)及蘊(yùn)含的育人價(jià)值有較深刻的理解，并能將自己的理解較為恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為教學(xué)表達(dá). 課堂的開篇通過創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生始終緊密圍繞情境開展實(shí)際性的數(shù)學(xué)思考和探究活動(dòng)，使本節(jié)課教學(xué)的數(shù)學(xué)品位得以保證，進(jìn)而使學(xué)生在經(jīng)歷掌握“四基”的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維，同時(shí)使學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升水到渠成. 在教學(xué)設(shè)計(jì)中立足大單元、整體性設(shè)計(jì)構(gòu)思的原則，來有源頭，去有方向，有始有終，前后呼應(yīng). 整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)較好地體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》及指定課題的要求. 從概念起始課的角度來講，筆者認(rèn)為至少在以下三個(gè)方面可以為我們的教學(xué)提供啟示.

1. 設(shè)計(jì)高質(zhì)量問題串，引導(dǎo)學(xué)生始終緊密圍繞本節(jié)課的核心內(nèi)容，開展實(shí)際性的數(shù)學(xué)思考和探究活動(dòng)

教學(xué)開始，執(zhí)教教師就創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，提出了具有較高數(shù)學(xué)含金量的問題1. 問題1實(shí)際上是個(gè)問題串，前兩個(gè)問題針對學(xué)生初中所學(xué)，起到呈上的作用. 第三個(gè)問題設(shè)計(jì)得很好，有的學(xué)生認(rèn)為半個(gè)月的增長率應(yīng)該是1.1除以2，而有的學(xué)生卻認(rèn)為半個(gè)月的增長率應(yīng)該是[1.1]，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，成功地抓住了學(xué)生的求知欲，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到拓展指數(shù)的必要性，順利引入本節(jié)課的課題和學(xué)習(xí)內(nèi)容. 這個(gè)問題改編自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊“4.2 指數(shù)函數(shù)”中的一個(gè)例子，執(zhí)教教師把它改編后前移，恰好反映了執(zhí)教教師對《標(biāo)準(zhǔn)》中教學(xué)提示比較到位的理解能力和靈活使用教材的較高教學(xué)素質(zhì). 緊接著的問題“如何得出冪的形式所對應(yīng)的數(shù)值？”的提出，引發(fā)了對指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)的研究. 進(jìn)而從數(shù)系擴(kuò)充歷程的回顧和“整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)是否對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪同樣適用”的思考，引導(dǎo)學(xué)生將指數(shù)冪及運(yùn)算的拓展放在數(shù)系擴(kuò)充的大背景下研究，使新、舊知識(shí)形成統(tǒng)一的整體. 基于上述鋪墊，執(zhí)教教師從實(shí)例引入逐步過渡到“根式運(yùn)算中被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除，根式是否也可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式”這一教學(xué)難點(diǎn)上. 在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生通過討論、辨析、展示和表達(dá)等形式的參與，充分感受根式和指數(shù)冪運(yùn)算之間的聯(lián)系.

當(dāng)上述問題一個(gè)接一個(gè)得以研究和思考后，學(xué)生展示成果、提出疑問，使課堂聚焦為兩點(diǎn)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的規(guī)定合理性的迫切需求；新定義下運(yùn)算性質(zhì)是否仍然成立（即兼容性）. 至此，不但呼應(yīng)了課程伊始提出的問題，而且規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義也就水到渠成、順理成章了.

2. 重點(diǎn)突出，舍得在學(xué)生獨(dú)立開展思維活動(dòng)上花時(shí)間

執(zhí)教教師從學(xué)生出發(fā)，搭建適當(dāng)?shù)摹澳_手架”，以使學(xué)生在探索受阻時(shí)能及時(shí)得到幫助、點(diǎn)撥，體現(xiàn)出教師是教學(xué)的組織者、參與者和引領(lǐng)者的角色，也充分體現(xiàn)出從教學(xué)預(yù)設(shè)到教學(xué)生成，再到教學(xué)相長的新型課堂形態(tài)和師生關(guān)系. 從對本節(jié)課時(shí)間軸的分析來看，執(zhí)教教師把大部分時(shí)間給了學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立探究、小組活動(dòng)及代表展示，突出了學(xué)生的主體地位. 在教學(xué)中，執(zhí)教教師力求使學(xué)生通過討論、辨析、展示和表達(dá)等形式的參與，充分感受根式和指數(shù)冪運(yùn)算之間的聯(lián)系，從而破解“根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的合理性”這一教學(xué)難點(diǎn). 從整體上看，基本達(dá)成了目標(biāo).

3. 具有創(chuàng)新性的教學(xué)設(shè)計(jì)與獨(dú)具匠心的板書設(shè)計(jì)

與大多數(shù)“指數(shù)”課例比較起來，本節(jié)課最大的不同之處在于：把根式內(nèi)容設(shè)計(jì)為第1課時(shí)，指數(shù)的擴(kuò)充設(shè)計(jì)為第2課時(shí). 筆者認(rèn)為，這樣做的好處在于重點(diǎn)突出，集中全力突破本部分內(nèi)容學(xué)生理解上的難點(diǎn). 教師的板書設(shè)計(jì)獨(dú)具匠心，重點(diǎn)突出，思維導(dǎo)向和主線、主題明確，詳略得當(dāng)，脈絡(luò)清晰. 課堂開始不久，執(zhí)教教師就在黑板的兩側(cè)呈現(xiàn)了具有明確思維導(dǎo)向作用的思維導(dǎo)圖，并使思維引領(lǐng)始終“在線”.

三、針對本節(jié)課的教學(xué)建議

對指導(dǎo)意見中增強(qiáng)學(xué)生關(guān)于在“數(shù)系擴(kuò)充的大背景下，從基于運(yùn)算單位的運(yùn)算一致性上加強(qiáng)思考，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性”的認(rèn)識(shí)，課堂中強(qiáng)調(diào)得還不夠. 實(shí)際上，每當(dāng)“指數(shù)”運(yùn)算經(jīng)歷指數(shù)的取值范圍變化的關(guān)鍵時(shí)期時(shí)，教師都要非常重視，建議可以借助更多實(shí)例引出指數(shù)范圍變化的必要性與合理性. 另外，本節(jié)課中，對于學(xué)生的回答，執(zhí)教教師的回饋形式較為單一，根據(jù)學(xué)生回答進(jìn)行適時(shí)的表揚(yáng)、激勵(lì)和思維點(diǎn)撥做得不到位、不夠準(zhǔn)確. 尤其需要指出的是，這里我們不能根據(jù)學(xué)生學(xué)完本節(jié)課以后運(yùn)算的情況來確定這部分的實(shí)際教學(xué)效果. 教過初中數(shù)學(xué)的教師都知道，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪也是初中指數(shù)拓展過程中學(xué)生理解的難點(diǎn)，但是不影響學(xué)生做題，原因就在于運(yùn)算性質(zhì)沒有變化.

實(shí)際上，因?yàn)樵谥笖?shù)冪運(yùn)算的拓展過程中，本節(jié)課的核心思想是“整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)在有理數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪中仍然成立”，怎樣能讓學(xué)生理解（感受）核心思想的過程更自然、更順暢是本節(jié)課的關(guān)鍵. 不可否認(rèn)的是：本節(jié)課的關(guān)鍵在于學(xué)生能否較好地理解[an=a1n]. 建議可以從[a2=a=a1=a12×2=a122]及[a33=a=a1=a13×3=a133]得到規(guī)定[an=a1n]的合理性.在這個(gè)過程中，“1可以表示為兩個(gè)互為倒數(shù)的數(shù)的乘積”恰好與“0可以表示為兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的和”的思考方法具有理解的“同構(gòu)性”.

參考文獻(xiàn)：

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