五相永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階滑模模型預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)矩控制

繆仲翠, 王運(yùn)坤, 王志浩

(1.蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070; 2.蘭州交通大學(xué) 光電技術(shù)與智能控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 甘肅 蘭州 730070)

五相永磁電動(dòng)機(jī)具有功率密度大、控制自由度多,容錯(cuò)性能好等優(yōu)點(diǎn),在新能源汽車、航空航天領(lǐng)域和艦船推進(jìn)系統(tǒng)等高可靠性場(chǎng)合得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。與同容量異步電機(jī)相比,多相永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor,PMSM) 損耗更低、效率更高[3-4]。

直接轉(zhuǎn)矩控制(direct torque control,DTC)因其對(duì)參數(shù)依賴少、轉(zhuǎn)矩響應(yīng)迅速等優(yōu)點(diǎn),在五相永磁同步電機(jī)(five-phase permanent magnet synchronous motor,FP-PMSM)調(diào)速領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[5]。Zhang等[6]優(yōu)化了控制磁鏈和轉(zhuǎn)矩的電壓矢量選擇方案,但仍采用了插入過渡電壓矢量的方法以滿足逆變器運(yùn)行要求。Ozkop等[7]將空間電壓矢量技術(shù)引入到DTC,針對(duì)FP-PMSM提出了空間矢量調(diào)制優(yōu)化DTC策略,獲得了脈動(dòng)較小的轉(zhuǎn)矩,但增加了計(jì)算量。文獻(xiàn)[8]指出模型預(yù)測(cè)一定程度上可消除電機(jī)參數(shù)失配和模型誤差等因素對(duì)系統(tǒng)的影響,保證控制指令的跟蹤。有學(xué)者將模型預(yù)測(cè)結(jié)合DTC系統(tǒng),提出有限集模型預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)矩控制(finite-control-set model predictive torque control,FCS-MPTC)可以直接考慮被控過程的輸入、狀態(tài)和輸出約束條件,較為顯著地改善上述DTC開關(guān)頻率低、穩(wěn)態(tài)性能差和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)大的缺點(diǎn)[9]。FCS-MPTC采用控制系統(tǒng)通過枚舉法獲得可變的開關(guān)頻率,并降低開關(guān)損耗的特點(diǎn)[10]。

Abassi等[11-12]對(duì)FCS-MPTC算法進(jìn)行了驗(yàn)證,該算法控制性能優(yōu)于磁場(chǎng)定向控制,且動(dòng)態(tài)響應(yīng)更快,約束力更強(qiáng);文獻(xiàn)[13]提出電機(jī)磁鏈、電流等變量的兩步預(yù)測(cè),減少系統(tǒng)延遲造成的預(yù)測(cè)誤差。文獻(xiàn)[14]中將諧波子空中的電流項(xiàng)加入了傳統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)中,抑制了多相電機(jī)特有的3次諧波;文獻(xiàn)[15]指出轉(zhuǎn)矩與磁鏈的無差拍估計(jì)有利于減小FCS-MPTC計(jì)算量。實(shí)際上,基于FCS-MPTC雙電壓矢量空間的多周期預(yù)測(cè)結(jié)合滑模控制(sliding mode control,SMC)系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性,要優(yōu)于基于PI 的FP-PMSM普通調(diào)速系統(tǒng),但SMC的抖振限制了其實(shí)際應(yīng)用[16]。分?jǐn)?shù)階微積分算法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)不敏感,恰好能夠有效地改善控制系統(tǒng)的動(dòng)、靜態(tài)性能[17-18]。將分?jǐn)?shù)階微積分理論和SMC相結(jié)合構(gòu)建分?jǐn)?shù)階滑?？刂?fractional order sliding mode control,FOSMC),可有效抑制滑模抖振。

本文以FP-PMSM為研究對(duì)象,設(shè)計(jì)并優(yōu)化了適用于FP-PMSM的FCS-MPTC系統(tǒng)。并根據(jù)FP-PMSM數(shù)學(xué)模型的特殊性對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn),使輸出變量能夠更精確地跟蹤參考變量。同時(shí)設(shè)計(jì)了基于分?jǐn)?shù)階微積分理論的FOSMC速度控制器,對(duì)系統(tǒng)不確定性因素和外部隨機(jī)擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性。最后,仿真實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的FCS-MPTC系統(tǒng),并將設(shè)計(jì)的FOSMC速度控制器與PI、SMC2種算法進(jìn)行仿真對(duì)比,驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制策略的有效性。

1 五相永磁同步電機(jī)

由自然坐標(biāo)系到雙同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的擴(kuò)展變換矩陣T(θe)[19]為:

(1)

式中:θi=θe+(1-i)α(i=1,2,…,5)表示轉(zhuǎn)子縱軸與a相軸線的電角度;α是相鄰兩相繞組軸線之間的夾角,α=0.4π。

FP-PMSM的電壓矢量空間包含4個(gè)自由度分量和1個(gè)零序分量。正常運(yùn)行狀態(tài)下,可根據(jù)變換矩陣T(θe)將自然坐標(biāo)系中對(duì)稱物理量分別映射到雙同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d1-q1和d2-q2中。對(duì)于繞組按正弦分布且永磁體磁通為正弦波的五相表貼式PMSM,基波變量和±(10j±1),(j=1,2,3,…)次諧波變量經(jīng)變換矩陣T(θe)的前兩行映射到d1-q1坐標(biāo)系,電機(jī)變量中的±(5j±2),(j=1,2,3,…)次諧波變量經(jīng)變換矩陣T(θe)的第 3、4行,映射到d2-q2坐標(biāo)系,且不參與機(jī)電能量的轉(zhuǎn)換。電機(jī)變量中的5j,(j=1,2,3,…)次諧波變量被映射到第5行的零序子空間中。對(duì)于星形連接的五相對(duì)稱繞組,該項(xiàng)始終保持為零[20]。在雙同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下,FP-PMSM的數(shù)學(xué)模型為:

1)電壓方程:

(2)

2)磁鏈方程:

Ψdq=LdqIdq+ψfT(θe)Λ

(3)

3)電磁轉(zhuǎn)矩方程:

Te=5/2Npiq1[(Ld-Lq)id1+ψf]

(4)

式中Np為電機(jī)磁極對(duì)數(shù)。

4)機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程:

(5)

式中:TL為電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩;J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;B為傳動(dòng)系統(tǒng)摩擦系數(shù);ωm為機(jī)械角速度。

1.1 離散數(shù)學(xué)模型

FCS-MPTC算法首先根據(jù)離散化的電機(jī)模型預(yù)測(cè)一個(gè)控制周期Ts之后的狀態(tài)量。根據(jù)式(1)～(3),采用前向歐拉近似法得到FP-PMSM的離散狀態(tài)方程:

(6)

(7)

則A、B和C表示為:

1.2 有限集模型預(yù)測(cè)控制的實(shí)現(xiàn)

由五相電壓源逆變器驅(qū)動(dòng)FP-PMSM的主回路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 FP-PMSM的主電路Fig.1 FP-PMSM’s main circuit

(8)

將五相逆變器的所有開關(guān)狀態(tài)組合代入式(8)中,可以得到32個(gè)基本電壓矢量,包括30個(gè)非零電壓矢量和2個(gè)零電壓矢量。根據(jù)電壓矢量幅值的不同可以分為大矢量、中矢量、小矢量以及零矢量4種。這4種不同幅值的矢量電壓以不同的相位關(guān)系構(gòu)成基波空間和諧波空間,它們都將空間劃分為10個(gè)扇區(qū)[21]。

根據(jù)五相坐標(biāo)變換理論,可得預(yù)測(cè)方程中的電壓矢量集合與逆變器開關(guān)狀態(tài)的關(guān)系為:

(9)

式中T為五相逆變器開關(guān)矩陣:

通過FCS-MPTC的目標(biāo)函數(shù)min{fi}選取最優(yōu)基本電壓矢量,可有效降低開關(guān)頻率、減少轉(zhuǎn)矩和磁鏈波動(dòng)。即在每個(gè)采集時(shí)刻,通過目標(biāo)函數(shù)評(píng)價(jià)基本電壓矢量Vi(i=0,1,2…,31)的作用效果(2個(gè)零矢量計(jì)為1個(gè)),從而選擇出最優(yōu)的電壓矢量組合。根據(jù)式(8),設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)時(shí),min{fi}的參考變量表征為預(yù)測(cè)變量與參考變量之間的差值。一般將差值設(shè)計(jì)為一個(gè)采樣周期的絕對(duì)值誤差為:

min{fi}=|x*-xp|

(10)

式中:x*為受控變量的參考值;xp為受控變量預(yù)測(cè)值。MPTC是對(duì)定子磁通和轉(zhuǎn)矩的未來情況進(jìn)行預(yù)測(cè),則基于FP-PMSM的MPTC目標(biāo)函數(shù)為:

(11)

式中:k1、k2為權(quán)重系數(shù),用于處理該項(xiàng)與目標(biāo)函數(shù)中其他項(xiàng)的權(quán)重關(guān)系。一般按照轉(zhuǎn)矩與磁鏈具有相同權(quán)重的原則進(jìn)行初始值設(shè)計(jì)[22],即k=TN/ψN,TN、ψN分別是額定轉(zhuǎn)矩、額定磁鏈幅值,并根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整以獲得更好的現(xiàn)場(chǎng)控制性能。

式(11)是傳統(tǒng)的FP-PMSM預(yù)測(cè)控制目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)方法,但是FP-PMSM的MPTC需要考慮2個(gè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的誤差值,為從整體上提高誤差跟蹤精度,同時(shí)在目標(biāo)函數(shù)中引入積分項(xiàng):

(12)

圖2 FP-PMSM-MPTC最優(yōu)電壓矢量選擇Fig.2 FP-PMSM-MPTC optimal voltage vector selection

(13)

1.3 控制系統(tǒng)的延遲補(bǔ)償

(14)

式中Imax為最大允許定子電流幅值。如果t(k+2)時(shí)刻電壓矢量組合生成的預(yù)測(cè)電流幅值大于Imax,則目標(biāo)函數(shù)不會(huì)選擇該狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的電壓矢量組合。反之,則由式(13)和式(5)選擇該電壓矢量組合作為最優(yōu)電壓集合作用于控制系統(tǒng)。

一個(gè)采樣周期內(nèi)基于FP-PMSM的FCS-MPTC實(shí)時(shí)執(zhí)行算法流程如圖3所示。

圖3 一個(gè)采樣周期內(nèi)FCS-MPTC算法實(shí)現(xiàn)Fig.3 Flowchart of FCS-MPTC in one sampling period

2 分?jǐn)?shù)階滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分

Riemann-Liouville(RL) 型分?jǐn)?shù)階微積分在工程中應(yīng)用較廣[23-24]:

(15)

根據(jù)RL定義的分?jǐn)?shù)階積分為:

(16)

整數(shù)階PI的時(shí)域內(nèi)定義式為:

(17)

圖4 分?jǐn)?shù)階積分示意Fig.4 Schematic diagram of fractional integration

2.2 分?jǐn)?shù)階滑膜控制器設(shè)計(jì)

為了進(jìn)一步提高FP-PMSM系統(tǒng)控制性能,速度控制器設(shè)計(jì)為FOSMC算法。設(shè)計(jì)步驟為:

1)切換函數(shù)的構(gòu)造,合理的切換函數(shù)是滑動(dòng)模態(tài)漸近穩(wěn)定和動(dòng)態(tài)性能的保證;

2)分?jǐn)?shù)階滑?？刂坡稍O(shè)計(jì),滑模控制律是系統(tǒng)狀態(tài)能快速到達(dá)滑模面的保證。

2.2.1 分?jǐn)?shù)階滑模面設(shè)計(jì)

根據(jù)式(4),可得電機(jī)機(jī)械角速度微分方程為:

(18)

式中:α=1/J;β=TL/J;γ=B/J。

考慮到電機(jī)參數(shù)變化及系統(tǒng)內(nèi)、外部不確定因素對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng),式(18)可進(jìn)一步表示為:

(19)

式中Δγ、Δβ和Δα表示系統(tǒng)模型對(duì)不確定性因素的衡量,滿足:

Δα+Δβ+Δλ≤M,M∈R+

定義系統(tǒng)的速度跟蹤誤差為:e(t)=ωref-ωm其中,ωref為速度輸入給定值。

對(duì)e(t)求導(dǎo)得:

結(jié)合式(18)、 (19)得:

(20)

其中:

定義分?jǐn)?shù)階滑模面為:

(21)

式中:δ(t)=δ(0)exp(-t/M);M為常數(shù),決定了δ(t)的收斂速度;c1,c2∈R,為滑模面增益。

當(dāng)系統(tǒng)在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足:

(22)

由式(19)、式(21)聯(lián)立得到:

(23)

2.2.2 分?jǐn)?shù)階滑模控制律設(shè)計(jì)

等速趨近律為:

用冪次函數(shù)fal(s,κ,ξ)代替sgn(s),可以大幅度削弱系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象,其中:

fal(s,κ,ξ)是線性連續(xù)的,當(dāng)ξ>0,0<κ<1時(shí)可以實(shí)現(xiàn)小誤差、大增益等特性。根據(jù)式(20),采用fal函數(shù)的分?jǐn)?shù)階滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)為:

(24)

由式(19)、式(23)可以得到轉(zhuǎn)矩控制量輸出為:

可以看出,所設(shè)計(jì)的控制器中消除了系統(tǒng)中不確定因素,說明基于式(23)設(shè)計(jì)的控制器對(duì)系統(tǒng)內(nèi)、外部擾動(dòng)表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性。

2.3 穩(wěn)定性證明

采用Lyapunov函數(shù)法證明所設(shè)計(jì)的FOSMC控制器的穩(wěn)定性,選取Lyapunov函數(shù)為:

(25)

s[μ(t)-εfal(s)]=-ε|s|+sμ(t)≤

-ε|s|+|μ(t)||s|≤(|μ(t)|-ε)|s|

(26)

可以看出,選擇滑模增益ε滿足:

(|μ(t)|-ε)≤0

綜上所述,基于FOSMC的FP-PMSM 的FCS-MPTC系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖5所示。

圖5 基于FOSMC的FP-PMSM的MPTC結(jié)構(gòu)框圖Fig.5 Block diagram of MPTC structure of FP-PMSM based on FOSMC

3 改善電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速的有效性仿真分析

為了驗(yàn)證基于FOMSC的FP-PMSM的FCS-MPTC策略對(duì)改善電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速的有效性,以Matlab/Simulink為平臺(tái)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。并將速度控制器分別為FOSMC、PI、SMC在不同運(yùn)行工況進(jìn)行了對(duì)比分析。所采用的FP-PMSM參數(shù)如表1所示。

表1 FP-PMSM系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)Table 1 FP-PMSM system related parameters

3.1 帶載起動(dòng)

設(shè)系統(tǒng)給定速度為額定轉(zhuǎn)速1 000 r/min,仿真時(shí)間設(shè)為0.2 s,系統(tǒng)帶初始負(fù)載TL(0)=15 N·m起動(dòng),FP-PMSM五相電流響應(yīng)如圖6所示。可以從6(c)看出,與PI控制器和SMC相比,基于FOSMC控制系統(tǒng)的輸出電流波形更為平滑,諧波含量更小。

圖6 五相繞組電流響應(yīng)對(duì)比Fig.6 Comparison graph of five-phase winding current response

為了對(duì)比的公平性,通過調(diào)整參數(shù)使采用不同控制器的轉(zhuǎn)速響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差相等,轉(zhuǎn)速響應(yīng)如圖7所示,表2為不同控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo),穩(wěn)態(tài)誤差ess為0。

圖7 轉(zhuǎn)速響應(yīng)對(duì)比Fig.7 Comparison graph of speed response

表2 不同控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)Table 2 Performance of different control systems

可以看出,PI控制器不可避免的存在超調(diào),SMC和FOSMC控制器幾乎無超調(diào)地跟蹤給定信號(hào),但FOSMC的調(diào)整時(shí)間更短,有更好的動(dòng)態(tài)性能。

FP-PMSM控制系統(tǒng)電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)如圖8所示,由局部放大圖可看出基于FOSMC系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)最小。

圖8 轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)對(duì)比Fig.8 Comparison graph of torque ripple

圖9 突加負(fù)載時(shí)轉(zhuǎn)速響應(yīng)對(duì)比Fig.9 Speed response comparison charts when sudden load is applied

3.2 空載起動(dòng)突加負(fù)載

系統(tǒng)給定速度為1 000 r/min,仿真時(shí)間設(shè)為0.6 s,空載起動(dòng)后在t=0.2 s時(shí)突加10 N·m的負(fù)載,系統(tǒng)速度響應(yīng)如9所示。

突加負(fù)載時(shí),不同控制策略的性能指標(biāo)如表3所示。

表3 突加負(fù)載時(shí)性能指標(biāo)Table 3 Performance indicators sudden load

可以看出,PI控制的上升速度快,但是調(diào)節(jié)時(shí)間較慢,超調(diào)量大;SMC超調(diào)明顯減小,僅為0.9%,但穩(wěn)態(tài)誤差為4 r/min;而FOSMC具有更快的響應(yīng)速度,超調(diào)僅僅0.31%,幾乎可以忽略,穩(wěn)態(tài)誤差只有0.4 r/min,由于電機(jī)的慣性平滑作用,可實(shí)現(xiàn)零靜差。在0.2 s突加負(fù)載后,PI控制器的動(dòng)態(tài)降落較大,達(dá)到了80 r/min,SMC為47 r/min,而FOSMC僅有5 r/min的動(dòng)態(tài)降落,恢復(fù)時(shí)間也是最快的,僅0.003 3 s。以上仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了基于FOSMC的FP-PMSM FCS-MPTC控制系統(tǒng)具有良好的動(dòng)、靜態(tài)性能和較強(qiáng)的抗負(fù)載擾動(dòng)性。

3.3 變速運(yùn)行

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于FOSMC的FP-PMSM FCS-MPTC控制系統(tǒng)在低、中、高速階段的運(yùn)行性能和變速時(shí)的性能,仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)定轉(zhuǎn)速為:0～0.1 s給定100 r/min;0.1～0.2 s給定500 r/min;0.2～0.3 s給定1 000 r/min,并分別在0.05、0.15 s、0.25 s突加10 N·m的負(fù)載。系統(tǒng)變速運(yùn)行速度輸出如圖10,速度跟蹤誤差如圖11所示。

圖10 系統(tǒng)變速運(yùn)行對(duì)比Fig.10 Comparison graph of system variable speed

圖11 變速運(yùn)行的速度誤差Fig.11 Speed error graph of variable speed

在t=0.1 s和t=0.2 s時(shí)刻,由于系統(tǒng)突加階躍給定和系統(tǒng)延遲有較大的誤差,但FOSMC在很短的時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確跟蹤了給定信號(hào)。在不同階段運(yùn)行時(shí),系統(tǒng)都能夠保持較小的靜差,說明對(duì)于 FP-PMSM在低速、中速、高速運(yùn)行的情況下,設(shè)計(jì)的FOSMC控制系統(tǒng)均能較好的滿足控制要求。

3.4 正、反向速度跟蹤

為進(jìn)一步驗(yàn)證基于FOSMC速度控制的速度跟隨性能,給定信號(hào)設(shè)為周期為0.2 s、幅值為1 000 r/min的正弦信號(hào),并包含了電機(jī)正、反向的動(dòng)態(tài)變化。速度跟隨如圖12所示,對(duì)應(yīng)的定子電流如圖13所示。

由圖12可知,系統(tǒng)在跟隨正弦速度給定信號(hào)時(shí),誤差在±2 r/min以內(nèi);如圖13所示,在速度跟隨過程中電機(jī)的電流輸出穩(wěn)定,轉(zhuǎn)速過零時(shí),電流能平滑換相。

圖12 速度跟隨性能對(duì)比Fig.12 Comparison graph of speed following performance

圖13 電機(jī)反轉(zhuǎn)時(shí)定子電流Fig.13 Stator current when the motor reverses

4 結(jié)論

1)本文提出的模型預(yù)測(cè)控制的跟隨給定誤差最小目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造方法,實(shí)現(xiàn)了適用于FP-PMSM系統(tǒng)的FCS-MPTC算法;進(jìn)一步提高FP-PMSM的FCS-MPTC系統(tǒng)控制性能。

2) 基于FOSMC的FCS-MPTC系統(tǒng)比傳統(tǒng)控制系統(tǒng)的性能更加優(yōu)秀,特別適用于高耦合、變量多的控制系統(tǒng),通用性較強(qiáng)。

本文的控制系統(tǒng)中,FCS-MPTC的目標(biāo)函數(shù)中權(quán)重系數(shù)需要大量的試湊,使系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)變的復(fù)雜。如何進(jìn)一步簡(jiǎn)化權(quán)重系數(shù),如粒子群的權(quán)重系數(shù)在線尋優(yōu),或者實(shí)現(xiàn)無權(quán)重系數(shù)的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造,這些將是下一步工作重點(diǎn)。