切換拓?fù)湎露嘧灾魉潞叫衅骶庩?duì)一致性控制

張勛, 周立廣, 邢文, 姚思博

(哈爾濱工程大學(xué) 智能科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

自主水下航行器(autonomous underwater vehicle,AUV)利用其搭載的各種傳感器模塊和其他任務(wù)模塊,在水下資源勘測(cè)、水下掃雷、情報(bào)搜集等軍事和民用領(lǐng)域起著重要的作用。隨著執(zhí)行海洋任務(wù)的難度增加,執(zhí)行任務(wù)的環(huán)境變得更加復(fù)雜,水下航行器體現(xiàn)出了執(zhí)行任務(wù)效率低、工作范圍小、系統(tǒng)冗余性差等不可避免的局限性[1]。多水下航行器協(xié)同執(zhí)行任務(wù)可以增加系統(tǒng)的冗余性和魯棒性,降低完成任務(wù)的成本,提高工作效率。許多科研人員提出了適用于不同模型的先進(jìn)編隊(duì)控制方法,其中更多的是將動(dòng)力學(xué)模型抽象為一階積分器,實(shí)際中,動(dòng)力學(xué)模型抽象為二階積分器更加真實(shí)。CUI等[2]提出了一種基于李雅普諾夫反步法的多自主水下航行器編隊(duì)協(xié)同運(yùn)動(dòng)控制方法。Qi等[3]針對(duì)在三維空間運(yùn)動(dòng)的欠驅(qū)動(dòng)水下航行器,提出了一種分布式編隊(duì)跟蹤控制器。Rout等[4]建立了多艘由于通信故障而導(dǎo)致編隊(duì)不完善的自主水下航行器的一直控制問(wèn)題。Chen等[5]設(shè)計(jì)了一種基于反饋線性化的姿態(tài)控制器,使每個(gè)水下機(jī)器人的姿態(tài)收斂到其期望值。Yang等[6]利用一致性理論和速度通拓?fù)淇刂贫嗨潞叫衅骶庩?duì)保持,實(shí)現(xiàn)速度和航向一致性?；谟邢蛲ㄐ磐?fù)浣Y(jié)構(gòu),Xia等[7]考慮了二階積分器動(dòng)力學(xué)模型的一致性算法,證明了與速度控制增益大于某個(gè)界限時(shí),具有向生成樹(shù)的編隊(duì)一致性是漸進(jìn)達(dá)成的。任偉等[8]提出了一個(gè)二階積分編隊(duì)控制協(xié)議,為多智能體編隊(duì)的固定拓?fù)浜妥儞Q拓?fù)涞那闆r提供了充分條件。文獻(xiàn)[9]提出了一種采樣周期性間歇采樣一致性控制協(xié)議,將多智能體間的誤差控制在一定范圍內(nèi),降低了控制器的采樣時(shí)間。文獻(xiàn)[10]研究了高階線性時(shí)變編隊(duì)控制,提出一種通用的編隊(duì)控制協(xié)議,數(shù)值仿真表明切換拓?fù)涞娜合到y(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)一致。文獻(xiàn)[11]研究了一般線性模型的多智能體系統(tǒng)的一致性控制協(xié)議以及事件觸發(fā)一致性,通過(guò)在離散的采樣時(shí)間,實(shí)現(xiàn)了多智能體編隊(duì)的一致性。文獻(xiàn)[12]研究了強(qiáng)連通圖結(jié)構(gòu)下,二階多智能體系統(tǒng)的分組一致性。文獻(xiàn)[13]在已知拓?fù)浼舷?設(shè)計(jì)了一階編隊(duì)控制協(xié)議,解決了已知拓?fù)浼舷碌囊浑A多智能體編隊(duì)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[14]的有向拓?fù)鋱D條件為強(qiáng)連通且平衡條件,顯然結(jié)果不具有一般性。也有學(xué)者從通信延遲進(jìn)行入手,研究水下航行器的控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[15]討論了多AUV系統(tǒng)在時(shí)變通信時(shí)延弱通信情況影響下的協(xié)調(diào)控制問(wèn)題,確定了時(shí)變通信時(shí)延及其導(dǎo)數(shù)的范圍,得到多AUV系統(tǒng)存在時(shí)變通信時(shí)延能夠?qū)崿F(xiàn)協(xié)調(diào)控制目標(biāo)需要滿足的充分條件。文獻(xiàn)[16]討論了具有通信時(shí)延和不確定性的多AUV協(xié)調(diào)控制問(wèn)題,文章中考慮了由于水聲通信引起的通信時(shí)延的問(wèn)題,通過(guò)選取適當(dāng)?shù)?Lyapunov 候選函數(shù),求得候選函數(shù)小于零的條件,應(yīng)用 LMI 形式獲得了使得多AUV系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)控制所滿足的充分條件。文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)不同的控制協(xié)議,應(yīng)用研究通信時(shí)延的基本方法,即 Lyapunov 理論和 LMI 方法,對(duì)多AUV協(xié)調(diào)控制進(jìn)行了分析與研究。

本文在有向切換拓?fù)浜妥儞Q編隊(duì)隊(duì)形情況下,主要研究通過(guò)基于水下航行器反饋線性化為二階積分器模型設(shè)計(jì)一致性控制算法對(duì)多AUV編隊(duì)隊(duì)形進(jìn)行控制,本文通過(guò)在傳統(tǒng)一致性控制算法中加入水下航行器之間的相對(duì)位置信息,并添加速度阻尼器,形成編隊(duì)隊(duì)形控制律,并對(duì)多AUV系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性的分析。

1 自主水下航行器模型和反饋線性化

本文利用有向圖來(lái)描述多AUV系統(tǒng)之間的通信拓?fù)潢P(guān)系。假設(shè)編隊(duì)內(nèi)有n個(gè)成員,定義有向圖G=(V,ε,A),表示該編隊(duì)的通信拓?fù)鋱D,其中,V={v1,v2,…,vn}表示被定義為AUV單體的頂點(diǎn),ε?V×V,表示頂點(diǎn)之間邊的集合,A=(aij),?i,j∈Γ,Γ=[1 2 …n]為鄰接矩陣,滿足如果存在邊(vi,vj)即成員vj可以收到成員vi的信息,那么,aij=1,否則aij=0。定義入度矩陣D=diag(deg(v1),deg(v2),…,deg(vn)),如果矩陣L滿足L=D-A,那么稱矩陣L為有向圖G=(V,ε,A)的Laplacian矩陣。AUV固定坐標(biāo)系及運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系如圖1所示。

1)S是正定的;

2)當(dāng)且僅當(dāng)C和A-BC-1BT都是正定的或者A和C-BTA-1B均是正定的。

由于橫搖對(duì)平動(dòng)的影響不大,本文忽略橫搖速度。從而得到了運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的非線性耦合方程分別為:

(1)

(2)

式中:η=[x0y0z0θφ]T∈R5表示位置狀態(tài)和歐拉角狀態(tài);J(η)為AUV從載體坐標(biāo)系到地球坐標(biāo)系下的雅可比矩陣;υ=[u0,v0,w0,q,r]T∈R5表示速度的狀態(tài);C(υ) 為科里奧利和向心力矩陣;D(υ)代表非線性阻尼矩陣。

式(2)中:M=MR+MA包括了剛體慣性矩陣和附加慣性矩陣,并且M為非奇異矩陣;τ表示控制輸入力和力矩。

文獻(xiàn)[19]中的反饋線性化方法,可以將AUV的動(dòng)力學(xué)模型線性化為二階積分器模型。AUV標(biāo)準(zhǔn)二階積分形式的反饋線性化動(dòng)態(tài)模型:

(3)

式中:xi∈R5;vi∈R5;ui∈R5。

2 控制器設(shè)計(jì)

考慮n個(gè)經(jīng)反饋線性化后具有雙積分動(dòng)態(tài)的AUV組成的系統(tǒng),每個(gè)AUV可以表示為:

(4)

式中:xi(t)∈R5;vi(t)∈R5,分別表示第i個(gè)航行器的位置和速度;ui(t)∈R5是控制輸入,i=1,2,…,n。

設(shè)計(jì)一種分布式多航行器系統(tǒng),只需知道局部航行器之間的相對(duì)位置和速度信息,就可以實(shí)現(xiàn)全局的協(xié)調(diào)一致?？刂破髟O(shè)計(jì)為:

(5)

式中:τ是航行器個(gè)體之間的通信延遲;vd(t)是參考速度,hi∈R5和hj∈R5表示航行器i和j的期望相對(duì)位置;k0,k1,k2是控制增益;aij表示位置耦合項(xiàng)的鄰接矩陣;bij表示速度耦合項(xiàng)的鄰接矩陣。

控制律由速度阻尼項(xiàng),航行器位置耦合項(xiàng)和速度耦合項(xiàng)組成,當(dāng)vd(t)=0時(shí),水下航行器形成靜態(tài)編隊(duì);當(dāng)vd(t)≠0時(shí),整個(gè)編隊(duì)以速度vd(t)前進(jìn)。為了實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的編隊(duì),水下航行器達(dá)到相同的速度,為了使其保持一定的隊(duì)形,要求與相鄰的水下航行器保持預(yù)先設(shè)定的位置。

綜上所述,第i個(gè)航行器的閉環(huán)控制形式可表示為:

(6)

式中表示的水下航行器能否形成期望隊(duì)形,收斂至期望速度,不僅與多AUV之間通信拓?fù)湎嚓P(guān),還取決于反饋增益系數(shù)和時(shí)延大小。

對(duì)于多AUV系統(tǒng)的任意初始狀態(tài),給定協(xié)議(6)在一個(gè)有限時(shí)間的區(qū)間內(nèi)t0∈[0,+∞),使得[20]:

(7)

當(dāng)t>t0時(shí),有xj(t)-hj=xi(t)-hi,vj(t)=vi(t),i,j=1,2,…,n,則稱多AUV系統(tǒng)可以在有限時(shí)間里達(dá)成一致。

3 控制算法穩(wěn)定性分析

3.1 模型簡(jiǎn)化

對(duì)于一個(gè)時(shí)延系統(tǒng),進(jìn)行穩(wěn)定性分析,需要采用泛函微分方程,本文通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函沿著其求導(dǎo),通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理方法,得出使含時(shí)延系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性的充分條件。

證明:

(8)

(9)

(10)

式(10)經(jīng)過(guò)線性變換表示為:

(11)

令

(12)

(13)

將式(13)簡(jiǎn)寫為:

(14)

3.2 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov-Krasovskii泛函為:

(15)

對(duì)V(t)沿著系統(tǒng)求導(dǎo)得:

εT(t)Qε(t)-εT(t-τ)Qε(t-τ)+

(16)

將系統(tǒng)方程代入式(16)得:

(17)

（5）我當(dāng)初嫁武大時(shí)，曾不聽(tīng)得說(shuō)有什么阿叔，那里走得來(lái)！“是親不是親，便要做喬家公。”自是老娘晦氣了，鳥(niǎo)撞著許多事?。鳌な┠外帧端疂G傳》第24回）

±2xTy≤xTΣ-1x+yTΣy

(18)

所以:

2εT(t)PFε(t)+εT(t)PFR-1FTPε(t)+

(19)

式(19)可以寫成:

τεT(t)PFR-1FTPε(t)+εT(t)Qε(t)-

εT(t-τ)Qε(t-τ)+τεT(t)ETRFε(t-τ)+

τεT(t)ETREε(t)+τεT(t-τ)FTREε(t)+

τεT(t-τ)FTRFε(t-τ)

(20)

令

Λ=(E+F)TP+P(E+F)+

τETRE+Q+τPFR-1FTP

(21)

(22)

令Λ1=(E+F)TP+P(E+F)+τETRE+Q,并由引理1可得:

(23)

4 控制算法仿真結(jié)果

本文給出了數(shù)值仿真例子來(lái)驗(yàn)證編隊(duì)隊(duì)形控制算法的有效性,考慮4個(gè)AUV組成得多AUV系統(tǒng),其有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 多AUV系統(tǒng)通信拓?fù)銯ig.2 Multi-AUV system communication topology

多AUV編隊(duì)所示通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的鄰接矩陣A為:

對(duì)水下航行器編隊(duì)過(guò)程進(jìn)行仿真分析,一致性控制算法中參數(shù)設(shè)置為k0=0.4,k1=0.1,k2=0.2,水下航行器的期望速度設(shè)為vd=0.5 m/s,常數(shù)時(shí)延τ=0.5 s,編隊(duì)隊(duì)形矩陣h設(shè)置為:

將一致性控制算法中位置和速度的通信拓?fù)湓趫D2中4個(gè)通信拓?fù)錉顟B(tài)下進(jìn)行隨機(jī)變化,位置和速度的通信拓?fù)渥兓瘯r(shí)序圖如圖3所示,多AUV系統(tǒng)編隊(duì)隊(duì)形變化如圖4所示,多AUV系統(tǒng)的縱傾角和艏向角變化如圖5、6所示,多AUV系統(tǒng)的圖7所示,縱傾角和艏向角速度如圖8所示。隨機(jī)布放4個(gè)水下航行器,多AUV編隊(duì)在不同位置開(kāi)始形成編隊(duì),并在300 s左右時(shí)形成穩(wěn)定編隊(duì)隊(duì)形,保持編隊(duì)一段時(shí)間后,在1 000 s時(shí)進(jìn)行編隊(duì)隊(duì)形變換。通過(guò)仿真驗(yàn)證了多AUV編隊(duì)在切換拓?fù)涞那闆r下可以快速形成穩(wěn)定的編隊(duì),并在編隊(duì)隊(duì)形變化時(shí),能夠快速改變編隊(duì)隊(duì)形,并保持穩(wěn)定隊(duì)形,證明了控制算法的穩(wěn)定性和魯棒性。

圖3 位置和速度切換拓?fù)鋾r(shí)序圖Fig.3 Position and speed switching topology timing diagram

圖4 多AUV編隊(duì)隊(duì)形變換Fig.4 Multi-AUV formation change diagram

圖5 切換拓?fù)湎露郃UV的縱傾角Fig.5 The inclination angle of multiple AUVs in switching topology

圖6 切換拓?fù)湎露郃UV的艏向角Fig.6 The heading angle of multiple AUVs in switching topology

圖7 切換拓?fù)湎露郃UV的速度Fig.7 The velocity of multiple AUVs in switching topology

在圖7仿真結(jié)果中可以明顯看出,AUV1、AUV2、AUV3、AUV4組成的多水下航行器系統(tǒng),在切換拓?fù)錀l件下和編隊(duì)進(jìn)行變換時(shí),水下航行器的北向速度,東向速度和縱向速度在動(dòng)態(tài)變化的情況下可以快速達(dá)成一致,并保持和變化編隊(duì)隊(duì)形。

在圖8的仿真結(jié)果中可以明顯看出,AUV1、AUV2、AUV3、AUV4組成的水下航行器系統(tǒng),在通信拓?fù)鋭?dòng)態(tài)變化的情況下,多AUV系統(tǒng)形成穩(wěn)定編隊(duì)后,縱傾角速度和艏向角速度保持穩(wěn)定,在編隊(duì)隊(duì)形變化時(shí)仍然可以保持穩(wěn)定。

圖8 切換拓?fù)湎露郃UV的角速度Fig.8 The velocity of multiple AUVs in switching topology

5 結(jié)論

1)提出的帶有速度阻尼器的一致性編隊(duì)隊(duì)形控制算法,可在有向切換拓?fù)錀l件下實(shí)現(xiàn)編隊(duì)一致性控制。

2)利用Lyapunov-Krasovskii泛函,以及積分不等式和矩陣不等式數(shù)學(xué)方法證明,得出的使多AUV編隊(duì)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)一致的充分條件。

3)通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真在有向通信拓?fù)浒l(fā)生變化和編隊(duì)隊(duì)形發(fā)生變化環(huán)境下,本文控制方法具有有效性和穩(wěn)定性。

基于本文的研究?jī)?nèi)容,將考慮研究具有時(shí)變時(shí)延下以及存在外界干擾下多AUV系統(tǒng)的控制問(wèn)題。