波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用分析

摘 要：培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)解題能力，是判斷學(xué)生知識掌握和應(yīng)用情況的關(guān)鍵指標(biāo)，同時也是提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的重要途徑.鑒于當(dāng)前高中生在解題中面臨的重重困難，科學(xué)融入波利亞解題模型，可促使學(xué)生在“理清題意、制定計劃、執(zhí)行計劃、檢驗與回顧”的解題流程中高效解答題目，逐漸提升學(xué)生的解題能力.本文聚焦于此，結(jié)合解題實踐，針對波利亞解題模型在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用展開了詳細探究.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題能力；波利亞解題模型；課堂教學(xué)

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）30-0014-03

收稿日期：2023-07-25

作者簡介：馮潔（1996.11-），女，江蘇省溧陽人，碩士，中小學(xué)二級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

波利亞解題模型源于波利亞《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》.在該書中，波利亞緊緊圍繞“解決數(shù)學(xué)問題”這一中心任務(wù)，提出了“波利亞解題模型”，倡導(dǎo)學(xué)生在解題時，應(yīng)遵循“理清題意——制定計劃——執(zhí)行計劃——檢驗與回顧”四個流程開展.其中，“理清題意”即為理解題目意思、明確題目已知條件、所求問題等，這是學(xué)生高效解題的關(guān)鍵；“制定計劃”是聯(lián)系題目已知條件、所求問題，運用所學(xué)的知識進行思考，尋找解題思路；“執(zhí)行計劃”則是依據(jù)上一個階段中制定的解題思路，利用所學(xué)的知識、方法進行推理、運算，最終得出正確的結(jié)論；“檢驗與回顧”則是對整個解題過程進行回顧、反思、總結(jié)，在檢驗解題正確與否的基礎(chǔ)上，進行知識積累，并為學(xué)生后續(xù)的解題奠定基礎(chǔ)^[1].鑒于波利亞思想的內(nèi)涵，將其應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，已經(jīng)成為一線教師研究的重點.

1 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)狀況

1.1 解題教學(xué)驅(qū)動性不足，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性較低

新課標(biāo)執(zhí)行前期，高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)大多仍以講解式教學(xué)和練習(xí)式教學(xué)為主.講解式教學(xué)由教師主導(dǎo)，注重對問題進行剖析和講解，學(xué)生處于被動學(xué)習(xí)狀態(tài)；練習(xí)式教學(xué)則以學(xué)生為主體，對學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和獨立思考能力要求較高.因此，教師教學(xué)設(shè)計不夠全面，教學(xué)模式趣味性較低，導(dǎo)致解題教學(xué)驅(qū)動性不足，學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏主動性等現(xiàn)象在講解式教學(xué)和練習(xí)式教學(xué)中都有體現(xiàn).在講解式教學(xué)中的體現(xiàn)為學(xué)生注意力不集中，打瞌睡、走神等現(xiàn)象頻發(fā)；在練習(xí)式教學(xué)中的體現(xiàn)為學(xué)生解題效率較低、正確度較低.例如，教師在講解“橢圓的標(biāo)準方程”相關(guān)的知識點時，會在引導(dǎo)學(xué)生進行等式的化簡后推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準方程，但因為學(xué)生對于等式的化簡存在困難，而課堂時間有限，造成學(xué)生缺少練習(xí)時間，教師也需要進行后續(xù)的講解.這造成“一步慢，步步慢”的情況，學(xué)生也無法跟上教師后續(xù)的講解進度，學(xué)習(xí)自信心也會受到打擊.

1.2 解題教學(xué)創(chuàng)新性不足，難以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

新課程標(biāo)準指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)需要在傳授知識的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的運用能力、創(chuàng)新精神、核心素養(yǎng)等綜合能力.數(shù)學(xué)習(xí)題每年都會迎來一定的創(chuàng)新，雖然考查的內(nèi)容大體相同，但解題思路會發(fā)生一定的改變.前期高中數(shù)學(xué)教師因為沒有針對性地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和核心素養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生掌握了某一個問題的解題方法，并未掌握這一類題型的解題方法.例如，教師在講解“已知函數(shù)f（x）=ln（x+x²+1），若實數(shù)a，b滿足f（a）+f（b-1）=0，則a+b=？”這一問題的核心在于觀察f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù).教師在講解時也會按部就班地完成講解，但在實際過程中缺乏引導(dǎo)學(xué)生深度思考的過程，導(dǎo)致學(xué)生只能將解題方法運用到這一個題目上，無法觸類旁通.

1.3 忽視回顧與反思環(huán)節(jié)，解題教學(xué)有效性不足

回顧反思作為解題教學(xué)的收尾階段，其具有幫助學(xué)生查漏補缺、增強學(xué)生記憶力、提升學(xué)生解題思維的重要作用.但在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，仍有部分教師忽視回顧反思教學(xué)開展，導(dǎo)致解題教學(xué)有效性不足.以“立體幾何初步”這一章節(jié)知識點為例，教師在講解完成之后會為學(xué)生布置相關(guān)的復(fù)習(xí)任務(wù)，如進行習(xí)題訓(xùn)練等.因為教師并未了解學(xué)生的實際學(xué)情，其很難針對性地布置復(fù)習(xí)任務(wù)，因此大部分教師會選擇“題海戰(zhàn)術(shù)”，試圖通過量變來引起質(zhì)變.并且，學(xué)生在完成復(fù)習(xí)任務(wù)之后教師的評價也極其簡單，大都只有幾個“對鉤”或者一個“閱”字，復(fù)習(xí)任務(wù)的有效性難以充分體現(xiàn)，學(xué)生也無法根據(jù)教師的評價確定自身的問題.久而久之，學(xué)生的復(fù)習(xí)積極性會不斷降低，學(xué)習(xí)壓力也會因為題海戰(zhàn)術(shù)不斷增加.

2 波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的實踐應(yīng)用

為對波利亞解題模版在解題中的應(yīng)用展開深入研究，筆者結(jié)合以下兩道題目進行了詳細的探究：

例1 已知正項等比數(shù)列a_n的前n項和為S_n，a₁=2，2S₂=a₂+a₃求：

（1）等比數(shù)列a_n的通項公式？

（2）設(shè)b_n=2n-1/a_n，求數(shù)列b_n的前n項和？

基于波利亞解題模型，在解答這一問題時，可從以下四個方面進行：

第一，理清題意.引導(dǎo)學(xué)生自己讀題、審題，理解題目的含義，明確題目中的已知條件、未知內(nèi)容、所求目標(biāo)等.在本題中學(xué)生經(jīng)過審題，理清了題目中已知條件、所求目標(biāo).其中，已知條件：數(shù)列a_n的首項、第二項和第三項的和、a_n是正項等比數(shù)列；所求目標(biāo)：數(shù)列a_n、b_n的通項公式，以及b_n的前n項和？

第二，制定計劃.本階段是形成解題思路的核心，主要是聚焦所求的問題，圍繞已知量和未知量之間的關(guān)系進行探究，并在此基礎(chǔ)上形成解題思路.在本題目中，先將題目中已知條件和所求問題聯(lián)系起來，并由“等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列b_n的前n項和”展開聯(lián)想.在此基礎(chǔ)上通過討論、分析，逐漸形成本題目的解題思路：針對（1）來說，需要借助等比數(shù)列的性質(zhì)，前n項和求和公式，將a_n的首項和公比q求出來；針對（2）來說，則需要借助數(shù)列a_n的通項公式，將b_n的通項公式求出來.接著再利用錯位相減的方法，將b_n前n項和求出來.

第三，執(zhí)行計劃.主要是按照上述設(shè)計的解題思路進行解答.在本題目中根據(jù)上述分析所形成的解題思路，按照如下步驟執(zhí)行解題：

由①-②得出：

第四，檢驗與回顧.這一環(huán)節(jié)主要是解題完成之后對其進行檢驗，看其是否正確.同時，在這一階段中，還應(yīng)及時進行反思和積累，為學(xué)生后續(xù)解題奠定基礎(chǔ).在本題目解答完畢后，就先引導(dǎo)學(xué)生開展檢驗，之后圍繞整個解題過程進行反思和總結(jié).對此，有的學(xué)生表示本題目中主要圍繞等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、錯位相減法進行了考查；還有的學(xué)生在總結(jié)中提出了解答第一問數(shù)列a_n的首項和公比q是關(guān)鍵；也有的學(xué)生在總結(jié)中提出了本題的難點在于第二問，關(guān)鍵是運算^[2].如此，學(xué)生通過反思與總結(jié)，不僅掌握了這一類型數(shù)學(xué)解題的解答技巧，也學(xué)會了知識的遷移和應(yīng)用，真正提升了學(xué)生的舉一反三能力.

3 高中數(shù)學(xué)波利亞解題教學(xué)啟示

波利亞模型是一種重要的、系統(tǒng)化的解題方式，將其應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題中，可促使學(xué)生在“理清題意——制定計劃——執(zhí)行計劃——檢驗與回顧”的引導(dǎo)下，深入挖掘題目中已知條件和所求問題，并引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)的知識尋求已知條件和未知條件的內(nèi)在聯(lián)系，最終將陌生的數(shù)學(xué)題目轉(zhuǎn)化成為學(xué)生所熟悉的數(shù)學(xué)解題類型，以便于學(xué)生形成明確、清晰的解題思路.鑒于波利亞模型在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價值，高中數(shù)學(xué)教師還應(yīng)靈活開展課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中逐漸掌握這一解題技巧和能力.

首先，引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用波利亞“怎樣解題”表.波利亞模型為學(xué)生提供了一個常規(guī)的解題思路，無論是簡單的數(shù)學(xué)題目，還是復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目，都可以按照這一思路展開.因此，為了引導(dǎo)學(xué)生真正掌握這一解題技巧，就應(yīng)結(jié)合具體的題目，引領(lǐng)學(xué)生分析題目、確定目標(biāo)、研究解題思路、解題實踐等.如此，經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練之后，學(xué)生就會逐漸形成波利亞解題思維.

其次，深層次挖掘波利亞解題思想觀，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).根據(jù)波利亞解題的具體流程和內(nèi)涵，對學(xué)生的審題能力、基礎(chǔ)知識體系、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)運算等都提出了更高的要求.鑒于此，高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中，還應(yīng)立足于波利亞解題的思想觀，聚焦學(xué)生的核心素養(yǎng)設(shè)計課堂教學(xué)方案，全面加強學(xué)生基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)審題能力、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、常見數(shù)學(xué)思想教學(xué)，借助針對性的訓(xùn)練提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

最后，重視檢驗與總結(jié).波利亞解題模型中的四個步驟組成了一個系統(tǒng)化的解題體系.在實際應(yīng)用中，部分教師常常忽視回顧和檢驗.鑒于此，在日常解題教學(xué)時，應(yīng)給予足夠的重視，引導(dǎo)學(xué)生完成解題之后及時進行反思，使學(xué)生在反思、總結(jié)中，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題中蘊含的數(shù)學(xué)思想，內(nèi)化數(shù)學(xué)知識，并提升自身的數(shù)學(xué)解題能力^[3].

綜上所述，波利亞模型作為一種有效的解題工具，將其應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題中，不僅提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率，也幫助學(xué)生逐漸形成了良好的解題習(xí)慣，真正提升了高中生的數(shù)學(xué)解題能力.鑒于此，高中數(shù)學(xué)教師在日常解題教學(xué)中，應(yīng)基于針對性的練習(xí)題目，對波利亞解題模型進行細化，使學(xué)生在針對性的訓(xùn)練中，逐漸掌握這一解題技巧.

參考文獻：

[1] 李輝.例談波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版上旬），2021（5）：55.

[2] 黃倩欣. 基于波利亞解題理論的高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)研究[D].?？冢汉Ｄ蠋煼洞髮W(xué)，2020.

[3] 趙源.運用波利亞數(shù)學(xué)解題表進行高中解題教學(xué)的策略研究[J].數(shù)理化解題研究，2018（12）：40-41.

[責(zé)任編輯：李 璟]