數(shù)形結(jié)合 妙解三角函數(shù)

摘 要：三角函數(shù)是探索數(shù)學(xué)與幾何關(guān)系的代數(shù)理論，它揭示了數(shù)學(xué)與幾何之間的緊密關(guān)系，而數(shù)形結(jié)合的方式，可以將數(shù)學(xué)和幾何結(jié)合起來，為學(xué)生解決復(fù)雜的幾何難題提供新的途徑和思路.因此，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生深入研究和應(yīng)用數(shù)形結(jié)合理論，更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì)、性質(zhì)，從而提高學(xué)生解決三角函數(shù)問題的能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；三角函數(shù)；課堂教學(xué)

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）30-0011-03

收稿日期：2023-07-25

作者簡介：陳亞囡

（1985.12-），女，江蘇省南通人，本科，講師，從事中職數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)和幾何學(xué)一直以來都是人們探索和研究的重要領(lǐng)域，三角函數(shù)是以角度為自變量，以其對應(yīng)的任意角的終邊上任意一點(diǎn)坐標(biāo)，或坐標(biāo)比值為函數(shù)值的一種函數(shù)表達(dá).數(shù)形結(jié)合是一種幾何作圖方法，可以將三角函數(shù)和幾何相互融合，是研究幾何形狀和角度的重要工具，兩者在解決實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用^[1].因此，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生挖掘三角函數(shù)的性質(zhì)和公式，以及幾何形狀的特點(diǎn)，幫助學(xué)生探索解決幾何難題的新思路.

1 依托三角函數(shù)線，探索基礎(chǔ)內(nèi)涵

三角函數(shù)線是指由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等所表達(dá)的一類曲線，這些函數(shù)都是以單位圓的角度為輸入，并輸出對應(yīng)的三角比值.教師在介紹三角函數(shù)的同時(shí)，可以為學(xué)生引申三角函數(shù)線的意義，幫助學(xué)生以數(shù)形結(jié)合的形式理解三角函數(shù)的部分知識，通過函數(shù)線上的圖像，理解代數(shù)式中的函數(shù)，呈現(xiàn)出一系列特征，包括周期性、對稱性、振蕩等.

課堂中，教師可以指出三角函數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容，介紹指出正弦函數(shù)是用sin（x）表示的，其中x是角度，描述了一條振蕩的曲線，且取值范圍在[-1， 1]之間；余弦函數(shù)是用cos（x）表示的，其中x是角度，描述了一個(gè)類似正弦函數(shù)的曲線，取值范圍也在[-1， 1]之間；正切函數(shù)是用tan（x）表示的，其中x是角度，描述了一條具有無限個(gè)極值點(diǎn)的曲線，其定義域的周期為π.在學(xué)生了解正弦余弦和正切概念的基礎(chǔ)上，教師可以引申至三角函數(shù)線，指出三角函數(shù)線是正弦、余弦、正切、正割線的總稱，是三角函數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容，借助三角函數(shù)線，學(xué)生可以以作圖的方式，直觀地看出任意角在特殊條件下的取值范圍.簡單地，教師可以在黑板上寫出例題，讓學(xué)生求出當(dāng)sinα＞1/2時(shí)，α的取值范圍，教師可以提示學(xué)生利用三角函數(shù)線解題，為學(xué)生的解題提供“撥云見日”的感覺.在一段時(shí)間的思考后，教師可以提問了解學(xué)生的想法，有學(xué)生回答：“當(dāng)α為30°時(shí)，sinα＝1/2，這樣說來，我們可以用臨界的思維將三角函數(shù)線的起始安置在點(diǎn)A，此時(shí)的OA線與x軸的夾角為30°，轉(zhuǎn)化一下也可以寫成π/6.”教師肯定了學(xué)生的思路，并詢問是否還有補(bǔ)充，另一學(xué)生回答：“正弦值在三角函數(shù)與象限中，不只有第一象限為正數(shù)，第二象限對于正弦值來說同理，也是正數(shù)，這樣一來，sinα的取值為1/2就出現(xiàn)了兩種情況，即α為5π/6同樣符合題意，然后將三角函數(shù)線補(bǔ)充完整，即可得出答案.”教師將學(xué)生的思維展示在投影儀上（見圖1），綜述道：“在π/6與5π/6的以逆時(shí)針的方向圈定范圍，并用表達(dá)式表示出來，即可得出正確答案為｛α | π/6+2kπ＜α＜5π/6+2kπ，k∈Z｝.”

通過教師介紹三角函數(shù)線的方式，學(xué)生可以以形會意，在初步學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中，發(fā)現(xiàn)圖像和特殊節(jié)點(diǎn)的基礎(chǔ)含義，將圖像特征與代數(shù)式的計(jì)算聯(lián)系起來，從而找到數(shù)形結(jié)合中，三角函數(shù)所具備的基礎(chǔ)意義.同時(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師幫助學(xué)生提前了解函數(shù)的特質(zhì)，以及介紹其在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用方法，均為至關(guān)重要，可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供思維邏輯上的助力.

2 利用數(shù)軸單位圓，挖掘幾何意義

在數(shù)學(xué)中，單位圓是指的半徑為1，圓心位于坐標(biāo)系的原點(diǎn)（0， 0）的圓，單位圓在數(shù)學(xué)中扮演著重要的角色，且具有特殊的性質(zhì)和應(yīng)用.單位圓與三角函數(shù)密切相關(guān)，不僅可以聯(lián)結(jié)復(fù)雜概念與圖形的關(guān)系，還可以為三角函數(shù)的冗雜的代數(shù)計(jì)算，找到簡潔的突破口^[2].因此，教師可以借助單位圓與三角函數(shù)數(shù)形結(jié)合的圖像，幫助學(xué)生挖掘三角函數(shù)的幾何意義.

在直角坐標(biāo)系上，教師可以以單位圓的圓心為頂點(diǎn)，以x軸正方向?yàn)槌跏歼?，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，對應(yīng)于單位圓上的一個(gè)點(diǎn)P（x， y），那么，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x就是角度θ的余弦值，縱坐標(biāo)y就是角度θ的正弦值，這被稱為三角函數(shù)的單位圓定義.接著，教師可以指出單位圓的方程是x²+y²=1，其中（x， y）是單位圓上的任意一點(diǎn)，并提醒這個(gè)方程表示所有位于單位圓上的點(diǎn)滿足的條件，可以用來表示角的度量.接著，教師可以引入單位圓的作用，指出單位圓也可以幫助學(xué)生理解正切函數(shù)的幾何意義，因?yàn)檎泻瘮?shù)可以用單位圓上沿切線方向的斜率來表示，當(dāng)教師在黑板上畫了一條從圓心到單位圓上某點(diǎn)的線段，并將該點(diǎn)延長至與單位圓的切線相交時(shí)，教師可以提示學(xué)生注意觀察，指出切線和x軸之間的夾角就是該點(diǎn)的角度.在這種情況下，點(diǎn)的縱坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)即是該角度的正切值，通過單位圓，教師可以引領(lǐng)學(xué)生直觀地看到正切函數(shù)在不同角度下的增減變化.之后，教師可以為學(xué)生準(zhǔn)備一道例題，幫助學(xué)生更好地理解單位圓與三角函數(shù)的幾何關(guān)系，教師可以提問，如果π/4＜α＜π/2，那么不等式cosα＜sinα＜tanα是否成立？此題不僅考查了學(xué)生對正弦余弦函數(shù)的定義域和值域，還考查了三角函數(shù)在單位圓中所表現(xiàn)出來的圖像和性質(zhì)，因此，在教師的提示下，有學(xué)生提出可以用在單位圓內(nèi)作出π/4＜α＜π/2內(nèi)的角（見圖2），并表示出sin，cos和tan，并根據(jù)ON，MP，AT的絕對值，分析有向線段的正負(fù)情況，得出結(jié)果，證實(shí)cosα＜sinα＜tanα成立.

通過單位圓的圖形示意，學(xué)生可以更好地理解三角函數(shù)的性質(zhì)、周期性以及它們與角度之間的關(guān)聯(lián)，同時(shí)，單位圓與三角函數(shù)的數(shù)形結(jié)合，還可以讓學(xué)生以清晰的方式觀察和解釋正弦、余弦和正切函數(shù)，找到數(shù)學(xué)代數(shù)與幾何意義之間的隱藏聯(lián)系，豐富學(xué)生對三角函數(shù)的認(rèn)知，從而深化對三角函數(shù)的理解，并在幾何問題的求解中運(yùn)用它們.

3 借助正弦余弦圖，應(yīng)用實(shí)際問題

正弦函數(shù)圖像表現(xiàn)出周期性的振蕩，可以幫助我們研究周期性現(xiàn)象、震蕩和波動，余弦函數(shù)的圖像與正弦函數(shù)的圖像形狀相似，共同展示了三角函數(shù)的對稱性，諧振現(xiàn)象和周期性運(yùn)動.并且，正弦和余弦圖像在解決三角函數(shù)問題中具備許多便利之處，可以展示三角函數(shù)的周期性、振蕩性和相位差特性，因此，教師可以引領(lǐng)學(xué)生觀察這些圖像，更好地理解三角函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，應(yīng)用在實(shí)際問題中^[3].

教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶生活中的三角函數(shù)圖像，有學(xué)生思考想到了擺動的掛鐘，掛鐘上的振動可以用正弦函數(shù)來描述，當(dāng)掛鐘振蕩到達(dá)極端位置時(shí)，它會以最大速度通過中心位置，并在離開中心位置時(shí)減速，再次返回中心位置.這個(gè)過程會一次又一次地重復(fù)，形成一個(gè)周期性的運(yùn)動.這時(shí)，教師可以讓學(xué)生再次觀察正余弦函數(shù)圖像，學(xué)生通過觀察正弦函數(shù)圖像能夠更好地理解這種周期性運(yùn)動，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)鐘擺通過中心位置時(shí)，正弦函數(shù)的值為0，這代表鐘擺在這一時(shí)刻沒有速度，正好處于最高和最低點(diǎn)之間.當(dāng)鐘擺移動到最高或最低點(diǎn)時(shí)，正弦函數(shù)的值達(dá)到最大值，表示鐘擺速度最快.結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)的應(yīng)用題，教師可以舉例，已知函數(shù)f（x）=2sin（x）+3cos（x），其中x為弧度.求函數(shù)f（x）的最小值及對應(yīng)的x值，教師可以提示，函數(shù)f（x）=2sin（x）+3cos（x）可以寫成標(biāo)準(zhǔn)的三角函數(shù)形式f（x）=Asin（x）+Bcos（x），其中A=2，B=3，為了求函數(shù) f（x）的最小值，可以利用三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)注f（x）函數(shù)的最大值和最小值出現(xiàn)的位置，也就是關(guān)注它的圖像.在教師的提示下，有學(xué)生領(lǐng)悟：“經(jīng)過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，在sin（x）和cos（x）的圖像中（見圖3），sin（x）的圖像是一個(gè)周期為2π的正弦函數(shù)，最小值為-1，最大值為1，同樣，cos（x）的圖像也是一個(gè)周期為2π的余弦函數(shù)，最小值和最大值也為-1和1.因此，我們可以推斷f（x）的圖像是一個(gè)幅度不超過|A|+|B|=2+3=5的正弦函數(shù).換句話說，f（x）的最小值就是-5，最大值是5.”不多時(shí)，另有學(xué)生補(bǔ)充：“接下來我們需要找出函數(shù)f（x）取到最小值時(shí)的x值，為了達(dá)到最小值，我們需要在sin（x）和cos（x）的圖像重疊的部分找到最小值，實(shí)際上，在它們兩者都取到最大值的時(shí)候，它們的和f（x）就會取到最小值.所以，我們解方程組可以得到x=π/4+2kπ，其中k是任意整數(shù).”

通過觀察正余弦的函數(shù)圖像，教師可以從多角度介紹三角函數(shù)的周期、振幅、相位差等概念，幫助學(xué)生學(xué)會預(yù)測和分析周期性問題，解決波動、振動、頻率和相位等相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，為學(xué)生的三角函數(shù)學(xué)習(xí)鋪墊理論性的基礎(chǔ).教師也可以在具體例題中，為學(xué)生提供創(chuàng)新性的解法，從而鼓勵(lì)學(xué)生自主研究，深入探索三角函數(shù)在實(shí)際問題中的深刻應(yīng)用.

總之，借助數(shù)形結(jié)合解決三角函數(shù)問題，可以深化學(xué)生對三角函數(shù)概念及其應(yīng)用的理解，并將其與幾何形態(tài)聯(lián)系起來，這不僅能夠幫助我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美妙關(guān)聯(lián)，提升問題解決的能力，還可以幫助學(xué)生拓展數(shù)學(xué)思維的廣度和深度.同時(shí)，教師運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，不但可以為學(xué)生提供更多的三角函數(shù)的解題思路和方式，而且，許多三角函數(shù)的性質(zhì)和定理都可以通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)或證明得出，這還可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)更多直觀且巧妙的解題方法，簡化計(jì)算過程，提高問題解決的效率.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李 璟]