“最多”與“最少”的啟示

杜永寧

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》指出：“教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。”如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)呢？就是要抓住概念、原理、方法之間及數(shù)學(xué)意義的相通性、一致性。“一致性”為核心素養(yǎng)落地提供了新視角，它反映的是學(xué)科本質(zhì)，教學(xué)中應(yīng)該慎思之，篤行之。

筆者用下面的教學(xué)實(shí)踐來(lái)見(jiàn)證思考“一致性”的必要和樂(lè)趣。

西南師大版數(shù)學(xué)四（下）有關(guān)于“求最大（?。钡倪@樣一個(gè)例題：小劇院共有甲票座位50個(gè)，票價(jià)30元，乙票座位100個(gè)，票價(jià)10元。本場(chǎng)票房收入為2300元。本場(chǎng)觀眾最少有多少人？如果僅僅從“人數(shù)最少，就應(yīng)該是票價(jià)高的甲票盡量多賣(mài)”出發(fā)來(lái)解決問(wèn)題，學(xué)生只是掌握了一個(gè)“孤立”的題目，他們無(wú)法理解這個(gè)問(wèn)題來(lái)自何方，去向何處，學(xué)習(xí)價(jià)值將大打折扣。這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)在哪兒？它與哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題是相通的呢？

我首先想到了“票房（銷(xiāo)售）收入”。所以我設(shè)計(jì)了一個(gè)準(zhǔn)備題：小劇院共有甲票座位50個(gè)，票價(jià)30元，乙票座位100個(gè)，票價(jià)10元。一場(chǎng)演出滿座，本場(chǎng)票房收入有多少元？學(xué)生解答后，我引導(dǎo)學(xué)生列出數(shù)量關(guān)系：甲票單價(jià)×甲票張數(shù)＋乙票單價(jià)×乙票張數(shù)=票房收入。

接著談話：現(xiàn)實(shí)生活中，并非每場(chǎng)都能滿座，你看這一場(chǎng)情況就是……接著出示例題。學(xué)生認(rèn)識(shí)到，現(xiàn)在是知道了票房收入，反過(guò)來(lái)計(jì)算售票總張數(shù)。那就需要知道售出的甲票張數(shù)和乙票張數(shù)分別是多少（老師在之前數(shù)量關(guān)系處記上問(wèn)號(hào)）。接下來(lái)學(xué)生討論，根據(jù)“人數(shù)最少”確定下來(lái)先“盡量多售出票價(jià)高的甲票”，即先把50張甲票全部售出。學(xué)生結(jié)合數(shù)量關(guān)系上的標(biāo)注解答此題。

到達(dá)這一步，學(xué)生起碼知道原來(lái)例題是由“求總收入”的問(wèn)題變身而來(lái)，而利用“兩積求和”的數(shù)量關(guān)系也可進(jìn)一步理解自己解答方法，關(guān)鍵是“人數(shù)最少”把其中“一個(gè)積”確定了下來(lái)。

我沒(méi)有停下來(lái)，而試著讓學(xué)生更深刻一些。所以，我出示了下面的練習(xí)：小劇院共有甲票座位50個(gè)，票價(jià)30元，乙票座位100個(gè)，票價(jià)10元。本場(chǎng)演出票房收入為2300元。觀眾人數(shù)可能是多少？

我引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)量關(guān)系改寫(xiě)成：30×□＋10×□=2300，現(xiàn)在甲票張數(shù)和乙票張數(shù)都是不確定的了（這就是個(gè)“不定方程”），又該怎么解答呢？解答時(shí)有什么技巧呢？

這時(shí)，我請(qǐng)學(xué)生回看了一張二年級(jí)下期的教材圖片，第一個(gè)題目是：一根長(zhǎng)繩4米，一根短繩2米。用一條10米長(zhǎng)的繩子來(lái)做這兩種跳繩，可以怎么做？

學(xué)生恍然大悟，原來(lái)二年級(jí)就碰到過(guò)這樣的問(wèn)題。于是，枚舉法自然派上了用場(chǎng)，枚舉的技巧也在討論中應(yīng)運(yùn)而生。

原來(lái)例題的問(wèn)題真是來(lái)源于不定方程，只是在特定條件下，“不定”變成了“確定”。

當(dāng)教師站在“一致性”的視角思考，學(xué)生學(xué)習(xí)的每個(gè)內(nèi)容就不會(huì)孤獨(dú)。有了教師的“一致性”思考，學(xué)生每天都在一點(diǎn)一點(diǎn)地構(gòu)建自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)。這樣的學(xué)習(xí)才深刻而有意義。