算法總在算理后

杜永寧

【問題】怎樣求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)？為什么這樣做？

【困惑】通常這樣處理上述問題的教學(xué)，以西南師大版五下教材為例進行說明。

1.分別列舉4的倍數(shù)和6的倍數(shù)，如下表

2.你發(fā)現(xiàn)了什么？

預(yù)設(shè)：4和6的倍數(shù)都有無數(shù)個；

4和6的倍數(shù)中有相同的數(shù)；

12，24，36，……既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)……

3.講解：什么是公倍數(shù)，什么是最小公倍數(shù)？

4.提出問題：除了這樣的列舉法，你還能怎樣找出兩個數(shù)的最小公倍數(shù)？

學(xué)生自主探究

5.匯報（教師一般借助已經(jīng)通過其他途徑學(xué)會的學(xué)生講解，學(xué)習(xí)怎樣用短除法求兩個的最小公倍數(shù)）

6.練習(xí)并發(fā)現(xiàn)求兩個數(shù)最小公倍數(shù)的規(guī)律

……

上面的教學(xué)過程看起來以學(xué)生為主體，順利完成了求最小公倍數(shù)的教學(xué)。但實際教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)采用這種灌輸式的教學(xué)方法，學(xué)生對于為什么可以用短除法這樣來求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)沒有真正理解。這也是教師的困惑所在，怎樣才能讓學(xué)生真正理解求兩個數(shù)最小公倍數(shù)的算理呢？

【思考】

1.找準新知識的生長點。求最小公倍數(shù)應(yīng)該在什么知識上生長起來？倍數(shù)、公倍數(shù)和合數(shù)的改寫（分解質(zhì)因數(shù)）。所以，講解完公倍數(shù)和最小公倍數(shù)后，可以提問：4和6的公倍數(shù)24與4和6有什么關(guān)系？為什么24卻不是4和6的最小公倍數(shù)呢？

（1）4×6=24，24既是4的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)，所以24是4和6的公倍數(shù)。

（2）為什么24卻不是4和6的最小公倍數(shù)呢？學(xué)生要發(fā)現(xiàn)原因，不會那么容易，所以課前可以鋪墊把4和6用短除法改寫成質(zhì)數(shù)相乘的形式4=2×2，6=2×3，學(xué)生觀察分解式推測、發(fā)現(xiàn)：4×6時，它們公有的質(zhì)因數(shù)2乘了2次，如果只乘1次，剛好是最小公倍數(shù)12。也就是說，兩個數(shù)的乘積一定是這兩個數(shù)的公倍數(shù)，但不一定是它們的最小公倍數(shù)，要求最小公倍數(shù)還需要……

2.自主構(gòu)建方法。通過上面的發(fā)現(xiàn)，求兩個數(shù)最小公倍數(shù)的方法呼之欲出，追問：你認為可以怎樣求出兩個數(shù)（4和6）的最小公倍數(shù)？

（1）分解篩選相乘法。雖然4×6，即2×2×2×3是它們的公倍數(shù)，但因為4和6有公有的質(zhì)因數(shù)2，所以這個2只取一個，4和6的最小公倍數(shù)就是2×2×3=12。

（2）短除法。能不能把上面的分解寫成短除法呢？兩個短除法能合并在一起嗎？我們發(fā)現(xiàn)，4和6公有的質(zhì)因數(shù)2在短除法里只寫了一次，所以直接把所有的除數(shù)和商乘起來就是4和6的最小公倍數(shù)，即2×2×3=12。

對比兩種方法，它們本質(zhì)上是相同的，只是寫法不同而已，短除法直接把公有的質(zhì)因數(shù)篩選出來了，更簡潔。

我們注意到，在理解求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)算理的教學(xué)中，“4×6=24”這個算式發(fā)揮了重要作用，而它正是原始概念“倍數(shù)”定義的基礎(chǔ)。

3.借助算理，掌握規(guī)律，拓展方法。理解了求兩個數(shù)最小公倍數(shù)的算理，就可以進一步掌握求最小公倍數(shù)的規(guī)律，實現(xiàn)方法的優(yōu)化和拓展。

（1）利用規(guī)律直接得到最小公倍數(shù)。 [15，30]=3×5×2=30，即有倍數(shù)關(guān)系兩數(shù)的最小公倍數(shù)是較大數(shù)。

4和7沒有公有質(zhì)因數(shù)，不存在篩選，所以[4，7]=4×7=28。

（2）大數(shù)擴倍法。[18，30]= 2×3×5×3=30×3=90，顯然兩個數(shù)的公倍數(shù)一定是較大數(shù)的倍數(shù)，所以可以直接把大數(shù)拿來擴倍，從擴大到原來的2倍開始，只要得數(shù)也是較小數(shù)的倍數(shù)時，即可求得兩數(shù)的最小公倍數(shù)。

（3）縮小乘積法。例如，18×30=540，540一定是18和30的公倍數(shù)，如果把540除以18和30公有的質(zhì)因數(shù)2和3同樣可以求到它們的最小公倍數(shù)，這種方法沒有現(xiàn)實意義，只是算理上的存在而已。

這樣的教學(xué)，學(xué)生在深刻理解算理的基礎(chǔ)上，也就自然能掌握求兩個數(shù)最小公倍數(shù)的算法，并體會各種算法之間的聯(lián)系，真正內(nèi)化這一重要的基本技能。因此，我們有理由說，精彩的算法總在深刻的算理之后。