基于Mathematica的楊氏雙縫干涉的仿真實驗研究

王程 鄧王紅 孫飛

關(guān)鍵詞 Mathematica;楊氏雙縫干涉;模擬仿真;交互式操作

1801年，托馬斯·楊巧妙地設(shè)計了一種把單個波陣面分解為兩個波陣面以鎖定兩個波源之間的相位差的方法來研究光的干涉現(xiàn)象，并利用疊加原理解釋了干涉現(xiàn)象，在歷史上第一次測定了光的波長，為光的波動學(xué)說的確立奠定了基礎(chǔ)。楊氏雙縫干涉實驗是大學(xué)物理光學(xué)實驗中的重要實驗之一，但該實驗需要特定的儀器和場所，且實驗參數(shù)的改變引起干涉條紋的變化不明顯，難以充分展示實驗的全部特征，給教學(xué)和科學(xué)研究帶來了許多不便[1]。本文根據(jù)楊氏雙縫干涉的理論基礎(chǔ)，應(yīng)用Mathematica軟件編程，對楊氏雙縫干涉進(jìn)行仿真，從而可以幫助相關(guān)人員形象直觀地感受光的干涉現(xiàn)象。

式（6）為計算楊氏雙縫干射圖樣的精確公式，式（8）為計算楊氏雙縫干射圖樣的近似公式。文獻(xiàn)[6]給出楊氏雙縫干涉仿真實驗的準(zhǔn)確計算公式和近似計算公式圖樣的對比，證明了準(zhǔn)確計算方法和近似計算法在屏與雙縫間距遠(yuǎn)大于縫寬，同時計算的圖樣在中心的小距離范圍內(nèi)（距離中心的距離也是遠(yuǎn)小于屏與雙縫間距）差異很小，通常情況下可以用近似法代替準(zhǔn)確法，也可以用近似公式計算方法解釋各參量對干涉圖樣的影響。

本次實驗也將兩個公式分別作為基本原理進(jìn)行仿真實驗，在雙縫間距d =1mm 和入射波長λ=632.8nm，縫到屏之間的距離D =1m 一樣的條件下，近似公式和準(zhǔn)確公式仿真結(jié)果如圖2所示。

可以仔細(xì)觀察圖2（a）和圖2（b），在近似公式模擬圖和準(zhǔn)確公式模擬圖兩者的條紋數(shù)量不一致即明暗條紋級數(shù)不一致，條紋級次較小時，楊氏雙縫干涉準(zhǔn)確公式坐標(biāo)條紋分布和條紋間距與近似算法結(jié)果一致;但在條紋級次較大時，條紋間距不能再認(rèn)為是相等，且隨著級次的增大，準(zhǔn)確計算與近似計算誤差以級次的平方速率增長[5]，導(dǎo)致準(zhǔn)確公式模擬圖與近似公式模擬圖慢慢出現(xiàn)了一些差異。通過進(jìn)一步調(diào)整參數(shù)，我們會發(fā)現(xiàn)，要使用近似公式必須滿足 D ?d?λ 且 x?D ，否則就會與真實實驗結(jié)果存在偏差。因此在本次仿真模擬實驗中，我們用式（6）來計算雙縫干涉，以保證同真實的實驗結(jié)論完全一致。

3 Mathematica仿真

Mathematica是一款科學(xué)計算軟件，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號計算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)和與其他應(yīng)用程序的高級連接。在此次模擬仿真中，我們通過Mathematica軟件使用Manipulate命令，得到的輸出是一個交互式對象，其中包含一個或多個控件（滑塊等），可用于更改一個或多個參數(shù)的值。輸出非常像一個小程序或小部件，它不僅僅是一個靜態(tài)結(jié)果，它是一個可以與之交互的運行程序。而使用DensityPlot命令可以畫出在指定區(qū)間上的密度圖，即我們模擬出來的楊氏干涉條紋圖樣，結(jié)合ColorFunction命令可以決定其作用于某點的函數(shù)值上的顏色，于是借助該命令可以將不同波長的入射光與其產(chǎn)生的干涉條紋的顏色對應(yīng)起來，這樣使得我們的模擬結(jié)果非常的精確直觀和形象，對于初學(xué)光的干涉的同學(xué)，認(rèn)知和理解這部分的內(nèi)容有著非常大的作用。

接下來，本文將用Mathematica軟件對采用近似公式計算方法的楊氏雙縫干涉進(jìn)行模擬仿真。如圖3所示，使用Mathematica建立動態(tài)交互式操作界面，將波長，雙縫間距， 觀察屏與雙縫間垂直距離作為可調(diào)節(jié)的參數(shù)，動態(tài)模擬隨可調(diào)參量變化干涉條紋的顏色、間距、寬度等變化過程，分析條紋變化特征，使干涉條紋變化生動形象地展現(xiàn)出來。

4 實驗仿真中變化

4.1 參數(shù)變化的影響效果

實驗中有雙縫間距d，縫和接收屏之間的距離D ，入射波長λ 是可以改變的參數(shù)，在交互式窗口中，通過改變上述參數(shù)可以得到對應(yīng)的干涉條紋圖樣。

首先我們分析雙縫間距對干涉條紋的影響，改變仿真實驗中的雙縫間距d 而在縫和接收屏之間的距離D =20mm，入射波長λ=632.8nm 的條件下的實驗結(jié)果。如圖4所示，其中雙縫間的距離分別為d=0.5mm，d=1mm，d=2mm，可以觀察到圖樣的明暗條紋間距以及位置的變化。

從改變后的結(jié)果可以觀察出隨著雙縫間距的增加，明暗條紋的間距在逐漸減小，說明在波長和縫和接收屏之間的距離不變的情況下，明（暗）條紋間距Δx 與雙縫間距成反比，周期也在減小，從上述式（9）可以看出是由于光程差增加導(dǎo)致的。

其次我們分析了縫和接受屏之間的距離對干涉條紋的影響，當(dāng)入射光波長λ=600nm 和雙縫間距d=1mm 的條件時，縫和接收屏之間的距離進(jìn)行改變可以得到不同情況下的效果。如圖5所示，其中雙縫間的距離分別為d =0.5mm，d =1mm，d=2mm，可以觀察到圖樣的明暗條紋間距以及位置的變化。

從實驗仿真結(jié)果來看，隨著雙縫與接收屏之間的距離的增大，明暗條紋的間距也在增加，條紋的周期也在增加，明（暗）條紋間距Δx 與縫和接收屏之間的距離成正比，周期也在增加，從表達(dá)式中可以知道是光程差減小導(dǎo)致的。

最后我們分析入射波長對干涉條紋的影響，同樣，在縫和接收屏之間的距離D =20mm 和雙縫間距d=1mm 的情況下，在交互式界面中直接輸入不同的波長數(shù)值可以得到波長改變后的效果圖。如圖6所示，其中入射光波長λ 分別為λ=400nm，λ=500nm，λ=623.8nm，可以觀察到明暗條紋間距以及條紋位置的變化。

從實驗仿真的實驗結(jié)果可以直觀地看出，不同入射光波長得到干涉圖樣也有了不同的顏色，這是因為在仿真過程中加入了入射波長與顯示出來的顏色之間的相關(guān)的函數(shù)，能夠與之對應(yīng)，在視覺效果上更加直接和真實。同時也發(fā)現(xiàn)，隨著波長的增加，明暗條紋之間的間距和條紋數(shù)量在增加，周期在增加，說明條明（暗）條紋間距Δx 與波長成正比。

4.2 其他外加因素的影響

在考慮了干涉實驗中的一些內(nèi)在因素后，本文還可以繼續(xù)考慮一些能夠影響實驗的其他實驗中常見的因素，比如在縫隙后面加入透明介質(zhì)玻璃片，改變光源入射位置等。

4.2.1 加入玻璃片后的影響

圖7為加入玻璃片后示意圖。加入縫隙后的玻璃片的折射率為n，厚度為h。

在入射波長λ=555nm，雙縫間距d=1mm，縫和接收屏之間的距離D =20mm 以及介質(zhì)折射率n=1.5和厚度h =5mm 的條件不變的情況下，對加入玻璃片前后實驗進(jìn)行模擬分析，如圖8所示。

從加入玻璃片前后的仿真實驗結(jié)果可以觀察到干涉條紋的位置發(fā)生了變化，中央亮紋不在x=0處，整個條紋平移1/8個周期左右，且條紋之間的距離沒有發(fā)生改變。這是因為加入玻璃片之后兩束光之間的光程差發(fā)生了改變，從而使得低級次取代原來的高級次，屏上的干涉條紋移動方向向上。如果玻璃片放入下側(cè)光路，我們會觀察到屏上的干涉條紋整體向下移動。通過Mathematica建立動態(tài)交互式操作界面，我們也可以將透明物體的厚度和折射率作為可調(diào)節(jié)的參數(shù)，從而能更好地研究干涉條紋的動態(tài)分布特點。

4.2.2 光源移動后的影響

為了更加貼合現(xiàn)實實驗中的真實性，本次實驗還考慮光源不是處于雙縫中間處的情況，即光源在中心處或上或下的位置。因此，光源入射處與水平處會有一定的夾角，會發(fā)現(xiàn)干涉光之間的光程差發(fā)生變化（圖9）。

在入射波長λ=500nm，雙縫間距d=1mm，縫和接收屏之間的距離D =20mm 以及l(fā) =1mm，h=0.1mm 的條件不變的情況下，對改變光源位置前后實驗進(jìn)行模擬分析，如圖10所示。

從模擬的結(jié)果來看，改變光源位置前后，光程差有一定的改變，明暗條紋之間的間距沒有發(fā)生改變，只是條紋發(fā)生了平移，也就是中心條紋的位置發(fā)生了改變，條紋平移了八分之一個周期。同時需要指出的是，在真實的雙縫干涉實驗裝置中，雙縫是置于單縫之后的，由于單縫衍射會在空間形成明暗相間的分布，為了得到清晰可見的干涉條紋，我們應(yīng)使單縫衍射的中央明紋充分覆蓋雙縫部分，而中央明紋又與單縫縫寬，入射波長等因素有關(guān)。本文我們主要討論雙縫干涉，因此僅簡化為考慮光源作微小移動后對干涉條紋的影響，而對于實際實驗裝置所含的單縫衍射因素影響本文未做更多的討論，關(guān)于這部分的仿真模擬將是非常有趣研究，我們計劃在后續(xù)的研究中考慮。

5 非單色光干涉模擬[7-10]

前面模擬仿真部分都是以某一單色光作為干涉光，為了更加符合實際或增強視覺效果，本次實驗還進(jìn)行了非單色光的模擬，以標(biāo)準(zhǔn)色光三原色——紅光（λ=700nm）綠光（λ=546.1nm），藍(lán)光（λ=435.8nm）為干涉光的原光和雙縫間距d=1mm，縫和接收屏之間的距離D =40mm 的條件下，在Mathematica 軟件運用ColorSeparate 和ColorCombine命令對非單色光進(jìn)行模擬仿真，結(jié)果如圖11所示。

從最后模擬結(jié)果可以觀察到在三原色作為干涉光得到的結(jié)果在視覺上比較好，在中心條紋處光線的疊加可以模擬出白光的效果，同時也體現(xiàn)了各種顏色都是三原色相互融合的結(jié)果，為實驗增添了更多的真實性。除此之外，在仿真過程中雙縫間距d、屏到縫之間的距離D 都是可以進(jìn)行調(diào)整的，當(dāng)然本文中展示的是三種波長來模擬，同時也可以進(jìn)一步的改善來實現(xiàn)對整個可見光光譜的模擬，以此來探索更多的可能性。

6 結(jié)語

通過對楊氏雙縫實驗的原理對模擬所需的光強函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)，得到光強分布公式，在Mathematica軟件中以此為基本原理進(jìn)行仿真模擬。在此過程中我們沒有做任何近似可適用于任意參數(shù)雙縫間距d、縫和接收屏之間的距離D 、入射波長λ 的輸入，基于模擬仿真的交互性操作，可視化方法及動態(tài)模擬這樣就完成了楊氏雙縫實驗真實過程的完全模擬。如果在輸入?yún)?shù)中例如我們滿足D ?d?λ 且x?D 的條件則可以實現(xiàn)課本中的近似公式的結(jié)果。在本文中我們和教科書[10]的近似結(jié)果做了比較，也研究了干涉圖像和各參數(shù)之間的關(guān)系，同是我們考慮了非單色光混合后的干涉圖像得到了比較理想的結(jié)果，這對于拓展物理教學(xué)和激發(fā)學(xué)生興趣具有一定的意義。

基于在計算機技術(shù)的虛擬仿真軟件在大學(xué)物理實驗教學(xué)中的作用越來越重要，又在軟件上對實驗進(jìn)行模擬大大降低了成本，可以不受實驗儀器和實驗條件的影響。而計算機的可視化方法可以幫助解決學(xué)生對具有挑戰(zhàn)性的學(xué)科特別是實驗理論知識抽象、調(diào)試難度大的相關(guān)實驗的理解有特別的優(yōu)勢，在此過程中可以通過交互操作控制參數(shù)進(jìn)行動態(tài)模擬使得真實實驗過程進(jìn)行可視化模擬，這將使學(xué)生對一些物理概念有深刻的理解并對相應(yīng)的學(xué)科知識迅速建立起印象深刻的認(rèn)知體系。

Wolfram Mathematica語言提供了一種易于理解的編程語言，友好可控的界面以及強大的計算、繪圖和動畫功能，這也能使得學(xué)生也能很容易根據(jù)自己的意愿基于計算機的虛擬現(xiàn)實仿真進(jìn)行自我的生產(chǎn)和創(chuàng)造。從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，本文基于對于楊氏雙縫干涉的精確計算，使用Mathematica軟件實現(xiàn)了該實驗現(xiàn)象的仿真，呈現(xiàn)了干涉條紋隨各種參數(shù)變化的規(guī)律，并模擬了非單色光雙縫干涉圖樣，本文的結(jié)果可在大學(xué)物理教學(xué)中作為教學(xué)參考或用于教學(xué)輔助演示，并且對大學(xué)物理光學(xué)部分的教學(xué)形成有益補充。