量子電子的經(jīng)典軌道和黑洞熵的微觀起源

孫宇軒 曾定方

關(guān)鍵詞 平方反比力場(chǎng);奇異振蕩;量子現(xiàn)象的經(jīng)典對(duì)應(yīng);廣義相對(duì)論的牛頓對(duì)應(yīng)

1 物理源起

量子電子的經(jīng)典軌道和黑洞熵微觀起源的半經(jīng)典解讀是兩個(gè)典型的教科書水平物理問題，流行的觀點(diǎn)普遍認(rèn)為它們不可能有說(shuō)得通的答案，持這種觀點(diǎn)的教科書和參考文獻(xiàn)非常多。為避免打擊同行，我們?cè)诒疚闹胁粚?duì)這些文獻(xiàn)給出明顯的引用，而是將核心引文局限于作者本人的研究[1-6]，跟這些研究在特定問題上持類似看法的另外三篇論文[7-9]以及關(guān)于Einstein-Ritz爭(zhēng)論的一篇?dú)v史文獻(xiàn)和現(xiàn)代綜述[10，11]，當(dāng)然還有作為本文前傳的另一篇教學(xué)研究[12]。

對(duì)前者，人們認(rèn)為量子粒子根本就沒有軌道概念或者不允許軌道解讀，類似氫原子核外電子這樣的對(duì)象必須而且只能使用波函數(shù)和電子云圖像進(jìn)行描述。這種描述的必要性源于氫原子作為一個(gè)中性對(duì)象是穩(wěn)定的這一客觀事實(shí)，如果核外電子看作一個(gè)擁有軌道的經(jīng)典對(duì)象，其向心加速度必然導(dǎo)致持續(xù)的電磁輻射和能量損耗而墜入原子核中。因此，核外電子的經(jīng)典軌道圖像跟電動(dòng)力學(xué)的基本原理之間存在矛盾，避免矛盾的唯一出路是放棄軌道圖像，代之以波函數(shù)概念和電子云圖像。然而本文希望闡明的是，核外電子的量子波函數(shù)不僅允許軌道解讀，而且這些軌道還都是一些平方反比力驅(qū)動(dòng)的一維直線，是它們角度指向的不確定性導(dǎo)致了一個(gè)有效的三維圖像。

對(duì)后者，人們認(rèn)為將黑洞熵理解為其內(nèi)容物運(yùn)動(dòng)模式的多樣性明顯屬于在牛頓引力禁區(qū)內(nèi)開展的以牛頓引力為基礎(chǔ)的研究。譬如視界面內(nèi)部時(shí)空觀念的變化和牛頓引力定律的失效將使得，對(duì)黑洞內(nèi)容物在其中運(yùn)動(dòng)模式的探討完全就是一個(gè)毫無(wú)意義的無(wú)知行為。然而本文將指出的是，對(duì)黑洞內(nèi)容物的視界內(nèi)運(yùn)動(dòng)，廣義相對(duì)論和牛頓引力理論的運(yùn)動(dòng)方程數(shù)學(xué)形式完全相同，動(dòng)力學(xué)本質(zhì)都是平方反比力驅(qū)動(dòng)下的一維振蕩，二者唯一的差別在于物理解釋。

事實(shí)上，平方反比力驅(qū)動(dòng)的一維振蕩運(yùn)動(dòng)不僅是一個(gè)定義良好的數(shù)學(xué)問題，而且有普遍的物理適用場(chǎng)景。對(duì)理解類氫原子電子波函數(shù)的經(jīng)典軌道圖像和黑洞熵的微觀起源和其內(nèi)容物的經(jīng)典/半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)有非常重要的價(jià)值。因此在本文中，我們將拋棄將這個(gè)問題認(rèn)定為理論禁區(qū)的做法，從純經(jīng)典和非相對(duì)論角度細(xì)致地討論平方反比力驅(qū)動(dòng)下的一維振蕩運(yùn)動(dòng)及其量子力學(xué)和相對(duì)論解讀。論文的核心思想在研究論文[1-6]中已正式發(fā)表過，在此以中文形式二次發(fā)表的動(dòng)機(jī)主要是希望激發(fā)普通物理水平的教學(xué)研究討論以及面向物理學(xué)大同行的普及推廣。

2 數(shù)學(xué)內(nèi)核

在牛頓力學(xué)框架內(nèi)，當(dāng)考慮氫原子核外電子直線軌道運(yùn)動(dòng)或者自引力塌縮球體內(nèi)部跟球體同步的任意代表性球?qū)拥倪\(yùn)動(dòng)時(shí)，我們面對(duì)的本質(zhì)上是同一個(gè)問題，即平方反比力驅(qū)動(dòng)的檢驗(yàn)粒子一維運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。這個(gè)問題在數(shù)學(xué)上是良好定義的，即下述常微分方程求解問題

3 氫原子電子波函數(shù)的經(jīng)典軌道解讀

認(rèn)為原子核外電子的軌道模型不正確幾乎是量子力學(xué)中一個(gè)已成共識(shí)的結(jié)論，原因是繞核旋轉(zhuǎn)的電子會(huì)因?yàn)榧铀俣炔粸榱愣椛潆姶挪ǎ瑥亩鴮?dǎo)致軌道衰變及電子墜入原子核的災(zāi)難性后果，換句話說(shuō)，這種理論模型描述的原子無(wú)法維持穩(wěn)定。本文目的并非要推翻量子力學(xué)發(fā)展過程中人們已形成的共識(shí)，但并不回避對(duì)量子波函數(shù)允許經(jīng)典軌道描述這一觀點(diǎn)的批評(píng)，前提當(dāng)然是給出正確的軌道描述。

首先，我們指出，傳統(tǒng)上人們大力批評(píng)或認(rèn)為不可接受的那種軌道圖像包含一個(gè)重要錯(cuò)誤，即認(rèn)為那些軌道是以原子核為中心或焦點(diǎn)的一些圓或橢圓，這是一個(gè)極大錯(cuò)誤。量子波函數(shù)所描述核外電子的經(jīng)典軌道是一些通過核正電中心的直線而非圓或橢圓軌道，由于我們無(wú)法確定電子到底在哪條直線上振蕩，所以只能接受通過正電荷中心的每一條直線都可能。這意味著我們擁有一個(gè)由大量徑向軌道形成的軌道系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)的不同成員在角度方向被實(shí)現(xiàn)的概率差異對(duì)應(yīng)各種不同角動(dòng)量量子數(shù)的球諧函數(shù)Y_lmθ，? ，參考圖3。

對(duì)一個(gè)球狀正電荷原子核，控制Y_lmθ，? 函數(shù)形式的不是特定動(dòng)力學(xué)機(jī)制，而是一定程度上完全由測(cè)量者偏好設(shè)定或選擇的正交函數(shù)族。與此形成鮮明對(duì)比的是，核外電子的經(jīng)典軌道運(yùn)動(dòng)為平方反比力驅(qū)動(dòng)奇異振蕩的事實(shí)決定了波函數(shù)徑向因子的函數(shù)形式。由于在經(jīng)典直線軌道的兩端，電子的速度為零，因此它們?cè)谀抢锿Ａ舻臅r(shí)間相對(duì)在軌道中間的其他位置更長(zhǎng)。圖3中那些橢圓是我們?cè)跓o(wú)法確定這些電子到底沿哪條直徑運(yùn)動(dòng)情況下使用其速度為零因而出現(xiàn)概率最大的端點(diǎn)集合疊加角度方向不確定性之后形成的一個(gè)有效圖像。在量子描述中，這對(duì)應(yīng)波函數(shù)模方的極大值點(diǎn)。通過經(jīng)典軌道描述對(duì)量子波函數(shù)各種特征的復(fù)現(xiàn)，我們可以清楚地看到這一事實(shí)。

再次特別強(qiáng)調(diào)，這里的軌道是通過原子核中心的直線而非以原子核為焦點(diǎn)的橢圓，因此它們的軌道半徑實(shí)際上是直線兩端到中心的距離。

支持核外電子量子波函數(shù)所描述的經(jīng)典軌道應(yīng)該是一些通過原子核中心的直線而非以其正電荷中心為焦點(diǎn)的橢圓的最后一個(gè)簡(jiǎn)單到匪夷所思但幾乎從未被關(guān)注過的證據(jù)是，s-波電子的軌道角動(dòng)量等于零。如果跟這種波函數(shù)對(duì)應(yīng)的經(jīng)典軌道是以原子核的正電荷中心為圓心的一些圓，則電子的軌道角動(dòng)量不可能為零。有些讀者可能會(huì)說(shuō)，正像我們?cè)谶@里所說(shuō)的那樣，由波函數(shù)角動(dòng)量量子數(shù)s，p，d，f，…所量化的角動(dòng)量跟電子的經(jīng)典軌道運(yùn)動(dòng)沒有關(guān)系，而是量子電子在不同方向上被測(cè)量到的概率的差異。我們的回應(yīng)是，既然如此，為什么還要認(rèn)為量子波函數(shù)所描述電子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)軌道是一些以原子核正電荷中心為焦點(diǎn)的橢圓而不是通過原子核正電荷中心的直線呢？

4 跟經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的矛盾

接受氫原子核外電子的經(jīng)典軌道是一些通過原子核中心的直線而非以原子核為焦點(diǎn)的橢圓，我們就能避免電磁輻射導(dǎo)致的經(jīng)典軌道衰減和中性原子無(wú)法長(zhǎng)壽命存在疑難嗎？ 答案是，這個(gè)問題跟氫原子核外電子軌道的形狀沒有直接關(guān)系，而是跟另一件事情即經(jīng)典輻射的時(shí)間反演對(duì)稱性相關(guān)。這件事情最早以Ritz和Einstein辯論的形式出現(xiàn)[10，11]。Ritz認(rèn)為，加速粒子行為由輻射而非吸收主導(dǎo)不僅是一個(gè)客觀事實(shí)而且是一個(gè)基本物理學(xué)規(guī)律。Einstein最開始的觀點(diǎn)與此相反，認(rèn)為這種輻射壓倒吸收只是一種衍生/統(tǒng)計(jì)效果而非基本規(guī)律。但他后來(lái)改變了觀點(diǎn)，認(rèn)為也許存在某種基本的物理原因?qū)е铝溯椛涓盏牡匚徊粚?duì)等?？芍钡浇裉?，人們也并未在這個(gè)問題上達(dá)成共識(shí)并完全理解其中的物理原因。

我們的觀點(diǎn)是，做加速運(yùn)動(dòng)的電子，確實(shí)會(huì)輻射電磁波，可是它繞著轉(zhuǎn)的原子核完全可能把那些電磁波吸收掉并產(chǎn)生適當(dāng)反沖從而保持二者之間的平均相對(duì)距離不變，反過去也一樣。反映在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的基本定律中，這僅僅是D＇Alermbert方程同時(shí)允許推遲解和超前解的基本事實(shí)

第一項(xiàng)是推遲項(xiàng)，描述電磁波的輻射;第二項(xiàng)是超前項(xiàng)，描述電磁波的吸收。那種認(rèn)為核外電子會(huì)因?yàn)榧铀俣炔粸榱愣椛潆姶挪◤亩鴮?dǎo)致軌道不穩(wěn)定的論證忽略了附近原子核的吸收效應(yīng)。對(duì)一個(gè)中性原子，如果核外電子輻射的電磁波總是被中心的原子核吸收，則不管核外電子的軌道形狀是否直線，整個(gè)系統(tǒng)就可能總是穩(wěn)定的，衰變不是必然結(jié)論，參考圖4。

顯然，在一個(gè)加速運(yùn)動(dòng)的電子周圍，如果不存在探測(cè)器，則其輻射和吸收效應(yīng)完全可能互相抵消并呈現(xiàn)一種動(dòng)態(tài)平衡。這里的探測(cè)器泛指任何可能跟來(lái)自或奔向加速電子的電磁波相互作用的物理對(duì)象，譬如原子核。如果電子附近存在探測(cè)器，則僅當(dāng)探測(cè)器抓住了相對(duì)電子外行的電磁波或者探測(cè)到了附近真空中消失的奔向電子的電磁波時(shí)，我們才能說(shuō)電子發(fā)生了輻射或吸收。只有當(dāng)我們可以持續(xù)地探測(cè)到凈輻射或凈吸收時(shí)，才能說(shuō)原子是不穩(wěn)定的。

對(duì)一個(gè)中性原子，如果核外電子因?yàn)榧铀俣确橇愣椛涞碾姶挪ㄔ诤芏虝r(shí)間內(nèi)就被原子核吸收了，那么因?yàn)槲諏?dǎo)致的原子核反沖將使得核-電子間的平均距離保持為常數(shù)即整個(gè)系統(tǒng)保持穩(wěn)定。相反如果我們有一個(gè)微觀探測(cè)器，總是能夠在電磁波被原子核回收之前將電子發(fā)射的電磁波截胡，那么整個(gè)系統(tǒng)確實(shí)會(huì)因?yàn)槌掷m(xù)的電磁輻射而失穩(wěn)。

關(guān)于Einstein-Ritz爭(zhēng)論，一種廣泛流傳的看法認(rèn)為延遲解符合因果律而超前解則相反。我們不同意這種看法，理由非常簡(jiǎn)單，即QED 的作用量中不存在破壞時(shí)間反演對(duì)稱性的項(xiàng)，延遲解和超前解的物理地位是對(duì)等的。選擇延遲解描述輻射同時(shí)選擇超前解描述吸收是一種人為做法，我們完全也可以反過來(lái)做。這種選擇類似于對(duì)稱性自發(fā)破缺，基本理論的作用量擁有一種對(duì)稱性譬如U（1）旋轉(zhuǎn)不變性，但自然界選擇的真空是破壞旋轉(zhuǎn)不變性的。只不過在對(duì)輻射/吸收現(xiàn)象的描述中，描述者替代了選擇真空的上帝——自然界——的角色。但描述者畢竟只是描述者，不是被描述者。選用延遲解描述輻射并不是物理現(xiàn)實(shí)強(qiáng)制的唯一選擇，物理現(xiàn)實(shí)允許相反的描述方案。在QED中，導(dǎo)致紫外發(fā)散的電子自能修正圖就是一種典型的電子先發(fā)射再吸收光子過程，和紫外發(fā)散同樣重要的還有韌致輻射導(dǎo)致的紅外發(fā)散。紅外修正截面中的發(fā)散跟紫外修正振幅虛部中的發(fā)散在由光學(xué)定理決定的抵消效應(yīng)下保證了理論預(yù)言的有限性。在氫原子的情形，我們只是需要把氫核+電子作為一個(gè)束縛態(tài)整體，電子發(fā)射的電磁波可以被自己回收，也可以被氫核回收，總效果只是對(duì)氫原子自能的修正。如果我們有一架探測(cè)器能夠?qū)⒚恳粋€(gè)由電子發(fā)射但尚未被其自身或附近的氫核回收的光子抓住，則我們看到的不僅僅是電子軌道的不穩(wěn)定性，還有氫原子整體質(zhì)量或能量的尺度依賴性。

5 球?qū)ΨQ質(zhì)量殼層的自引力塌縮

但我們發(fā)現(xiàn)[1-4]，通過將一個(gè)球?qū)ΨQ黑洞分解成大量由其內(nèi)容物構(gòu)成的同心嵌套球?qū)樱瑢⒑诙次⒂^態(tài)看作全部嵌套球?qū)硬ê瘮?shù)的直積，球?qū)臃纸夥桨傅亩鄻有院徒o定分解方案下不同球?qū)硬ê瘮?shù)激發(fā)方式組合的多樣性會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)波函數(shù)的高度簡(jiǎn)并。當(dāng)將所有球?qū)訚M足的愛因斯坦場(chǎng)方程量子化之后，這兩個(gè)因素導(dǎo)致的多樣性將是離散而且可數(shù)的，計(jì)數(shù)結(jié)果恰好能夠給出跟貝肯斯坦-霍金熵相融的面積律公式。

我們的工作為黑洞熵的微觀起源提供了一種半經(jīng)典甚至基本的解釋。其唯一要求是，在視界內(nèi)部，黑洞內(nèi)容物并不是靜態(tài)地堆積在奇點(diǎn)上啥也不干或呈現(xiàn)為一個(gè)永恒奇點(diǎn)，而是在其中以“奇點(diǎn)”為中心做對(duì)穿振蕩或者以分層化視界面為邊界做無(wú)視每層視界面內(nèi)部空間存在性的對(duì)穿振蕩，參考圖5。這一要求跟奇點(diǎn)定理并不矛盾，因?yàn)榭s進(jìn)視界面的內(nèi)容物確實(shí)會(huì)在有限固有時(shí)間內(nèi)落到中心點(diǎn)上，只不過落到那里之后會(huì)繼續(xù)向?qū)敺较虬l(fā)散開去，從而令奇點(diǎn)變成了一個(gè)被黑洞內(nèi)容物周期性對(duì)穿的等時(shí)超曲面而不是背景空間中的一個(gè)點(diǎn)，這完全符合奇點(diǎn)定理中“奇點(diǎn)”概念的幾何本質(zhì)，參考圖6下部的彭羅斯-卡特圖表示[5，6]。

在本文中，我們并不準(zhǔn)備對(duì)上述波函數(shù)簡(jiǎn)并度的計(jì)數(shù)過程進(jìn)行完整介紹，而只選擇從表示黑洞內(nèi)容M_tot 的大量同心球?qū)又谐槌鲆粋€(gè)質(zhì)量為mi的代表作為研究對(duì)象，展示其一維經(jīng)典振蕩的本質(zhì)和量子化波函數(shù)描述方案。參考圖5，按基爾霍夫定律，我們所關(guān)注球?qū)觤_i的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)只受其本身及內(nèi)側(cè)其他球?qū)淤|(zhì)量之和M_i的影響。如果我們考慮的是一個(gè)空心球殼，即m_i =Mi 的情形，則球殼內(nèi)部時(shí)空是平坦的而外部由一個(gè)內(nèi)邊界半徑時(shí)間依賴的史瓦西度規(guī)描述。該球?qū)由先我怏w元的測(cè)地線方程都可以用來(lái)表征整個(gè)球?qū)影霃降难莼?/p>

在球?qū)颖粡囊暯缑嫱獠酷尫诺那闆r下，我們不需要將式（14）～式（16）中的積分參數(shù)γi 選為虛數(shù)，參考圖5右邊的部分，但球?qū)釉谕獠坑^察者有限遠(yuǎn)的未來(lái)落不到視界上，即塌縮會(huì)一直進(jìn)行，永遠(yuǎn)也完不成。但在將視界面上的點(diǎn)做了對(duì)徑點(diǎn)認(rèn)同之后，我們?cè)谙旅骜R上將討論的對(duì)穿振蕩會(huì)跨越視界面內(nèi)部的空間區(qū)域直接發(fā)生在視界面的東西兩半球之間。

6 從塌縮到振蕩只差一念

流行觀點(diǎn)雖然從未明確表示過，但實(shí)際上普遍認(rèn)為因式（14）～式（17）中r 的物理含義是徑向坐標(biāo)，其取值范圍只能是 0，∞ 。因此一個(gè)球?qū)硬还茉谒s到半徑為零時(shí)收縮速度多么大，它都必須立即停下來(lái)形成一個(gè)靜態(tài)、永恒的奇點(diǎn)或者給先前存在的奇點(diǎn)貢獻(xiàn)額外的質(zhì)量。這是一個(gè)錯(cuò)誤的認(rèn)知，這一認(rèn)知會(huì)導(dǎo)致對(duì)奇點(diǎn)定理的過度解讀，即把引力塌縮現(xiàn)象中內(nèi)容物會(huì)在縮進(jìn)視界面之后的有限固有時(shí)間內(nèi)落到中心點(diǎn)的結(jié)論過度外推到落到中心點(diǎn)就會(huì)停下來(lái)形成永恒奇點(diǎn)的說(shuō)法。實(shí)際上，雖然這些方程中r 的物理含義是徑向坐標(biāo)，但它的取值范圍是可以被設(shè)定為 -∞，∞ 的，唯一條件是同時(shí)讓負(fù)r 值所表示的那些空間點(diǎn)構(gòu)成對(duì)正r 值所表示空間點(diǎn)的二次覆蓋，嚴(yán)格對(duì)應(yīng)可寫作

一旦跨過了徑向坐標(biāo)負(fù)值擴(kuò)展和API解讀這一念之差，我們就可以把方程（17）跟方程（1）完全等同起來(lái)，從而發(fā)現(xiàn)球?qū)由先我恻c(diǎn)的徑向坐標(biāo)演化都是一個(gè)由周期性函數(shù)（5）所描述的奇異振蕩的事實(shí)。這顯然意味引力塌縮導(dǎo)致奇點(diǎn)形成并不是一樁一朝發(fā)生就萬(wàn)事皆休的一錘子買賣，而是一個(gè)反復(fù)地形成又瓦解的周期性現(xiàn)象。我們把這種現(xiàn)象稱作對(duì)穿振蕩，即當(dāng)球?qū)釉谒s到半徑為零的時(shí)刻之后，球?qū)由蠔|半球的點(diǎn)會(huì)跑到西半球，西半球的點(diǎn)會(huì)跑到東半球。當(dāng)考慮一個(gè)實(shí)心球體的自引力塌縮時(shí)，只需將整個(gè)球體看作大量同心嵌套的球?qū)?，我們就?huì)得到完全相似的結(jié)論。因此在經(jīng)典廣義相對(duì)論水平上，對(duì)穿振蕩實(shí)現(xiàn)了對(duì)黑洞中心奇點(diǎn)的消解，參考圖6下半部灰色粗多邊形區(qū)域內(nèi)的彭卡圖子圖。

在純經(jīng)典廣義相對(duì)論水平上，一個(gè)自引力球體確實(shí)是無(wú)法在外部觀察者的時(shí)間定義域內(nèi)縮進(jìn)由自己的質(zhì)量所定義的視界面內(nèi)部的。因此發(fā)生在視界面內(nèi)部的對(duì)穿振蕩實(shí)際發(fā)生在外部觀察者無(wú)窮遠(yuǎn)未來(lái)的未來(lái)[5，6]。不確定原理本質(zhì)是將這種無(wú)窮遠(yuǎn)未來(lái)的未來(lái)才可能發(fā)生的視界內(nèi)振蕩事件通過系統(tǒng)的思想放到了外部觀察者看得見的未來(lái)，即在這些觀察者面前設(shè)置一個(gè)由大量球殼構(gòu)成的系統(tǒng)，這些系統(tǒng)中不同的成員當(dāng)前時(shí)刻演化到什么階段未準(zhǔn)確限定，但其中有一些確實(shí)已經(jīng)落進(jìn)視界面內(nèi)并在那里振蕩，有一些還在處視界外并努力往里縮，當(dāng)然也有一些不僅尚在視界外，而且還在往外擴(kuò)張。在量子化之后，我們可以證明，那些已經(jīng)縮進(jìn)視界面的成員的數(shù)量恰好跟其視界面面積的指數(shù)化成正比。我們?cè)谘芯恐惺状我肓藬U(kuò)展的彭卡圖將這些成員的集合表示在類似圖6下部那樣的圖片中。

7 對(duì)穿振蕩模糊球

上述基于經(jīng)典廣義相對(duì)論和不確定原理給出的自引力球?qū)訉?duì)穿振蕩圖像幾乎已經(jīng)是其量子力學(xué)描述所能給出的全部，現(xiàn)在我們唯一需要補(bǔ)充的是寫出這種量子化描述的數(shù)學(xué)形式。為此我們?cè)诜匠蹋?7）的兩側(cè)同時(shí)乘以球殼質(zhì)量并將之改寫成哈密頓約束的形式

因此按照一個(gè)球?qū)蛹匆粋€(gè)集體運(yùn)動(dòng)模式提供一個(gè)比特熵的估算，全部球?qū)油耆梢蕴峁〣ekenstein-Hawking熵面積律公式所要求的那么多數(shù)量。在本系列中文物理教學(xué)/普及推廣論文的第一篇[12]中，我們已強(qiáng)調(diào)過這種集體運(yùn)動(dòng)模式質(zhì)量不等于黑洞內(nèi)容物原子/分子質(zhì)量這一事實(shí)對(duì)理解面積上律熵為何不特殊的重要價(jià)值。

由直積波函數(shù)式（27）所描述的對(duì)象雖然在經(jīng)典水平擁有視界，但是每個(gè)球?qū)釉谝暯缤獗粶y(cè)量到的概率都不為零，因此從測(cè)量的角度來(lái)看，將其稱作對(duì)穿振蕩模糊球更為恰當(dāng)。就我們所知，這是到目前為止，唯一既可寫出經(jīng)典度規(guī)又可以寫出量子波函數(shù)的模糊球黑洞。天文學(xué)上的黑洞是否由這種模型刻畫有可能通過對(duì)其陰影照片的高精度觀測(cè)和分析比對(duì)證實(shí)或證否，也有可能通過其雙體合并的引力波信號(hào)特征進(jìn)行識(shí)別。

8 結(jié)語(yǔ)

通過上面的介紹，我們希望讀者獲得的認(rèn)知如下：氫原子核外電子的量子波函數(shù)允許經(jīng)典軌道解讀，那些軌道是一些通過原子核正電荷中心的直線，其運(yùn)動(dòng)本質(zhì)是一些平方反比力驅(qū)動(dòng)的一維奇異振蕩，奇異并不是運(yùn)動(dòng)函數(shù)本身在特定點(diǎn)上的突變或者發(fā)散，而是其驅(qū)動(dòng)力場(chǎng)在中心點(diǎn)含有發(fā)散特征。由于角度方向的不確定性，我們無(wú)法確定電子到底在這些一維直線軌道的哪一條上運(yùn)動(dòng)，因此即便對(duì)一個(gè)電子，我們也需要引入一個(gè)由大量一維直線軌道組成的系統(tǒng)。系綜中每個(gè)成員即每條直線軌道的兩端都是電子被測(cè)到概率最大的位置，原因是電子在那里的速度為零因此停留的時(shí)間相對(duì)于軌道中間的其他位置更長(zhǎng)。系統(tǒng)中不同成員被實(shí)現(xiàn)概率的差異導(dǎo)致核外電子的波函數(shù)擁有不同的角向依賴性并表現(xiàn)為不同角動(dòng)量模式。

一個(gè)自引力塌縮球體，在純經(jīng)典廣義相對(duì)論水平上，視界和奇點(diǎn)的形成都只會(huì)發(fā)生在外部觀察者無(wú)窮遠(yuǎn)未來(lái)的未來(lái)，即他們的時(shí)間定義域之外。在這種意義上外部觀察者能夠觀察到的只是一個(gè)半徑無(wú)限接近于由星體質(zhì)量所定義視界半徑的凍星而無(wú)法觀察到帶有嚴(yán)格意義上視界和奇點(diǎn)的黑洞。

當(dāng)考慮不確定原理導(dǎo)致的量子漲落時(shí)，一個(gè)自引力塌縮球體可以在外部觀察者的有限時(shí)間未來(lái)形成視界從而呈現(xiàn)為一個(gè)黑洞。從經(jīng)典廣義相對(duì)論角度，這種黑洞只能看作一個(gè)由大量其內(nèi)容物塌縮到什么階段未被準(zhǔn)確限定的星體組成的系綜，系綜中每個(gè)成員的內(nèi)容物都在視界面內(nèi)做對(duì)穿振蕩，依賴于量子化波函數(shù)的邊界條件選擇，這種對(duì)穿可以系統(tǒng)中心為對(duì)穿點(diǎn)，也可以分層化視界面為邊界無(wú)視內(nèi)部體積直接進(jìn)行。所有成員的內(nèi)容物均可分解為大量同心球?qū)?，每個(gè)球?qū)拥倪\(yùn)動(dòng)都是一些平方反比力驅(qū)動(dòng)的對(duì)穿振蕩。量子化的結(jié)果表明，球?qū)臃纸夥桨负徒o定分解方案下不同球?qū)訉?duì)穿振蕩模式兩個(gè)要素多樣性的計(jì)數(shù)可以給出面積律特征的熵公式。量子化同時(shí)意味著通過引力塌縮形成的黑洞的視界面是模糊的，其內(nèi)容物在視界面外被測(cè)量到的幾率不為零會(huì)令其表現(xiàn)為一種模糊球類型的天文學(xué)對(duì)象，這種圖景是否符合事實(shí)有可能通過天文觀測(cè)證實(shí)或證否。

天文學(xué)上的黑洞都擁有非平庸的內(nèi)容物運(yùn)動(dòng)模式，但這些模式都發(fā)生在外部觀察者無(wú)窮遠(yuǎn)未來(lái)的未來(lái)，它們需要在統(tǒng)計(jì)系綜的水平上被理解和描述，史瓦西/克爾度規(guī)只描述它們被理想化的視界面外部的時(shí)空幾何。

開放評(píng)審意見

高思杰：作者對(duì)量子力學(xué)中電子軌道的傳統(tǒng)解釋及廣義相對(duì)論中自引力塌縮球體的描述提出挑戰(zhàn)，給出了新的解釋。論文視角新穎，想法大膽，但存在諸多值得商榷的問題。

關(guān)于氫原子波函數(shù)的經(jīng)典解釋，我認(rèn)為一個(gè)運(yùn)動(dòng)的波包在一定條件下是可以對(duì)應(yīng)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)軌道的，而通常的電子能級(jí)和波函數(shù)是薛定諤方程的定態(tài)解，當(dāng)然不對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典電子。作者認(rèn)為核外電子的波函數(shù)對(duì)應(yīng)經(jīng)典力學(xué)中通過核中心的直線軌道，我認(rèn)為該結(jié)論缺乏依據(jù)。作者并沒有從滿足薛定諤方程的解出發(fā)，通過分析波函數(shù)的經(jīng)典極限得到該結(jié)論，而是從不確定關(guān)系出發(fā)進(jìn)行不嚴(yán)格的論證。不確定關(guān)系在量子力學(xué)體系建立前是獨(dú)立存在的，但后來(lái)已成為量子力學(xué)的推論，因此完全可以由薛定諤方程進(jìn)行嚴(yán)格論證。作者認(rèn)為能級(jí)公式（11）中的普朗克常數(shù)趨于零就是經(jīng)典極限，從而得到能級(jí)可以趨于負(fù)無(wú)窮大。該結(jié)論顯然不成立，因?yàn)榉匠蹋?1）中的每個(gè)量都是確定的，因此能級(jí)是固定的，不存在普朗克常數(shù)取極限后發(fā)散的問題。通常的經(jīng)典極限，是普朗克常數(shù)與公式中出現(xiàn)的同量綱物理量相比很小時(shí)所做的近似，方程（11）不存在這種近似。

關(guān)于相對(duì)論中的自引力塌縮，作者的分析基于薛定諤方程（22）。但這只是定態(tài)薛定諤方程，如果想描述一個(gè)塌縮的動(dòng)態(tài)球殼，應(yīng)該由定態(tài)解的疊加構(gòu)成波包，分析其運(yùn)動(dòng)。而作者得出的對(duì)穿振蕩圖像顯然沒有計(jì)算波包的運(yùn)動(dòng)。另外文中對(duì)奇點(diǎn)概念的理解也與廣義相對(duì)論不同。作者認(rèn)為物質(zhì)可以穿過奇點(diǎn)做對(duì)穿振蕩，且這一圖像與奇點(diǎn)的概念不矛盾。事實(shí)上，經(jīng)典廣義相對(duì)論的奇點(diǎn)并不是時(shí)空中的點(diǎn)，它不屬于時(shí)空，或者說(shuō)是時(shí)空的終結(jié)。如果物質(zhì)可以穿過奇點(diǎn)，那么這個(gè)奇點(diǎn)就已經(jīng)不是傳統(tǒng)廣義相對(duì)論中的奇點(diǎn)了。

吳潔強(qiáng)：作者在氫原子和引力塌縮球體兩個(gè)系統(tǒng)中，基于平方反比力所驅(qū)動(dòng)的一維振蕩模型，討論了一系列有趣的問題。文章整體具有一定程度的啟發(fā)性和建設(shè)意義。

在氫原子中，作者試圖從半經(jīng)典角度對(duì)能譜、氫原子穩(wěn)定性等問題進(jìn)行闡釋。這種基于更樸素的觀點(diǎn)所進(jìn)行的討論當(dāng)然是非常有價(jià)值的。除去一維空間的點(diǎn)粒子，在任何其他稍微復(fù)雜一點(diǎn)的模型中，我都不知道一個(gè)系統(tǒng)地做半經(jīng)典近似的處理方法。因此，我認(rèn)為任何關(guān)于半經(jīng)典近似的任何討論都是有一定價(jià)值的。

具體到作者的討論，作者構(gòu)造了一個(gè)角動(dòng)量為零的經(jīng)典軌道，并進(jìn)一步論證出氫原子的能譜和半徑。我認(rèn)為，如果允許調(diào)整物理常數(shù)的取值，在合適的情況下，這個(gè)經(jīng)典軌道是可以有物理意義并理解為一個(gè)半經(jīng)典的波包的。而對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的物理常數(shù)，我并不確定這種近似是否合理，作者也許需要更仔細(xì)地考察并解釋這種近似處理的合理性。作者對(duì)比了這個(gè)角動(dòng)量為零的經(jīng)典軌道與傳統(tǒng)所討論的橢圓軌道。我認(rèn)為兩者并沒有孰優(yōu)孰劣之分，也許應(yīng)該理解為兩個(gè)不同的半經(jīng)典波函數(shù)。此外的另一個(gè)值得考慮的問題是有關(guān)能級(jí)的簡(jiǎn)并度。作者的分析的確得到了氫原子的能級(jí)（12）。但是，在完整的量子力學(xué)中，我們還可以得到每一個(gè)能級(jí)的簡(jiǎn)并度。如果作者的半經(jīng)典處理方法也能對(duì)簡(jiǎn)并度給出一定的討論將會(huì)是非常有趣的。

作者還試圖從半經(jīng)典的角度論證氫原子基態(tài)的穩(wěn)定性，其觀點(diǎn)是被發(fā)射出去的電磁波又重新被電子或原子核吸收了回來(lái)。這種想法是比較直觀和有趣的。但是，我的建議是，這里的所謂對(duì)電磁波的吸收是來(lái)自于量子力學(xué)波函數(shù)的疊加，而不是作者（13）式所寫的經(jīng)典電磁場(chǎng)格林函數(shù)的疊加。在傳統(tǒng)的觀點(diǎn)中，氫原子基態(tài)的穩(wěn)定性來(lái)自于量子化條件。如果以半經(jīng)典的圖像做類比，量子化條件指出，不是所有的經(jīng)典軌道都是被允許的，因此基態(tài)波函數(shù)沒辦法進(jìn)一步躍遷到能量更低的態(tài)。即使作者從新的角度進(jìn)行闡述，也應(yīng)該與傳統(tǒng)的觀點(diǎn)有一定的關(guān)系。我的建議是也許可以首先從疊加原理的角度理解量子化條件，再進(jìn)一步解釋為什么沒有電磁波輻射。關(guān)于利用疊加原理解釋量子化條件，我期待的圖像是，只有滿足量子化條件的經(jīng)典軌道才可以通過疊加原理的方式構(gòu)造波函數(shù);而不滿足量子化條件的軌道，經(jīng)過疊加后所構(gòu)造的波函數(shù)為零。而關(guān)于解釋沒有電磁波輻射，其論證也許也是類似的。作者也許可以對(duì)自己的觀點(diǎn)給出更具體的論證，或沿著這一方向進(jìn)行探索。

關(guān)于引力塌縮球體的討論，作者提出了奇點(diǎn)附近對(duì)徑點(diǎn)認(rèn)同的觀點(diǎn)，以及所謂對(duì)穿振蕩機(jī)制。這種觀點(diǎn)與傳統(tǒng)的黑洞物理有很大的不同，對(duì)此我沒有能力去評(píng)價(jià)。

而關(guān)于黑洞熵的討論，作者將黑洞理解成多層球殼，并嘗試?yán)们驓さ奈⒂^自由度解釋黑洞熵的起源。這種觀點(diǎn)是具有一定的啟發(fā)性的，作者也許可以做更多地深入探索。以我的理解，其中的核心也許是從微觀的角度的解釋黑洞熱力學(xué)第一定律dS =dE/T 。具體來(lái)說(shuō)，我們需要計(jì)算對(duì)于一個(gè)給定的黑洞，當(dāng)微觀自由度增加1比特時(shí)，能量的增量是多少。如果計(jì)算得到的能量增量恰好正比于黑洞溫度，那么得到的黑洞熵就會(huì)是所期待的面積率。類似的觀點(diǎn)也出現(xiàn)在Susskind的一些公開講座中。

致謝：本文最初的版本曾發(fā)送給南開大學(xué)趙柳老師和濟(jì)南大學(xué)張宏升閱讀，他們向作者反饋了寶貴意見，在此對(duì)他們表示誠(chéng)摯的感謝。

作者簡(jiǎn)介

姓名：孫宇軒，男，北京工業(yè)大學(xué)2019級(jí)碩士生，在雙星動(dòng)力學(xué)的現(xiàn)代場(chǎng)論方法領(lǐng)域技術(shù)嫻熟、概念清晰，擁有深厚的能力基礎(chǔ)和知識(shí)積累。雖未參與本文所牽涉的研究工作，但確是第二作者最優(yōu)秀的學(xué)生和論文內(nèi)容的傾聽者之一。

姓名：曾定方，男，北京工業(yè)大學(xué)副教授，主要研究方向：String Theoy and M-theory，物理教育。

在本文中的貢獻(xiàn)：是本文主要內(nèi)容的貢獻(xiàn)者和latex文檔的撰寫者。

評(píng)審人簡(jiǎn)介

高思杰，男，北京師范物理系教授，研究方向?yàn)榻?jīng)典廣義相對(duì)論，黑洞的經(jīng)典及熱力學(xué)性質(zhì)，主講量子力學(xué)和引力理論專題課程多年。

吳潔強(qiáng)，男，中國(guó)科學(xué)院理論物理研究所副研究員，近年來(lái)研究方向?yàn)榱孔右秃诙次锢怼?/p>