課程思政的教學(xué)探索

江婧

摘?要：微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其中微分中值定理和定積分中值定理是微積分學(xué)的兩個(gè)重要定理，它們用不同的方法研究函數(shù)的性質(zhì)。本文通過研究微積分中值定理的關(guān)系，幫助學(xué)生理解微分與積分的思想，掌握兩個(gè)定理的含義；通過本課程的學(xué)習(xí)幫助培養(yǎng)學(xué)生的思維和能力，培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)主義情懷，使學(xué)生樹立正確的人生觀和價(jià)值觀。

關(guān)鍵詞：微分中值定理；定積分中值定理；牛頓—萊布尼茨公式；課程思政

中圖分類號(hào)：G4?????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.08.076

1?高等數(shù)學(xué)課程思政的實(shí)施背景

習(xí)近平總書記在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議中指出，要堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國(guó)高等教育事業(yè)發(fā)展新局面。高等教育作為社會(huì)發(fā)展進(jìn)步的重要依靠和重要源泉，應(yīng)該將思想政治教育深入各個(gè)環(huán)節(jié)，使思想政治課程和專業(yè)課程通向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，為社會(huì)培養(yǎng)有用之才。

高等數(shù)學(xué)作為這理工類大學(xué)生的必修課程，存在教學(xué)時(shí)數(shù)長(zhǎng)、內(nèi)容高度抽象、知識(shí)體量大等特點(diǎn)。長(zhǎng)期以來的傳統(tǒng)教學(xué)模式使大部分老師在講授知識(shí)時(shí)只重視理論知識(shí)的講解，并沒有將理論知識(shí)與實(shí)際問題緊密結(jié)合起來，使課堂教學(xué)既沒有新意又沒有活力。而將思想政治教育融入大學(xué)課程的思想啟蒙得較晚，大部分老師將思想政治課程和專業(yè)課程看成完全獨(dú)立的兩門課程的思想已根深蒂固，使得要將思想政治教育融入專業(yè)課程難度較大。

思想政治教育如何融入專業(yè)課程？怎樣融入？是當(dāng)今的大學(xué)課程應(yīng)該思考的問題。對(duì)于高等數(shù)學(xué)這門課程來說，我們應(yīng)該看到其中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)文化、唯物主義和自然辯證法的思想。數(shù)學(xué)課程不應(yīng)只講授復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和定理證明，應(yīng)該發(fā)掘每個(gè)知識(shí)點(diǎn)背后的課程思政元素，針對(duì)不同的知識(shí)點(diǎn)尋找可以融入思政元素的契合點(diǎn)，讓數(shù)學(xué)課程不再枯燥死板。作為基礎(chǔ)課程也可以豐富精彩，發(fā)揮教師在教書過程中育人的工作，真正做到“立德樹人”的根本任務(wù)。

2?微積分中值定理與定積分中值定理關(guān)系的教學(xué)設(shè)計(jì)

微分和積分作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，以極限思想為基礎(chǔ)，以研究函數(shù)為目標(biāo)。本文以微分中值定理與定積分中值定理的關(guān)系為例，探索如何將課程思政元素融入課程教學(xué)中，做到將思政教育導(dǎo)向與專業(yè)知識(shí)技能相融合。

微分中值定理和定積分中值定理是微積分的兩個(gè)基礎(chǔ)定理，由于兩個(gè)定理涉及不同章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生容易將兩個(gè)定理產(chǎn)生混淆。因此理解兩個(gè)定理并掌握兩個(gè)定理的關(guān)系，首先需要引導(dǎo)學(xué)生回憶兩個(gè)定理及相關(guān)的概念。

（微分中值定理）如果函數(shù)F（x）滿足在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使

F（b）－F（a）=F′（ξ）（b－a）.

（定積分中值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使

∫baf（x）dx=f（ξ）（b－a）.

（牛頓-萊布尼茨公式）如果函數(shù)F（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上的一個(gè)原函數(shù)，那么

∫baf（x）dx=F（b）－F（a）.

（積分上限函數(shù)的性質(zhì)）如果函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上連續(xù)，那么積分上限函數(shù)

Φ（x）=∫xaf（t）dt

在a，b上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)

Φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）?（a≤x≤b）.

（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上連續(xù)，那么函數(shù)

Φ（x）=∫xaf（t）dt

是f（x）在區(qū)間a，b上的一個(gè)原函數(shù)。

高等數(shù)學(xué)作為微積分學(xué)和幾何學(xué)交叉內(nèi)容形成的一門學(xué)科，幾何學(xué)思想是研究微積分學(xué)的常用方法，因此針對(duì)抽象函數(shù)可以采用數(shù)形結(jié)合的思想研究。首先引導(dǎo)學(xué)生分析兩個(gè)公式的幾何意義，從幾何學(xué)的角度區(qū)分兩個(gè)定理。

微分中值定理公式通過變形可得F′（ξ）=F（b）－F（a）b－a.由函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)定義的幾何意義可知上述公式表示在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得函數(shù)F（x）在ξ點(diǎn)處切線的斜率F′（ξ）一定等于連接（a，F(xiàn)（a））、（b，F(xiàn)（b））兩點(diǎn)的弦的斜率。

積分中值定理公式通過變形可得f（ξ）=∫baf（x）dxb－a.由定積分的幾何意義知∫baf（x）dx表示以b－a為底邊長(zhǎng)，f（x）為曲邊的曲邊梯形的面積。因此上述公式表示在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）一定等于曲邊梯形的平均高度。

兩個(gè)公式在幾何上都是非常直觀的：一個(gè)公式表示兩點(diǎn)弦的斜率，另一個(gè)公式表示曲邊梯形的平均高度，通過幾何分析可以幫助學(xué)生記憶兩個(gè)定理的結(jié)論。但兩個(gè)定理的關(guān)系沒有通過幾何圖形展現(xiàn)出來。

高等數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性非常強(qiáng)的學(xué)科，在直接分析不可行的前提下，接下來可引導(dǎo)學(xué)生將定理代入實(shí)際問題來考慮。

假設(shè)某物體做直線運(yùn)動(dòng)，速度f=f（x）是時(shí)間間隔a，b上的連續(xù)函數(shù)，x時(shí)刻物體所在位置為F（x），速度為f（x）且f（x）0，求物體在a到b時(shí)間內(nèi)的平均速度.

首先提問學(xué)生：在學(xué)習(xí)了定積分后，變速直線運(yùn)動(dòng)的總路程有幾種表示方式？通過定積分的學(xué)習(xí)可知，總路程有兩種表示方式，因此，此問題有兩種求解方法。

解法一：由于物體在某一時(shí)間段的平均速度=總路程/總時(shí)間，并且假設(shè)物體在a到b時(shí)間內(nèi)的速度總是非負(fù)，F(xiàn)（b）－F（a）可表示物體走過的總路程，此時(shí)F（b）－F（a）b－a表示物體在a到b時(shí)間內(nèi)的平均速度。

解法二：由于f（x）表示物體在x時(shí)刻的速度，由定積分的定義，物體在a到b時(shí)間內(nèi)走過的總路程可用∫baf（x）dx表示，此時(shí)∫baf（x）dxb－a表示物體在a到b時(shí)間內(nèi)的平均速度。

通過將公式代入實(shí)際問題發(fā)現(xiàn)用微分中值定理和定積分中值定理的公式都可以表示物體在a到b時(shí)間內(nèi)平均速度，即在一定條件下，兩個(gè)定理的公式是可以互相推導(dǎo)的。

但變速直線運(yùn)動(dòng)問題讓我們看到一個(gè)前提：兩個(gè)定理結(jié)論在f（x）是a，b上的連續(xù)函數(shù)的前提下才具有等價(jià)性，不能忽略此前提直接得出結(jié)論，需要我們對(duì)兩個(gè)定理的條件進(jìn)行分析。

微分中值定理?xiàng)l件：函數(shù)F（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。

定積分中值定理?xiàng)l件：函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)。

由上述實(shí)際問題可知，將微分中值定理中的函數(shù)F（x）看成定積分中值定理中函數(shù)f（x）的原函數(shù)時(shí)，兩個(gè)定理的結(jié)論才可能互相推導(dǎo)，且定積分中值定理的條件要強(qiáng)于微分中值定理的條件。

因此得出兩個(gè)定理?xiàng)l件之間的關(guān)系：定積分中值定理?xiàng)l件可推出微分中值定理?xiàng)l件，但反之不成立。

為了回顧原函數(shù)存在定理和積分上限函數(shù)的性質(zhì)，加深對(duì)定理?xiàng)l件的掌握，可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩定理的條件進(jìn)行簡(jiǎn)單的推導(dǎo)證明。

證：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，由原函數(shù)存在定理，f（x）在區(qū)間a，b上的原函數(shù)一定存在，記為F（x），且設(shè)在區(qū)間a，b上F（x）=∫xaf（t）dt.由原函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)F（x）在閉區(qū)間a，b上可導(dǎo)，再由一元函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，函數(shù)F（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；因此函數(shù)F（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo).故可推出微分中值定理的條件。

在搞清楚兩個(gè)定理?xiàng)l件之間的關(guān)系后，便可得到兩個(gè)定理之間的關(guān)系。即加強(qiáng)微分中值定理?xiàng)l件：F′（x）在a，b上連續(xù)。此時(shí)微分中值定理和定積分中值定理的結(jié)論可以互相推導(dǎo)。此時(shí)定積分中值定理可以理解成微分中值定理的積分表達(dá)形式，若F（x）是f（x）在a，b上的一個(gè)原函數(shù)，兩個(gè)定理的關(guān)系如下圖1所示。

微積分中值定理和定積分中值定理作為微積分學(xué)的重要定理，以微分和積分的思想研究函數(shù)。由于微積分思想在初高中很少接觸，對(duì)初學(xué)者來說掌握起來有一定難度，若只對(duì)兩個(gè)定理的關(guān)系進(jìn)行理論推導(dǎo)，難度性較高、理論性太強(qiáng)。因此本課程引導(dǎo)學(xué)生建立不同學(xué)科的聯(lián)系、將定理結(jié)論與實(shí)際問題相結(jié)合，發(fā)掘定理的初衷、價(jià)值和意義，將思想政治工作貫穿整個(gè)教學(xué)過程。

3?微積分中值定理所蘊(yùn)含的思政元素

（1）理論聯(lián)系實(shí)際的知行觀。由于定理具有高度抽象性，對(duì)于初學(xué)微積分的學(xué)生來說，記憶和使用兩個(gè)定理并不困難，但將兩個(gè)定理聯(lián)系起來，加以理解和區(qū)分，真正做到融會(huì)貫通卻并非易事。因此，在教學(xué)過程中，應(yīng)采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想，將兩個(gè)定理所得公式在幾何圖形中表示，化抽象為具體，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握兩個(gè)定理的幾何含義，從而提高學(xué)習(xí)效率。在教學(xué)環(huán)節(jié)，要避免學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的死記硬背，這是因?yàn)楫?dāng)記憶變成一種學(xué)習(xí)任務(wù)，定理本身的價(jià)值和意義就會(huì)被弱化和忽視，從而影響學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，進(jìn)而降低學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，要注重運(yùn)用現(xiàn)實(shí)案例和公式定理相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的知行觀，采用應(yīng)用實(shí)例——變速直線運(yùn)動(dòng)問題，并輔以表達(dá)物體平均速度的兩種方式，從而得到在一定假設(shè)條件下兩個(gè)定理等價(jià)的結(jié)論。

（2）謙虛嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。變速直線運(yùn)動(dòng)問題，能夠較好地化抽象為具體，引導(dǎo)學(xué)生自行推導(dǎo)得出定理等價(jià)的結(jié)論。但在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，這種推導(dǎo)容易忽略兩個(gè)定理假設(shè)條件不同的前提。因此，通過實(shí)際問題研究定理等價(jià)的前置條件，可以有目的地培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的求學(xué)態(tài)度。謙虛嚴(yán)謹(jǐn)，作為中華民族的優(yōu)良品質(zhì)，不僅對(duì)當(dāng)下大學(xué)學(xué)習(xí)生涯大有裨益，更能在今后的生活中讓人受益終生。高校課堂，作為素質(zhì)教育的主陣地，就是要通過學(xué)生的品格塑造，促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，營(yíng)造健康和諧的學(xué)習(xí)氛圍，為黨育人，為國(guó)育才。

（3）獨(dú)立創(chuàng)新的思考能力。專業(yè)發(fā)展史是課程思政的重要組成部分。牛頓和萊布尼茨作為微積分學(xué)的奠基人，為微積分的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)。牛頓在解決如何根據(jù)物體的速度求解物體的位移這一問題時(shí)，在工作總結(jié)《流數(shù)簡(jiǎn)論》中提出了微積分基本定理。而萊布尼茨是在研究巴羅的“微分三角形”時(shí)，在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理?？v觀微積分的發(fā)展史，我們知道，科技創(chuàng)新和學(xué)術(shù)發(fā)展離不開獨(dú)立思考。因此，在素質(zhì)教育中，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維和創(chuàng)新思考能力尤為重要。正如習(xí)近平總書記在二十大報(bào)告中指出，必須堅(jiān)持創(chuàng)新是第一動(dòng)力，深入實(shí)施科教興國(guó)戰(zhàn)略、人才強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道，不斷塑造發(fā)展新動(dòng)能新優(yōu)勢(shì)。遇到問題我們不要拿別人的方案生搬硬套，應(yīng)該善于思考，提出自己的解決方案，只有這樣我們才能在日益復(fù)雜的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境中掌握核心競(jìng)爭(zhēng)力，發(fā)揮出自己的優(yōu)勢(shì)。

（4）自信自強(qiáng)的文化認(rèn)同。早在古代中國(guó)，積分學(xué)思想就已經(jīng)萌芽。三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明了“割圓術(shù)”，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”本質(zhì)上是對(duì)極限思想的透徹闡述；南朝數(shù)學(xué)家祖暅提出“冪勢(shì)即同，則積不容異”和“出入互補(bǔ)原理”，比西方提出的“卡列瓦里原理”早1100多年。劉徽和祖暅，他們?yōu)橹袊?guó)數(shù)學(xué)史作出了極大的貢獻(xiàn)，為中國(guó)留下了寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。傳統(tǒng)文化，一直是課程思政的重要構(gòu)成，更是二十大報(bào)告提出建設(shè)“文化自信自強(qiáng)”的重要組成部分。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，要注重通過弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，通過講述優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化故事，樹立學(xué)生的民族自豪感，增強(qiáng)文化自信。

4?結(jié)束語

本文在了解高等數(shù)學(xué)課程思政實(shí)施背景的前提下，以微分中值定理與定積分中值定理的關(guān)系為例，挖掘課程思政融入專業(yè)課程的切入點(diǎn)，將政治認(rèn)同、文化自信、人格養(yǎng)成等思想政治教育導(dǎo)向與專業(yè)課程固有的知識(shí)、技能傳授有機(jī)融合起來，實(shí)現(xiàn)顯性教育與隱性教育的有機(jī)結(jié)合，使高等數(shù)學(xué)課程與思想政治理論課同向同行，實(shí)現(xiàn)協(xié)同育人的目的。通過本課程的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生理解掌握兩個(gè)定理的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生樹立正確的人生觀、思想觀和價(jià)值觀，弘揚(yáng)和創(chuàng)新中國(guó)的傳統(tǒng)文化，促進(jìn)學(xué)生的自由全面發(fā)展，充分發(fā)揮教育教書育人的作用。

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