探討離散型隨機變量的兩種“分布”

■河南省商丘市第一高級中學(xué) 王 威

離散型隨機變量及其分布是高中數(shù)學(xué)的重要知識,上承必修課程中的概率內(nèi)容,以排列組合為工具進(jìn)行分析與運算,該部分內(nèi)容是發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的良好素材。教材中對離散型隨機變量,主要研究其分布列及數(shù)字特征,并對二項分布和超幾何分布進(jìn)行重點研究。通過用隨機變量描述和分析隨機試驗,讓同學(xué)們學(xué)會解決一些簡單的實際問題,進(jìn)一步體會概率模型的作用及概率思想和方法的特點。下面著重探討二項分布和超幾何分布的相關(guān)知識。

一、n 重伯努利試驗

1.n重伯努利試驗:將一個伯努利試驗獨立重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗。

2.n重伯努利試驗的共同特征:

(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次;

(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立。

二、二項分布

1.二項分布:一般地,在n重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為p)n-k,k=0,1,2,…,n。

如果隨機變量X的分布列具有上述的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作X～B(n,p)。

注意兩點:

(1)由二項式定理可知,二項分布的所有概率之和為1;

(2)由兩點分布與二項分布的關(guān)系知,兩點分布是只進(jìn)行一次的二項分布。

2.有關(guān)二項分布的實際應(yīng)用類問題的求解步驟。

(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機變量;

(2)分析隨機變量服從二項分布;

(3)求出參數(shù)n和p的值;

(4)根據(jù)二項分布的均值、方差的計算公式求解。

解決此類問題首先要判斷隨機變量X是否服從二項分布,若服從二項分布,方可代入相應(yīng)的公式求解。若隨機變量不服從二項分布,看能否找出與之相關(guān)聯(lián)的、并且服從二項分布的另一個隨機變量,進(jìn)而求解。

3.二項分布的均值與方差。

(1)若X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p)。

(2)若X～B(n,p),則E(X)=np,

D(x)=np(1-p)。

三、超幾何分布

1.超幾何分布:一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品,從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=

其中,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}。

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布。

(1)在超幾何分布的模型中,“任取n件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件,連續(xù)取件”。

(2)超幾何分布的特點:①不放回抽樣;②考察對象分兩類;③實質(zhì)是古典概型。

2.超幾何分布的分布列。

求超幾何分布的分布列的步驟:

(1)驗證隨機變量服從超幾何分布,并確定N,M,n的值;

(2)根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時對應(yīng)的概率;

(3)寫出分布列。

四、二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系

由伯努利試驗得出二項分布,由古典概型得出超幾何分布,這兩個分布的區(qū)別與聯(lián)系如下。

(1)若采取有放回抽樣,則隨機變量服從二項分布;若采用不放回抽樣,則隨機變量服從超幾何分布。

(2)二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律,并且二者的均值相同,但超幾何分布的方差較小,說明超幾何分布中隨機變量的取值更集中在均值附近。

(3)對于不放回抽樣,當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時,每抽取一次后,對N的影響很小,此時,超幾何分布可以用二項分布近似代替。

考點一 二項分布

例1若隨機變量,則E(2X+1)=( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：因為,所以E(X)=2,E(2X+1)=2E(X)+1=5。

選D。

考點二 超幾何分布

例2現(xiàn)對某高校64名籃球運動員在多次訓(xùn)練比賽中的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計,將每位運動員的平均成績所得數(shù)據(jù)用頻率分布直方圖表示,如圖1。(如:落在區(qū)間[10,15)內(nèi)的頻率/組距為0.012 5)規(guī)定分?jǐn)?shù)在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的運動員分別為三級籃球運動員、二級籃球運動員、一級籃球運動員,現(xiàn)從這批籃球運動員中利用分層抽樣的方法選出16 名運動員作為該校的籃球運動員代表。

圖1

(1)求a的值和選出籃球運動員代表中一級運動員的人數(shù);

(2)若從該?；@球運動員代表中一次選出3人,求其中含有一級運動員人數(shù)X的分布列;

(3)若從該校籃球運動員代表中有放回地選3人,求其中含有一級運動員人數(shù)Y的期望。

解析：(1)由頻率分布直方圖知,(0.062 5+0.050 0+0.037 5+a+2×0.012 5)×5=1,解得a=0.025 0。

其中選出的籃球運動員代表為一級運動員的概率為(0.012 5+0.037 5)×5=0.25,故選出籃球運動員代表中一級運動員有0.25×16=4(人)。

(2)由已知可得X的可能取值分別為0,1,2,3。

X的分布列如表1。

表1

考點三 二項分布與超幾何分布綜合運用

例3春節(jié)期間,某大型商場舉辦有獎促銷活動,消費每超過600 元(含600 元)均可抽獎一次,抽獎方案有兩種,顧客只能選擇其中的一種。方案一:從裝有10 個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球2 個,白球1個,黑球7個)的抽獎盒中,一次性摸出3 個球,其中獎規(guī)則為,若摸到2個紅球和1個白球,享受免單優(yōu)惠;若摸出2個紅球和1個黑球,則享受5折優(yōu)惠;若摸出1個白球和2個黑球,則享受7折優(yōu)惠;其余情況不打折。

方案二:從裝有10 個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3 個,黑球7 個)的抽獎盒中,有放回地每次摸取1 個球,連摸3 次,每摸到1次紅球,立減200元。

(1)若兩個顧客均分別消費了600元,且均選擇抽獎方案一,試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率;

(2)若某顧客消費恰好滿1 000元,試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算。

解析：(1)設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件A,則

(2)若選擇方案一,設(shè)付款金額為X元,則X可能的取值為0,500,700,1 000。

X的分布列如表2。

表2

若選擇方案二,設(shè)摸到紅球的個數(shù)為Y,付款金額為Z,則Z=1 000-200Y。

所以E(Z)=E(1 000-200Y)=1 000-200E(Y)=820(元)。

因為E(X)＞E(Z),所以該顧客選擇第二種抽獎方案更合算。