基于跳躍-擴(kuò)散過程的股票期權(quán)定價(jià)分析

楊德林 馬梓鈞 唐之祺 張余萍

摘? 要：該文研究股票價(jià)格服從跳躍-擴(kuò)散過程時(shí)的股票期權(quán)定價(jià)問題。金融市場的不斷發(fā)展涌現(xiàn)出眾多的金融理財(cái)產(chǎn)品，傳統(tǒng)股票期權(quán)定價(jià)模型難以合理描述突發(fā)性的股票價(jià)格變動(dòng)，而在實(shí)際情況中股票價(jià)格因受國際局勢、地區(qū)政策以及突發(fā)問題等影響會(huì)急劇性上漲或下跌，因此傳統(tǒng)股票期權(quán)定價(jià)模型對(duì)于實(shí)際金融市場缺乏一定的適用性?；诖?，該文通過股票價(jià)格的跳躍-擴(kuò)散過程，利用鞅方法將股票定價(jià)問題轉(zhuǎn)化為期望求解問題，推導(dǎo)出股票價(jià)格行為服從跳躍-擴(kuò)散過程的期權(quán)定價(jià)公式。

關(guān)鍵詞：股票期權(quán)定價(jià)? 跳躍-擴(kuò)散過程? 隨機(jī)微分方程? 計(jì)數(shù)過程

中圖分類號(hào)：F830;F224? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract： This paper studies stock option pricing when the stock price is subject to the jump-diffusion process. With the continuous development of the financial market， a large number of financial products have emerged， the traditional stock option pricing model is difficult to reasonably describe the sudden changes in stock prices， and in the actual situation， the stock price will rise or fall sharply due to the influences of international situation， regional policies and unexpected problems， so the traditional stock option pricing model lacks certain applicability to the actual financial market. Based on this， through the jump-diffusion process? of stock prices， this paper uses the martingale method to transform the stock pricing problem into the expectation solution problem， and derives the option pricing formula that the stock price behavior is subject to the jump-diffusion process.

Key Words： Stock option pricing; Jump-diffusion process; Stochastic differential equation; Counting process

1973年Fischer Black和Myron Scholes [1]共同發(fā)表的研究結(jié)果，提出符合金融市場規(guī)律的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，該模型一經(jīng)提出便引起證券交易商的廣泛關(guān)注，被用于計(jì)算金融衍生品（期權(quán)）的價(jià)值，并給出了相應(yīng)的看漲期權(quán)定價(jià)公式，指出美式看漲期權(quán)與歐式看漲期權(quán)二者的價(jià)值是相同的，而對(duì)于歐式看跌期權(quán)則僅需對(duì)公式做簡單修改。在Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型發(fā)表之后，根據(jù)這一模型用于計(jì)算期權(quán)價(jià)值的計(jì)算器被從事期權(quán)交易工作的經(jīng)紀(jì)人廣泛使用，以此對(duì)交易進(jìn)行估價(jià)，這使得期權(quán)交易更富效率，一定程度上促進(jìn)了金融市場的發(fā)展。先進(jìn)的技術(shù)以及新的金融工具的產(chǎn)生，加強(qiáng)了投資者與金融市場之間的聯(lián)系，越來越多的投資者參與到市場中來，促使市場向多元化、全球化方向發(fā)展，因而金融市場的發(fā)展受到多方面因素的影響。

傳統(tǒng)金融資產(chǎn)收益和股票價(jià)格模型服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，然而在實(shí)際的金融市場中，通過觀察股票價(jià)格行為過程發(fā)現(xiàn)：除了股票因正常交易所引起的股價(jià)小幅度變化外，在受到國際局勢、地區(qū)政策以及突發(fā)問題等重大因素影響時(shí)，股票價(jià)格會(huì)在局部表現(xiàn)出急劇性上漲或下跌。為了更好地描述股票價(jià)格行為過程，Robert C. Merton[2]對(duì)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型做出進(jìn)一步完善，建立起基于跳躍-擴(kuò)散過程的股票期權(quán)定價(jià)模型。近些年，隨著金融市場的不斷發(fā)展，出現(xiàn)了許多新型的金融衍生品，期權(quán)作為一種衍生性金融工具，其理論研究的重點(diǎn)是如何確定復(fù)雜因素影響的期權(quán)價(jià)值，然而傳統(tǒng)的股票期權(quán)定價(jià)模型對(duì)當(dāng)下的金融市場缺乏一定的適用性，考慮到幾何布朗運(yùn)動(dòng)難以合理描述股票價(jià)格行為，假定股票價(jià)格行為服從跳躍-擴(kuò)散過程，用于描述股票價(jià)格的急劇變化，這一思想在股票期權(quán)定價(jià)問題中得以廣泛應(yīng)用。梁紅楓等[3]研究了考慮重大信息對(duì)股票價(jià)格行為過程影響的隨機(jī)微分方程

其中，股票價(jià)格沒有發(fā)生跳躍時(shí)，股票收益率的方差，。在風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下推導(dǎo)出歐式期權(quán)定價(jià)公式。對(duì)于幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型的缺陷，趙萍萍[7]和余湄等[8]分別利用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型和混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來加以解決。對(duì)于更為復(fù)雜的期權(quán)定價(jià)問題，楊文昇[9]利用連續(xù)時(shí)間馬氏鏈近似方法，得到期權(quán)定價(jià)的近似解析公式。雷子琦和周清[10] 利用不確定理論對(duì)期權(quán)定價(jià)展開研究，假設(shè)股票價(jià)格滿足Caputo型的不確定分?jǐn)?shù)階微分方程，且隨機(jī)利率滿足隨機(jī)微分方程，得出蝶式期權(quán)和歐式價(jià)差期權(quán)的定價(jià)公式。在期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域，影響期權(quán)價(jià)格的因素也是學(xué)者研究的對(duì)象，自Black-Scholes模型提出以來，波動(dòng)率和利率的相關(guān)問題一直被學(xué)者探討[11]。得益于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，在討論波動(dòng)率問題時(shí)，利用計(jì)算機(jī)重建局部波動(dòng)率函數(shù)，該函數(shù)提供了理論和市場期權(quán)價(jià)格之間的最佳擬合，準(zhǔn)確地反映了真實(shí)的市場波動(dòng)性[12]。

該文假定股票價(jià)格服從跳躍-擴(kuò)散過程，通過可描述股票價(jià)格行為過程的隨機(jī)微分方程，對(duì)股票價(jià)格行為展開分析，通過求解方程得出股票期權(quán)定價(jià)公式。

1 預(yù)備知識(shí)

若有一只股票表現(xiàn)出如下趨勢：即在某一個(gè)時(shí)間段趨于上漲（下跌），則在此之后該股票往往會(huì)出現(xiàn)下跌（上漲）的趨勢。這也從側(cè)面反應(yīng)出股票價(jià)格的變化是難以預(yù)測的，而在實(shí)際的股票市場中，股票價(jià)格很少表現(xiàn)出回歸均值行為，股票價(jià)格的變化往往是隨機(jī)的，通常在考慮這種變化時(shí)將其與時(shí)間聯(lián)系起來。股票價(jià)格的變化是一個(gè)時(shí)間連續(xù)、狀態(tài)離散的過程，在研究離散隨機(jī)過程時(shí)，計(jì)數(shù)過程在可靠性工程得到廣泛運(yùn)用，其中泊松過程是最重要的計(jì)數(shù)過程之一，對(duì)此做如下定義。

2 結(jié)語

傳統(tǒng)的股票期權(quán)定價(jià)模型難以較好地描述重大信息對(duì)于股票價(jià)格的影響以及突發(fā)性的股價(jià)變動(dòng)。不僅如此，金融市場的發(fā)展也使得傳統(tǒng)股票期權(quán)定價(jià)模型缺少一定的適用性，而將股票價(jià)格行為過程與跳躍-擴(kuò)散過程相結(jié)合在一定程度上彌補(bǔ)了這一缺點(diǎn)，不僅保留了傳統(tǒng)模型中股票價(jià)格變化規(guī)律服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，還考慮到局部突發(fā)性的股價(jià)大幅度變化出現(xiàn)的可能，隨著金融市場不斷發(fā)展與完善，更加符合市場規(guī)律的股票期權(quán)定價(jià)模型將被推廣與使用，對(duì)于跳躍-擴(kuò)散過程的研究也將越發(fā)深入，對(duì)于股票期權(quán)的價(jià)格行為過程或許會(huì)有新的研究方法。該文通過對(duì)股票價(jià)格行為過程的研究，推導(dǎo)得出基于跳躍-擴(kuò)散過程的看漲期權(quán)簽約時(shí)的價(jià)格公式以及時(shí)刻的看漲期權(quán)價(jià)格公式，這在實(shí)際投資中具有一定的指導(dǎo)意義。

然而，對(duì)于金融市場的研究不應(yīng)止步于此，故步自封就等于落后，金融市場的發(fā)展還存在不足，許多潛在問題還有待完善?；诮?jīng)濟(jì)全球化的時(shí)代背景，實(shí)際證券交易市場的影響因素越發(fā)錯(cuò)綜復(fù)雜，近些年在研究股票期權(quán)定價(jià)問題上研究者們提出了新的思路和方法，股票期權(quán)定價(jià)模型也得以進(jìn)一步完善，也表明期權(quán)定價(jià)理論仍存在發(fā)展空間。目前國內(nèi)金融市場還處于發(fā)展階段，國內(nèi)國際雙循環(huán)新發(fā)展格局的加速形成迎來了金融市場高質(zhì)量發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，股票市場交易活躍度，投資者開戶數(shù)量不斷增長，個(gè)人投資者和一般企業(yè)為股票市場注入活力，也推動(dòng)著股票市場的進(jìn)一步完善，但投資者對(duì)于市場的推動(dòng)作用相對(duì)有限，需要政府和專業(yè)機(jī)構(gòu)介入市場以引導(dǎo)市場邁上發(fā)展新臺(tái)階。

參考文獻(xiàn)

[1]Black F， Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities [J]. Journal of Political Economy， 1973， 81（3）： 637-654.

[2]Merton R C. Option Prices when Underlying Stock Returns are Discontinuous [J]. Journal of Financial Economics， 1976（3）： 125-144.

[3]梁紅楓， 湯燦琴， 任英. 更新跳躍-擴(kuò)散過程下的復(fù)合期權(quán)定價(jià)[J]. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)， 2011， 28（1）： 24-27.

[4]寧麗娟， 劉新平. 股票價(jià)格服從跳-擴(kuò)散過程的期權(quán)定價(jià)模型[J]. 陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2003（4）： 16-19.

[5]范玉蓮， 孫志賓. 跳躍-擴(kuò)散過程中期權(quán)定價(jià)的倒向隨機(jī)微分方程方法及等價(jià)概率鞅測度[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2009， 32（4）： 673-681.

[6]陳超， 鄒捷中， 王自后. 股票價(jià)格服從純生跳-擴(kuò)散過程的期權(quán)定價(jià)模型[J]. 數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究， 2002（1）： 40-42.

[7]趙萍萍. 基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型的復(fù)合期權(quán)定價(jià)研究[D]. 成都：西南財(cái)經(jīng)大學(xué)， 2021.

[8]余湄， 程志勇， 鄧軍等. 一個(gè)新的期權(quán)定價(jià)方法：基于混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的新視角[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐， 2021， 41（11）： 2761-2776.

[9]楊文昇. 期權(quán)定價(jià)的連續(xù)時(shí)間馬氏鏈方法研究[D]. 成都：西南財(cái)經(jīng)大學(xué)， 2021.

[10]雷子琦， 周清. 浮動(dòng)利率下基于不確定分?jǐn)?shù)階微分方程的期權(quán)定價(jià)研究[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2022， 45（3）： 401-420.

[11]Niu J， Ma C， Wang Y， et al. The Pricing of China Stock Index Options Based on Monetary Policy Uncertainty [J]. Journal of Asian Economics， 2022， 81： 101504.

[12]Kwak S， Hwang Y， Choi Y， et al. Reconstructing the Local Volatility Surface from Market Option Prices [J]. Mathematics， 2022， 10（14） ： 2537.

[13]鄒慧鵬， 鄧春華. 復(fù)合廣義泊松過程的可加性[J]. 綿陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)， 2010， 29（5）： 6-7.

基金項(xiàng)目：西北民族大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：X202210742179）。

作者簡介：楊德林（2001—），男，本科在讀，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。