巧用“形象思維”,速解液柱(活塞)移動問題

■河北省石家莊市鹿泉區(qū)第一中學(xué) 姚翠芳 王 愛

理想氣體的狀態(tài)分析是高中物理選考部分中非常重要的一個Ⅱ級考點,因為其涉及的知識點可以是單一的理想氣體常見模型,也可以是與各種力學(xué)模型的綜合,所以有的試卷中以選擇題的形式呈現(xiàn),有的試卷中以計算題的形式呈現(xiàn)。在選擇題中,關(guān)于判斷玻璃管內(nèi)液柱移動方向或者汽缸中活塞移動方向的題目花樣很多,分析方法也很多,最常見的分析方法是基于假設(shè)法的定性半定量分析,最基礎(chǔ)的求解方法是程序化判斷方法。采用定性半定量分析方法的思維過程比較煩瑣,采用程序化方法分析判斷時需要厘清三個關(guān)系(力學(xué)上的平衡條件,理想氣體的狀態(tài)方程,根據(jù)氣體狀態(tài)變化示意圖可以找到的幾何關(guān)系)。采用這兩種分析方法求解選擇題,會有大材小用之感,費時費力?，F(xiàn)在我們借助下面的情境,找出一個簡捷易懂的方法,快速判斷液柱(活塞)移動的方向。

一、生活經(jīng)驗的啟示

情境Ⅰ：在一個恒溫池中,氣泡由池底慢慢升到水面,仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)氣泡在上升過程中,體積逐漸變大,到水面時就會破裂。

情境Ⅱ：比較飽滿的氫氣球,在上升的過程中,會越來越飽滿,最終撐破。

這兩個情境的物理本質(zhì)是一樣的:在溫度不變的情況下,隨著外界壓強的減小,氣體體積不斷增大。不同的是容納氣體的容器,一個是靠一層水包圍的氣泡,一個是氫氣球。我們遇到的物理問題中,容納氣體的容器通常是“玻璃管+液柱”,或“汽缸+活塞”,且在這些模型中只能通過液柱或活塞的移動來實現(xiàn)氣體體積的變化;外界壓強的改變方式比較多,可以是外界壓強直接變大,也可以是注入液體,還可以是推動活塞,還可以是將其按壓到水池深處等。在實際應(yīng)用中,若利用形象思維,把那些容納氣體的容器想象成氫氣球,則可使得分析過程大大簡化。

二、“形象思維”的建立

例1如圖1所示,一端封閉的玻璃管開口向下豎直倒插在水銀槽中,其位置保持固定,已知封閉端內(nèi)有少量空氣。若將玻璃管豎直向上緩慢提起(管下端未離開槽內(nèi)水銀面),則管中在槽內(nèi)水銀面上方的水銀柱高度h和封閉端內(nèi)空氣的壓強p的變化情況是( )。

圖1

A.變小,變大 B.變大,變大

C.變大,變小 D.變小,變小

解法1：基于假設(shè)法的定性半定量分析。

第一步:溫度保持不變,把玻璃管稍向上提起一段距離,假設(shè)管中水銀柱高度不變,則封閉端內(nèi)空氣柱變長,根據(jù)玻意耳定律可知,封閉端內(nèi)空氣的壓強變小,即p＜p0-ρhg。因此在此假設(shè)基礎(chǔ)上水銀柱會向上移。

第二步:假設(shè)封閉端內(nèi)空氣柱的長度不變,則封閉端內(nèi)空氣的壓強不變,管中水銀柱高度增大,即p＞p0-ρhg。因此在此假設(shè)基礎(chǔ)上水銀柱會向下移。

第三步:水銀柱最后平衡,停下來的位置介于第一步和第二步所說的兩種情況之間,即h增大,L也增大,p減小。

解法2：程序化方法分析。

第一步:根據(jù)力學(xué)平衡條件可知,槽內(nèi)水銀面處的壓強p+ρgh=p0,因為p0不變,所以p和h一增一減。

第二步:根據(jù)玻意耳定律得pSL=C(C為常數(shù)),因此p和L一增一減。綜合以上兩式可知,h和L都增大或者都減小。

第三步:根據(jù)幾何關(guān)系得h+L增大,且增量之和為玻璃管上移的高度,因此h和L只能都增大,則p一定減小。

解法3：形象思維法。

把玻璃管和其內(nèi)部H+h高度(H為槽內(nèi)水銀面下方的水銀柱的高度)的水銀柱看成“氫氣球”,將玻璃管豎直向上緩慢提起時,相當于“氫氣球處”(玻璃管口)的壓強減小,因此封閉空氣的體積一定會增大,即L增大,壓強會減小,水銀將從玻璃管中流出,再根據(jù)p'+ρhg=p0可知,h增大。

答案：C

小結(jié):按照常規(guī)的解法1 和解法2 分析求解,步驟繁雜,稍有不慎,就會陷入混亂狀態(tài);采用形象思維法分析求解,不僅回避了對多種假設(shè)條件的分析,而且避免了復(fù)雜的關(guān)系式的書寫,簡捷易懂。

三、活學(xué)活用

1.感悟模型。

例2如圖2所示,玻璃管A和B同樣粗細,玻璃管A的上端封閉,兩管下端用橡皮管連通,兩管中水銀柱的高度差為h,若將玻璃管B慢慢地提起,則( )。

圖2

A.玻璃管A內(nèi)封閉空氣柱將變長

B.玻璃管A內(nèi)封閉空氣柱將變短

C.兩管內(nèi)水銀柱的高度差將增大

D.兩管內(nèi)水銀柱的高度差將減小

解析：將玻璃管B慢慢地提起,等效于在玻璃管B中加入了少量水銀,致使玻璃管B原水銀面壓強增大,“氫氣球”被壓縮,玻璃管A內(nèi)封閉空氣柱將變短,根據(jù)玻璃管A中空氣的壓強p=p0+ρgh,p增大可知,兩管內(nèi)水銀柱的高度差h將增大。

答案：BC

小結(jié):本題中橡膠管的長度變化,形狀變化,都對氣體狀態(tài)變化問題的研究沒有任何影響,所以大膽地將玻璃管B慢慢地提起等效成向玻璃管B中加入少量水銀,這在一定程度上簡化了思維過程,進而采用形象思維法即可順利解決。

2.大膽等效。

例3如圖3所示,一試管開口朝下插入盛水的廣口瓶中,在某一深度靜止時,管內(nèi)封閉有一定質(zhì)量的空氣。若向廣口瓶中緩慢倒入一些水,則試管將( )。

圖3

A.加速上浮

B.加速下沉

C.保持靜止

D.以原靜止位置為平衡位置上下振動

解析：把試管和其內(nèi)部的水看成“氫氣球”,向廣口瓶中緩慢倒入一些水,試管口處的壓強變大,封閉氣體的體積變小,試管內(nèi)的水會增加。以試管和其內(nèi)部的水為研究對象,重力大于浮力,所以試管將加速下沉。

答案：B

小結(jié):本題中試管靜止時受到的浮力等于重力,倒入一些水的效果和將玻璃管緩慢往下按一下的效果相同,都會導(dǎo)致氣體被壓縮,重力大于浮力而加速下沉。

3.靈活應(yīng)用。

例4如圖4所示,一粗細均勻的U 型玻璃管右側(cè)開口向上,豎直放置,左、右兩管中各封閉有一定質(zhì)量的理想氣體A、B,水銀面a、b間的高度差為h1,水銀柱cd的長度h2=h1,a面與c面恰好處于同一高度?，F(xiàn)向右側(cè)開口端注入少量水銀達到重新平衡,則( )。

圖4

A.水銀面c下降的高度大于水銀面a上升的高度

B.水銀面a、b間新的高度差等于右管上段新水銀柱的長度

C.封閉氣體A的壓強一定大于外界大氣壓強

D.封閉氣體A的壓強變化量等于封閉氣體B的壓強變化量

解析：先把玻璃管和其內(nèi)部水銀柱cd看成“氫氣球”,向右側(cè)開口端注入少量水銀,水銀面d處的壓強p=p0+ρgh增大,封閉氣體B的體積變小,壓強增大;再把玻璃管和其內(nèi)部水銀柱ab看成“氫氣球”,封閉氣體B的壓強增大,則封閉氣體A的體積變小,壓強增大;假設(shè)封閉氣體A的長度減小了Δh1,封閉氣體B的高度減小了Δh2,那么水銀面c下降的高度為Δh1+Δh2,一定大于水銀面a上升的高度Δh1,選項A 正確。水銀面a、b間新的高度差為2Δh1,假設(shè)右管上段新水銀柱的長度為Δh,未注入水銀前,封閉氣體A的壓強pA=p0+ρgh1-ρgh2=p0,注入水銀后,封閉氣體A的壓強pA'=p0+ρg(h1+Δh)-ρg(h2+2Δh1)=p0+ρg(Δh-2Δh1),而封閉氣體A的體積變小,壓強增大,即pA'＞pA=p0,所以Δh＞2Δh1,選項B錯誤,C 正確。封閉氣體A的壓強變化量ΔpA=pA'-pA=ρg(Δh-2Δh1), 封閉氣體B的壓強變化量ΔpB=ρgΔh1,所以ΔpA＜ΔpB,選項D錯誤。

答案：AC

小結(jié):本題可以先考慮外界壓強變化導(dǎo)致封閉氣體B壓縮,繼而導(dǎo)致封閉氣體A壓縮,不妨假設(shè)這是一個多層氫氣球,所有封閉氣體都要被壓縮;再考慮液柱移動距離,從封閉氣體A壓縮導(dǎo)致液柱移動開始分析,然后聯(lián)動影響封閉氣體B壓縮導(dǎo)致的液柱移動。

4.拓展提升。

例5如圖5所示,兩端開口的彎管,左側(cè)插入水銀槽中,管內(nèi)外水銀面高度差為h1,右側(cè)有一段水銀柱,兩端液面的高度差為h2,中間封閉有一段空氣,則下列說法中正確的是( )。

圖5

A.若大氣壓強升高,則h1減小,h2增大

B.若把彎管向上移動少許,則重新平衡后,管內(nèi)氣體體積不變

C.若把彎管向下移動少許,則重新平衡后,管內(nèi)氣體壓強不變

D.彎管無論向上還是向下移動,重新平衡后,h1始終等于h2

解析：管中封閉氣體是靠左側(cè)水銀槽和右側(cè)水銀柱共同封閉的,整體可以看成一個“氫氣球”,封閉氣體的壓強p=p0+ρgh1=p0+ρgh2,則h1=h2。當外界壓強變大時,兩側(cè)一起壓縮封閉氣體,導(dǎo)致h1和h2同時減小,但始終有h1=h2,選項A 錯誤。若把彎管向上移動少許,相當于“氫氣球”左側(cè)壓強變小,右側(cè)水銀柱會向中間管移動,導(dǎo)致h2變小,氣體壓強變小,但最終仍有h1=h2,選項B錯誤。若把彎管向下移動少許,相當于“氫氣球”左側(cè)壓強變大,右側(cè)水銀柱會向右管移動,導(dǎo)致h2變大,氣體壓強變大,但最終仍有h1=h2,選項C錯誤,D 正確。

答案：D

小結(jié):求解本題需要先判斷出封閉氣體的壓強變化情況,再根據(jù)壓強變化判斷出重新平衡時依然滿足h1=h2。

1.如圖6所示,一根豎直放置的彈簧連接一個汽缸中的活塞,使汽缸懸空而靜止。若不計活塞與汽缸壁之間的摩擦,汽缸導(dǎo)熱性能良好,外部溫度恒定不變,則下列判斷正確的是( )。

圖6

A.若大氣壓強增大,則活塞將上升

B.若大氣壓強減小,則活塞將上升

C.若大氣壓強增大,則汽缸將上升

D.若大氣壓強減小,則汽缸將上升

2.如圖7所示,汽缸開口向下,缸內(nèi)活塞封閉了一定質(zhì)量的理想氣體,活塞可自由滑動且不漏氣,活塞下掛一個砂桶,砂桶裝滿砂子時,活塞恰好靜止?，F(xiàn)將砂桶底部鉆一個小洞,讓砂子慢慢漏出。汽缸導(dǎo)熱性能良好,外部溫度恒定不變,則( )。

圖7

A.缸內(nèi)的氣體壓強減小,內(nèi)能減小

B.缸內(nèi)的氣體壓強增大,內(nèi)能減小

C.缸內(nèi)的氣體壓強增大,內(nèi)能不變

D.缸內(nèi)的氣體壓強減小,內(nèi)能不變

3.如圖8所示,均勻U 型管內(nèi)盛有液體,左右液面相平,左管用活塞封閉了一定質(zhì)量的氣體A,右管封閉氣體B,開始時A、B兩部分氣體的壓強均為p,氣柱的長度均為l?，F(xiàn)將活塞緩慢向上提升高度d,則在此過程中( )。

圖8

A.氣柱A的長度增加量等于d

B.氣柱B的長度增加量小于d

C.氣體A的最終壓強小于

D.氣體A的最終壓強大于

參考答案：1.D 2.C 3.BD