以透明體為載體的幾何光學(xué)問(wèn)題賞析

■湖北省巴東縣第三高級(jí)中學(xué) 胡 松

縱觀歷年來(lái)的高考試卷可以發(fā)現(xiàn),高考對(duì)幾何光學(xué)的考查多以不同形狀的透明體為載體,考查光的反射、折射或全反射。求解涉及光的反射和折射的問(wèn)題時(shí),準(zhǔn)確畫(huà)出光路圖并確定入射角、反射角、折射角是前提,熟練運(yùn)用反射定律、折射定律和幾何關(guān)系列式是關(guān)鍵;求解涉及“最大”“最小”“恰好”等關(guān)鍵詞的臨界問(wèn)題時(shí),確定光束是從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)還是從光疏介質(zhì)射入光密介質(zhì)是前提,找出恰好發(fā)生全反射或有最大、最小入射角的邊緣光線是關(guān)鍵。下面以光束在幾種常見(jiàn)的透明體中的傳播問(wèn)題為例,剖析幾何光學(xué)問(wèn)題的求解策略,供同學(xué)們參考。

一、光線在長(zhǎng)方體玻璃磚中的傳播問(wèn)題

如圖1所示,光線從長(zhǎng)方體玻璃磚的上表面射入,從與它平行的下表面射出時(shí),光線在玻璃磚的上下表面分別發(fā)生折射現(xiàn)象,根據(jù)折射定律得n=,根據(jù)幾何關(guān)系得θ2=θ3,因此θ1=θ4,說(shuō)明入射光線和出射光線是平行的,即光線從長(zhǎng)方體玻璃磚相互平行的兩個(gè)表面射入和射出時(shí),不改變?nèi)肷涔饩€的性質(zhì)和方向,只使光線向偏折方向平行移動(dòng)。

圖1

例1如圖2所示,在折射率為n、厚度為d的長(zhǎng)方體玻璃磚上方的空氣中有一點(diǎn)光源S,從光源S發(fā)出的光以角度θ入射到玻璃磚上表面,經(jīng)過(guò)玻璃磚后從其下表面射出。假設(shè)光在空氣中的傳播速度為c。

圖2

(1)若以角度θ入射到玻璃磚上表面的光從光源S傳播到玻璃磚上表面所用的時(shí)間與在玻璃磚中傳播的時(shí)間相等,則光源S到玻璃磚上表面的垂直距離l應(yīng)是多少？

(2)若玻璃磚足夠長(zhǎng),折射率n= 2,厚度d= 3 cm,從光源S發(fā)出的光以角度θ=45°入射到玻璃磚上表面,則這束光能否穿過(guò)玻璃磚從其下表面射出？ 若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;若能,請(qǐng)計(jì)算這束光的偏移量s(結(jié)果可用根式表示)。

解析：(1)設(shè)從光源S發(fā)出的光射到玻璃磚上表面時(shí)的折射角為r,則光從光源S到玻璃磚上表面的傳播距離光從光源S傳播到玻璃磚上表面所用的時(shí)間t1=,光在玻璃磚中的傳播距離光在玻璃磚中的傳播時(shí)間又有t1=t2,即根據(jù)折射定律得n=解得。

(2)當(dāng)從光源S發(fā)出的光在玻璃磚下表面上發(fā)生全反射時(shí),光不能穿過(guò)玻璃磚從其下表面射出。設(shè)光在玻璃磚下表面發(fā)生全反射的臨界角為C,則,即C=45°。光在玻璃磚上表面發(fā)生折射時(shí),根據(jù)折射定律得, 解得,即r=30°。因?yàn)閞＜C,所以這束光能夠穿過(guò)玻璃磚從其下表面射出。這束光從玻璃磚下表面射出時(shí)的出射光與在玻璃磚上表面入射時(shí)的入射光平行,根據(jù)幾何關(guān)系得偏移量s=,解得。

二、光線在三棱鏡中的傳播問(wèn)題

如圖3所示,一束光從三棱鏡的一個(gè)側(cè)面入射,在三棱鏡的折射率大于其周圍介質(zhì)折射率的情況下,這束光穿過(guò)三棱鏡后向底邊方向偏折。若入射光是一束白光,則它經(jīng)過(guò)三棱鏡后發(fā)生色散現(xiàn)象,可以在光屏上形成七種單色光的光譜。七種單色光在同種介質(zhì)中的偏折規(guī)律如表1所示。

圖3

表1

例2如圖4所示,等邊三角形ABC為某三棱鏡的截面,邊長(zhǎng)為L(zhǎng),已知光在真空中的傳播速度為c。

圖4

(1)若一束足夠強(qiáng)的細(xì)光束從AB邊中點(diǎn)與AB邊成α=30°角由真空射入三棱鏡,從BC邊射出的光與BC邊的夾角β=30°,求該三棱鏡的折射率n和光在三棱鏡中的傳播時(shí)間。

(2)若一束黃色光從AB邊中點(diǎn)與AB邊成α=40°角由真空射入三棱鏡,則恰在BC邊觀察不到有光射出。若將黃色光先后換成紅色光和紫色光,讓它依然從AB邊中點(diǎn)與AB邊成α=40°角由真空射入三棱鏡,則在BC邊能否觀察到有光射出？ 為什么？

解析：(1)作出光路圖如圖5所示,根據(jù)幾何關(guān)系得入射角i1=90°-α=60°,根據(jù)折射定律得光在BC邊上發(fā)生折射現(xiàn)象時(shí),根據(jù)折射定律得,其中r2=90°-β=60°,則i2=r1。根據(jù)幾何關(guān)系得r1=i2=30°,解得。根據(jù)幾何關(guān)系得光在三棱鏡中的傳播距離,又有光在三棱鏡中的傳播速度,因此光在三棱鏡中的傳播時(shí)間。

圖5

(2)黃色光從AB邊中點(diǎn)與AB邊成α=40°角由真空射入三棱鏡,恰在BC邊觀察不到有光射出,說(shuō)明黃色光在BC邊上發(fā)生全反射。根據(jù)紅橙黃綠青藍(lán)紫七種單色光在同一介質(zhì)中的折射率由小變大,臨界角由大變小可知,將黃色光換成紅色光,紅色光在BC邊上的入射角將小于其臨界角,可以觀察到有光射出;將黃色光換成紫色光,紫色光在BC邊上的入射角將大于其臨界角,觀察不到有光射出。

三、光線在球形透明體中的傳播問(wèn)題

球形透明體的截面如圖6所示,圓心為O,當(dāng)一束光在球形透明體表面發(fā)生反射和折射時(shí),其法線沿入射點(diǎn)與球心O的連線方向,這束光經(jīng)過(guò)球形透明體后的方向發(fā)生改變。

圖6

例3(2022 高考河北卷)如圖7所示,一個(gè)半徑為R的透明介質(zhì)球的截面是圓心為O的圓形。球面內(nèi)側(cè)單色點(diǎn)光源S發(fā)出的一束光從A點(diǎn)射出,入射光線SA與直徑SC間的夾角θ=30°,出射光線AB與直徑SC平行。光在真空中的傳播速度為c。求:

圖7

(1)該透明介質(zhì)球的折射率。

(2)從光源S發(fā)出的光線經(jīng)兩次全反射回到S點(diǎn)所用的時(shí)間。

(3)從光源S發(fā)出的光線經(jīng)多次全反射回到S點(diǎn)所用的最短時(shí)間。

解析：(1)過(guò)A點(diǎn)作法線,如圖8所示,設(shè)光線在A點(diǎn)的入射角為i1,折射角為i2,根據(jù)幾何關(guān)系得i1=θ=30°,i2=60°,根據(jù)折射定律得,解得。

圖8

(2)設(shè)從光源S發(fā)出的光線在透明介質(zhì)球中發(fā)生全反射的臨界角為C,則,光在透明介質(zhì)球中的傳播速度。作出從光源S發(fā)出的光線經(jīng)兩次全反射回到S點(diǎn)的光路圖,如圖9所示,則光路為圓的內(nèi)接正三角形。根據(jù)幾何關(guān)系得正三角形的邊長(zhǎng),又有3x=vt,解得。

圖9

(3)根據(jù)幾何關(guān)系可知,當(dāng)θ=45°,即光路為圓的內(nèi)接正方形時(shí),從光源S發(fā)出的光線經(jīng)多次全反射回到S點(diǎn)所用的時(shí)間最短。根據(jù)幾何關(guān)系得正方形的邊長(zhǎng)x= 2R,又有4x=vt,解得。

總結(jié)：光射入各種形狀的透明體中,遵守反射定律、折射定律和全反射規(guī)律,運(yùn)用這些規(guī)律結(jié)合光路中的幾何關(guān)系和七色光的偏折規(guī)律即可分析處理相關(guān)問(wèn)題。分析處理幾何光學(xué)問(wèn)題的基本思路:(1)判斷光線是從光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)還是從光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì);(2)判斷入射角是否大于或等于臨界角,明確是否發(fā)生全反射現(xiàn)象;(3)畫(huà)出反射、折射或全反射的光路圖,必要時(shí)還可應(yīng)用光路的可逆性原理畫(huà)出光路圖,結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行推斷和求解。需要特別關(guān)注并熟練掌握的是涉及折射率n的關(guān)系式,因?yàn)檎凵渎蕁是聯(lián)系入射角、反射角、折射角、臨界角、路程、速度、時(shí)間等相關(guān)物理量的重要橋梁。