巧用配方解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

李國(guó)屹

摘?要：鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力是課堂教學(xué)的重要任務(wù).配方法作為初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，以其獨(dú)特的魅力和優(yōu)勢(shì)，已成為提升解題效率的有力“抓手”.本論文就立足于此，結(jié)合相關(guān)的例題，針對(duì)配方法在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的探究，具備極強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值.

關(guān)鍵詞：配方法；初中數(shù)學(xué)；解題；數(shù)學(xué)思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)和解題技能的學(xué)習(xí)，更是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí).就初中階段的數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，涉及到的數(shù)學(xué)解題方法比較多，包括：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、消元法等，這些都是數(shù)學(xué)思想的細(xì)化、具體化.配方法作為諸多數(shù)學(xué)解題方法中的一種，屬于一種定向變形技巧，借助配方的手段，明確已知和未知之間的聯(lián)系，最終達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、解答題目的目的.同時(shí)，配方法也是數(shù)學(xué)思想的集中體現(xiàn)，學(xué)生在運(yùn)用配方法解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)思維能力也隨之提升，促進(jìn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效提升.

1?配方法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

配方法又稱之為“湊配法”，屬于一種定向變形的方法，主要是借助“拆項(xiàng)”“添項(xiàng)”“配”和“湊”的技巧，配成“完全平方”，最終找到已知和未知的聯(lián)系，進(jìn)而達(dá)到解答問(wèn)題的目的.可以說(shuō)，配方法的核心就是恒等變形，主要是對(duì)式子或者式子中的某個(gè)部分進(jìn)行變形，使其成為完全平方式.在初中數(shù)學(xué)解題中，配方法的應(yīng)用范圍比較廣泛，幾乎涵蓋了整個(gè)知識(shí)體系.

1.1?配方法與因式分解

因式分解在初中數(shù)學(xué)中舉足輕重，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn).因式分解是學(xué)生解決一元二次方程、高次方程時(shí)必不可缺的方法，也是進(jìn)行分式運(yùn)算的基礎(chǔ).同時(shí)，因式分解也是初中數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn).在解決這一類型的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常需要配方法的“鼎力相助”.

例1?因式分解4c2x2-4cdxy-3d2y2+8dy-4.

解析：在原式中，要想進(jìn)行因式分解，需要在原式中增加一個(gè)d2y2，就可以將原題變?yōu)橥耆椒?，之后再次運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解，即4c2x2-4cdxy+d2y2-4d2y2+8dy-4=（2cx-dy）2-（2dy-2）2=（2cx+dy-2）（2cx-3dy+2）.

例2?在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)多項(xiàng)式x2-4x+1進(jìn)行因式分解.

解析：在解答這一問(wèn)題時(shí)，可以以x2-4x為切入點(diǎn)，將原式進(jìn)行恒等變形、配方，最終將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)變成為（x-2）2-3，使其成為兩個(gè)平方差的形式，以此開(kāi)展因式分解：x2-4x+1=x2-4x+22-22+1=（x-2）2-3=（x-2+3）（x-2-3）.可見(jiàn)，在因式分解類型的題目中，解題的關(guān)鍵就是拆項(xiàng)、分組，并借助配方的思想，依據(jù)相關(guān)的公式進(jìn)行解題［1］.

1.2?配方法與代數(shù)式運(yùn)算

代數(shù)式運(yùn)算也是初中數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)，不僅考查了學(xué)生的各種計(jì)算能力，也考查了學(xué)生的問(wèn)題分析能力和解決能力，以及數(shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用能力.在計(jì)算代數(shù)式時(shí)，面對(duì)一些復(fù)雜的問(wèn)題，無(wú)法直接帶入求值，唯有先借助配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，才能在此基礎(chǔ)上輕松解答.

例3?已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x=6-y，z2=xy-9，求x、y、z的值.

解析：在本題中，已知條件只有2個(gè)，未知元存在3個(gè)，要想求出3個(gè)未知元，唯有對(duì)題目展開(kāi)分析，充分挖掘等式條件中隱含的關(guān)系.鑒于此，即可運(yùn)用配方法進(jìn)行求解：將x=6-y代入到z2=xy-9中，得出z2=xy-9=（6-y）y-9=-（y-3）2，因此z2+（y-3）2=0.又因?yàn)閤、y、z均為實(shí)數(shù)，因此z2≥0，（y-3）2≥0，要使得z2+（y-3）2=0成立，則z=0，y=3，又因?yàn)閤=6-y，所以x=3.

例4?假設(shè)x=n+1-nn+1+n，y=n+1+nn+1-n（n為自然數(shù)）.當(dāng)n為何值時(shí)，x2+1504xy+y2=1986.

解析：觀察題目中的已知條件，由于x、y互為倒數(shù)，即可輕松求出x+y、xy的值，之后再結(jié)合所求的式子，借助配方法，將其變化成為含有x+y、xy的形式，即可直接代入求解：x+y=n+1-nn+1+n+n+1+nn+1-n=（n+1-n）2+（n+1+n）2（n+1+n）（n+1-n）=4n+2，

xy=n+1-nn+1+n×n+1+nn+1-n=1，因此

x2+1504xy+y2=x2+2xy+y2+1502xy=（x+y）2+1502xy=（4n+2）2+1502=1986.通過(guò)解方程即可得出n=5.

1.3?配方法與一元二次方程

一元二次方程屬于整式方程，是學(xué)生開(kāi)展高次數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).在歷年的考試中，關(guān)于一元二次方程的考點(diǎn)集中體現(xiàn)在判別式、根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)點(diǎn).面對(duì)一些復(fù)雜的一元二次方程，唯有熟練運(yùn)用配方法，才能完成解答.

例5?解方程3x2+8x-3=0.

解析：在解答ax2+bx+c=0這一類型的一元二次方程時(shí)，其解題思路就是先將方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，之后再借助配方法，將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為開(kāi)方所需的形式.因此，在解答3x2+8x-3=0時(shí)，首先將二次項(xiàng)系數(shù)化為“1”，即：x2+83x-1=0，之后借助配方法，將其變形成為：x2+83x+432=1+432，即：x+432=532.因此，x+43=±53，即：x1=13，x2=-3.

例6?已知一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0，求證：在該方程中，無(wú)論k為何值，該方程中始終存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

解析：在這一題目中，要想證明方程存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，必須對(duì)該方程的判別式進(jìn)行判斷，唯有當(dāng)其大于0時(shí)，該方程才會(huì)存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.因此，計(jì)算該方程的判別式：Δ=b2-4ac=［-（2k+1）］2-4×1×（4k-3）=4k2-12k+13.在此基礎(chǔ)上，要對(duì)判別式的值進(jìn)行判斷，必須要借助配方法，將其變形為Δ=4k2-12k+13=4k2-12k+32+4=（2k-3）2+4，因?yàn)椋?k-3）2≥0，所以Δ=（2k-3）2+4＞0，即無(wú)論k取何值，該方程始終存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根［2］.

1.4?配方法與二次根式化簡(jiǎn)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，二次根式化簡(jiǎn)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，也是培養(yǎng)學(xué)生煩瑣運(yùn)算和變換能力的關(guān)鍵和基礎(chǔ).在這一階段中，學(xué)好二次根式化簡(jiǎn)十分重要.但在實(shí)際解題中，由于部分二次根式化簡(jiǎn)難度比較大，常規(guī)解題思路會(huì)受到限制.面對(duì)這一現(xiàn)狀，科學(xué)地融入配方法將會(huì)有意外的收獲.

例7?化簡(jiǎn)根式10-221+4+23.

解析：在二次根式化簡(jiǎn)題目中，學(xué)生常常要借助a2=｜a｜這一公式.鑒于此，在對(duì)該二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，需要借助轉(zhuǎn)化思維，將根號(hào)下的被開(kāi)方的數(shù)轉(zhuǎn)化成為完全平方式.而要達(dá)到這一目標(biāo)，則需要借助配方的手段，將二次根式下被開(kāi)方的數(shù)進(jìn)行變形.即10-221+4+23=7-27·3+3+3+23·1+1=（7-3）2+（3+1）2.如此，經(jīng)過(guò)配方轉(zhuǎn)化之后，即可利用a2=｜a｜這一公式，將原式轉(zhuǎn)化為7-3+3+1=1+7.

例8?化簡(jiǎn)3+63+22.

解析：在借助配方法化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，首先應(yīng)明白二次根式中包含的兩個(gè)必要條件.針對(duì)同類的二次根式來(lái)說(shuō)，要想對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，需要將根號(hào)內(nèi)含有二次的因式進(jìn)行移動(dòng)，使其到根號(hào)之外.但如果根式中出現(xiàn)多項(xiàng)式的時(shí)候，必須要借助配方法，對(duì)其進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，方可求解.鑒于此，在本題解答時(shí)，即可遵循這一思路.因?yàn)?+22=（2）2+22+1=（2+1）2=2+1.所以原式=3+6（2+1）=9+62=（6）2+62+（3）2=（6+3）2=6+3.

1.5?配方法與函數(shù)最值問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，二次函數(shù)最值問(wèn)題歷來(lái)是考查的重點(diǎn).針對(duì)這一類型的問(wèn)題，通常需要借助二次函數(shù)的圖象這一工具，獲得該函數(shù)的最值.但是學(xué)生在解題時(shí)，常常面臨一些不規(guī)則的函數(shù)圖像，唯有借助配方法將其規(guī)范化，將函數(shù)湊成頂點(diǎn)式，才能繼續(xù)求解.

例9?求函數(shù)y=x4+x2+1的最小值.

解析：按照函數(shù)求最值的一般思路，當(dāng)自變量x的取值范圍有限時(shí)，無(wú)法直接求出y=ax2+bx+c的最值，唯有先借助配方法化簡(jiǎn)再求值，才能避免解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，在本題目中，可先對(duì)其進(jìn)行配方，使其變形為y=x4+x2+1=（x2）2+x2+1=x2+122+34.

在這一題目中，因?yàn)閤2≥0，所以x2的最小值為0.因此，只有x=0的時(shí)候，y=x4+x2+1存在最小值，為y=1.在這一題目中，如果忽視了配方法的應(yīng)用，直接按照二次函數(shù)的公式進(jìn)行求解，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤：y=4ac-b24a，當(dāng)x2=-b2a=-12時(shí)，y=x4+x2+1存在最小值.這一解法是錯(cuò)誤的，忽視了x2≥0這一條件.因此，面對(duì)函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，為了避免錯(cuò)誤，必須要借助配方法，才能達(dá)到目的［3］.

例10?已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c存在最小值，最小值為-12，且a∶b∶c=1∶3∶2，求該函數(shù)的解析式.

解析：在解答本題時(shí)，可結(jié)合題設(shè)條件，先得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即-32，-12，之后借助配方法，將原來(lái)二次函數(shù)的解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)變，使其成為“配方式”的形式，即：y=a（x+h）2-12（a＞0），因?yàn)閍∶b∶c=1∶3∶2，所以b2a=32=h，因此函數(shù)的解析式可進(jìn)一步變形為y=a（x+h）2-12=ax+322-12=ax2+3ax+9a-24.

同時(shí)，再結(jié)合c∶a=2∶1，得出9a-24=2a，最終得出a=2.因此，該函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c=2x+322-12.

1.6?配方法與平面幾何問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)教育體系中，平面幾何是教學(xué)的重中之重，是學(xué)生學(xué)好立體幾何知識(shí)的基礎(chǔ)，也是發(fā)展學(xué)生空間想象能力的關(guān)鍵.同時(shí)，平面幾何問(wèn)題也是初中數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn).在解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，如果按照常規(guī)的解題思維，學(xué)生常常面臨著煩瑣的運(yùn)算，不僅浪費(fèi)了解題的時(shí)間，甚至還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.鑒于此，唯有借助配方法，另辟蹊徑，才能化繁為簡(jiǎn)，提升學(xué)生的解題效率.

例11?如圖1所示，在△ABC中，已知∠A+∠C=2∠B，且三角形最長(zhǎng)邊和最短邊分別是方程3x（x-9）+32=0的兩個(gè)根，求△ABC內(nèi)切圓的面積.

解析：在這一題中，按照常規(guī)的解題思維，唯有借助方程求解，得出兩個(gè)根，才能計(jì)算出三角形內(nèi)切圓的面積.但是在這一過(guò)程中，學(xué)生面臨著煩瑣的運(yùn)算，難度極大.鑒于此，借助配方法，巧妙借助方程根和系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解，就能很大程度上簡(jiǎn)化學(xué)生的解題思路：因?yàn)椤螦+∠C=2∠B，所以∠B=60°.又因?yàn)槿切沃凶畲蠼遣恍∮?0°、最小角不大于60°，所以∠B必然是三角形中最長(zhǎng)邊和最短邊的夾角.

同時(shí)，對(duì)方程3x（x-9）+32=0進(jìn)行整理、變形，得出3x2-27x+32=0.

假設(shè)△ABC最長(zhǎng)邊為a，最短邊為c.因?yàn)閍、c是該方程的兩個(gè)根，因此結(jié)合韋達(dá)定理，得出a+c=9，ac=323.之后，結(jié)合余弦定理，得出b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac=92-3×323=49，因此b=7.

基于此，即可得出S△ABC=12acsinB=833.假設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為r，則有S△ABC=12（a+b+c）r，解方程得出r=2S△ABCa+b+c=33，因此所求三角形內(nèi)切圓的面積S=πr2=13π.

例12?已知a、b、c、d均為正數(shù)，且滿足a4+b4+c4+d4=4abcd，求證：以a，b，c，d為邊的四邊形為菱形.

解析：結(jié)合題目中的已知條件，在進(jìn)行證明時(shí)，關(guān)鍵在于借助完全平方公式，將給出的條件進(jìn)行配方、變形，將a4+b4+c4+d4=4abcd通過(guò)配方、變形為a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，整理，得出（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0，因?yàn)閍、b、c、d均為正數(shù)，所以a2-b2=0、c2-d2=0、ab-cd=0，即a=b=c=d，因此以a，b，c，d為邊的四邊形為菱形［4］.

2?基于配方法解題的初中數(shù)學(xué)教學(xué)啟示

首先，基于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情，科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容.在日常教學(xué)中，要想促使學(xué)生真正理解配方法的內(nèi)涵，必須要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，指向?qū)W生的學(xué)情，科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo).一方面，應(yīng)立足于教材上的例題，以此為切入點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生在例題思考和解題實(shí)踐中，掌握配方法的解題思路和方法，并在例題分析中總結(jié)出配方法的解題規(guī)律；另一方面，為了促進(jìn)配方法相關(guān)知識(shí)的深化，在基本例題教學(xué)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)結(jié)合學(xué)生已有知識(shí)的掌握情況、認(rèn)知思維發(fā)展水平，為學(xué)生補(bǔ)充高質(zhì)量的數(shù)學(xué)題目，以便于學(xué)生在多樣化的數(shù)學(xué)題目中，熟練掌握這一解題方法.

其次，全面加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練.配方法屬于一種數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握水平、思維水平都提出了更高的要求.鑒于此，在日常數(shù)學(xué)課堂中，應(yīng)全面加強(qiáng)初中生的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生在思考和分析問(wèn)題的過(guò)程中，探究新的解題方法.

最后，優(yōu)化課堂教學(xué)方法，科學(xué)、合理借助多媒體輔助工具.在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要真正提升學(xué)生的配方法應(yīng)用能力，教師還應(yīng)努力轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，充分借助多媒體信息技術(shù)，將原本抽象的數(shù)學(xué)理論知識(shí)直觀化、形象化，以便于學(xué)生在直觀地感知中完成配方法的學(xué)習(xí).

3?結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，鑒于初中學(xué)科的特點(diǎn)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本就是“化難為易、化繁為簡(jiǎn)”，將未知的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)形式，進(jìn)而促使學(xué)生運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)完成數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答.配方法就是一種靈活的解題方法，是數(shù)學(xué)思想的縮影，可將其靈活應(yīng)用到因式分解、代數(shù)式運(yùn)算、一元二次方程解答、二次根式化簡(jiǎn)、函數(shù)最值、平面幾何問(wèn)題的解答中，使得學(xué)生在高效解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的同時(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)下的教學(xué)目標(biāo).

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