以知識為始，以思維為終，落地深度學(xué)習(xí)
——對特級教師劉德武教學(xué)“知識與思維”的賞析

江蘇徐州市大馬路小學(xué)（221000） 胡姜華

聯(lián)合國教科文組織提出面向21 世紀(jì)教育的四大支柱是學(xué)會求知、學(xué)會做事、學(xué)會共處、學(xué)會生存。而學(xué)會求知的關(guān)鍵在于思考的方式。如果教師只關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握程度，而忽視了數(shù)學(xué)思維的形成過程，就會導(dǎo)致學(xué)生只知道怎么解題，但是不知道為什么這樣解題。筆者在一次教研活動中聆聽了特級教師劉德武的一節(jié)特別的數(shù)學(xué)錄像課“知識與思維”，他以專題知識的形式讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過程，提出了概括、設(shè)數(shù)、分析、形感、排除和假設(shè)等數(shù)學(xué)思維方法。

【片段一：從“兩個數(shù)相加”中學(xué)會概括】

師（出示“知識與思維”）：同學(xué)們，我們?yōu)槭裁匆线@節(jié)數(shù)學(xué)課？

生1：為了獲得更多數(shù)學(xué)知識。

師：很多同學(xué)上課的時候特別注重這節(jié)課學(xué)什么知識，這個習(xí)慣很好，但是任何一個數(shù)學(xué)知識背后都有相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維，這也是特別重要的。這節(jié)數(shù)學(xué)課我們就來研究數(shù)學(xué)思維。

師（出示題目：□□□+□□□=1000）：兩個三位數(shù)相加等于1000，你能解答嗎？

生2：500+500=1000，800+200=1000……

師：滿足條件的三位數(shù)有很多?，F(xiàn)在要求方框里不能填0。我說第一個加數(shù)，你來說第二個加數(shù)，好嗎？第一個加數(shù)是111，第二個加數(shù)是多少？

生（齊）：889。

師：第一個加數(shù)是257，第二個加數(shù)是多少？

生（齊）：743。

師：這樣的例子還有很多。下面我們做一件事情——概括，你知道是什么意思嗎？

生3：就是把一段很長的文字概括成簡短的一句話。

師：能不能簡單地說一說怎樣的兩個數(shù)加起來的和是1000？

生4：這兩個數(shù)百位上的數(shù)相加的和是9，十位上的數(shù)相加的和是9，個位上的數(shù)相加的和是10。

師：掌聲送給你。同學(xué)們，一起來看看這道題目“0.□□□+0.□□□=1”，想一想這道題中的兩個加數(shù)有什么特點(diǎn)？

生5：十分位上的數(shù)相加的和是9，百分位上的數(shù)相加的和是9，千分位上的數(shù)相加的和是10。

師（出示題目：0.□□□□□□□□□□□□+0.□□□□□□□□□□□□=1）：這一題呢？

生6：兩個加數(shù)中的數(shù)除了最后一位數(shù)加起來等于10，前面數(shù)位上的數(shù)加起來都等于9。

師：這就是高度概括。

【賞析】劉老師開門見山地出示了課題，告訴學(xué)生數(shù)學(xué)思維的必要性和重要性，并以“兩個數(shù)相加”為例，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了三個層次的概括：第一層次是探索“兩個三位數(shù)相加等于1000”中兩個三位數(shù)的規(guī)律，在舉例的過程中發(fā)現(xiàn)這樣的例子是無窮無盡的，體會到概括的必要性；第二層次是探索并學(xué)會用數(shù)學(xué)語言描述“兩個三位小數(shù)相加等于1”中兩個三位小數(shù)的特點(diǎn)，體會到概括是數(shù)學(xué)思維的高級形式；第三層次是探索并用數(shù)學(xué)語言描述“兩個多位小數(shù)相加等于1”中兩個多位小數(shù)的特點(diǎn)，體會到高度概括的抽象性。

【片段二：從“乘積最大”中學(xué)會設(shè)數(shù)和分析】

師（出示題目：a＞b＞c，□□×□=）：將a、b、c三個字母填到方框中，就是兩位數(shù)乘一位數(shù)的算式了。怎么填可以使乘積最大？

生1：讓兩位數(shù)和一位數(shù)的差最小，它們的乘積就大了。

生2：bc×a的乘積最大，因?yàn)閍和b是比較大的。

生3：我是把a(bǔ)放在十位上，我認(rèn)為ac×b的乘積最大。

師：現(xiàn)在有了兩種答案——bc×a和ac×b，到底哪個乘積最大呢？

生4：我認(rèn)為bc×a的乘積大。假設(shè)a、b、c分別是3、2、1，bc×a=21×3=63，ac×b=31×2=62。bc×a的乘積大。

師：這個方法叫設(shè)數(shù)，就是給抽象的字母分別設(shè)一個合理的數(shù)，這樣就把問題變簡單了。還有其他方法嗎？

生5：bc×a和ac×b的十位上的數(shù)相乘都是a×b，那么可以只比較個位數(shù)相乘的積。bc×a個位上的數(shù)相乘是c×a，ac×b個位上的數(shù)相乘是c×b，c×a肯定比c×b大，因此bc×a的乘積大。

師：這位同學(xué)看到了算式的本質(zhì)，把一個整體分成了十位數(shù)相乘和個位數(shù)相乘這兩個部分，這種方法叫分析。（出示：分析或設(shè)數(shù)都是解決抽象性問題的途徑）

【賞析】劉老師以兩位數(shù)乘一位數(shù)為切入口，融合了比較大小等知識，引發(fā)學(xué)生有意識地把較大數(shù)放在十位數(shù)相乘部分，得出了兩種結(jié)果。于是，劉老師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究到底哪個乘法算式的乘積最大。學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，利用設(shè)數(shù)和分析兩種方法，得知bc×a的乘積更大。對于這兩種數(shù)學(xué)思維方法，劉老師不是讓學(xué)生喜歡哪種就選擇哪種，而是鼓勵學(xué)生深入思考，突破思維極限，這樣才會讓數(shù)學(xué)思維變得更加完整。

【片段三：從“拼成正方形”中發(fā)展形感】

出示題目：用兩個完全一樣的長方形（ ）拼成一個正方形。（在括號里填“可能”“不可能”或“一定”）

生1：可能。

師：既然可能，那么這兩個長方形應(yīng)具備什么條件呢？

生2：長方形的長是寬的2倍。

出示題目：兩個不完全一樣的長方形（ ）拼成一個正方形。（在括號里填“可能”“不可能”或“一定”）

師：你們覺得括號里該填什么？

（有的學(xué)生說“可能”，有的學(xué)生說“不可能”）

師：怎樣的兩個長方形可以拼成正方形，還得不完全一樣？

生3：這兩個長方形的長是相等的，而且兩個長方形的寬加起來等于長方形的長。

【賞析】劉老師結(jié)合可能性和圖形拼合等數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生先用“可能”“不可能”“一定”等詞語描述某種事件的可能性，再想象怎樣的兩個長方形可以拼成一個正方形，最后用數(shù)學(xué)語言和圖示來描述兩個長方形與一個正方形之間的轉(zhuǎn)化過程。在“拼正方形”的過程中，學(xué)生的空間想象力和概括能力得到進(jìn)一步提升。

【片段四：從“小數(shù)乘法”中學(xué)會排除法】

師：對于題目“（ ）×（ ）=15.08”，有四個人給出了答案，但只有一個人答對了。不用筆算，請判斷他們的答案是否正確。第一個人在括號里分別填4.2、4.7，對嗎？

生1：不對。因?yàn)?5.08 的小數(shù)部分是08，而0.2×0.7=0.14。

師：我們看了小數(shù)部分的末尾就能判斷對錯，這樣的方法叫“看尾數(shù)”。那么，第二個人在括號里分別填3.8、5.16，對嗎？

生2：我認(rèn)為他的答案也是錯誤的。3.8×5.16的小數(shù)部分一定是三位小數(shù)，而15.08 只有兩位小數(shù)。

師：這種方法叫“看位數(shù)”。第三個人在括號里分別填2.6、5.8，對嗎？

生3：整數(shù)部分2 乘5 等于10，而15.08 的整數(shù)部分是15，差得太多了。

生4：我覺得有可能是對的，2.6×5.8 的積的末尾是8，整數(shù)部分相乘雖然得10，加上進(jìn)位上來的數(shù)后也有可能等于15。

師：第四個人在括號里分別填4.2、4.4，如果第四個人的答案是對的，那第三個人的答案就是錯的。這種方法叫排除法。

生5：第四個人答錯了。整數(shù)部分4 乘4 等于16，已經(jīng)大于15了。

【賞析】劉老師結(jié)合小數(shù)乘法的知識，逐步呈現(xiàn)了不同算式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會看尾數(shù)、看位數(shù)、看大數(shù)等方法。面對第三個人的答案時，很多學(xué)生都無法判斷是否正確，劉老師告訴學(xué)生先放下，看看第四個人的答案后再做判斷。在這個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能從多個角度看問題，從而學(xué)會方法。

【片段五：從“正方體體積”中學(xué)會假設(shè)和推理】

師：你還記得正方體的體積與棱長的關(guān)系嗎？要是知道一個正方體的體積，能不能簡單地除以3得到棱長？我將利用3 道題來檢測大家的掌握情況。

出示：棱長是（ ）厘米的正方體，體積是1 立方厘米。

生1：1×1×1=1，棱長是1厘米。

出示：棱長是（ ）厘米的正方體，體積是8 立方厘米。

生2：2×2×2=8，棱長是2厘米。

出示：棱長是（ ）厘米的正方體，體積是1.728立方厘米。

生3：應(yīng)該是零點(diǎn)幾厘米。

生4：不對，零點(diǎn)幾乘零點(diǎn)幾的結(jié)果是零點(diǎn)幾，不可能是一點(diǎn)多。我認(rèn)為應(yīng)該是一點(diǎn)幾厘米。

師：我們可以先想這個正方體的棱長是1 厘米，顯然太小了；如果這個正方體的棱長是2 厘米，又太大了。那么棱長在1 厘米和2 厘米之間，也就是一點(diǎn)幾。具體是一點(diǎn)幾呢？

生5：我認(rèn)為可能是1.2，因?yàn)椤?.728”的最后一位數(shù)是8。

師：棱長就是1.2厘米。在這里我們用了假設(shè)、推理的思維方法，先用到假設(shè)法確定了棱長的范圍，再用推理的方法確定到底是一點(diǎn)幾。

【賞析】劉老師圍繞正方體棱長與體積的知識，由易到難設(shè)計(jì)了三道題，學(xué)生輕松解答了前面兩道題，到第三題時，學(xué)生充分利用前面兩題的結(jié)論縮小了棱長的范圍，再根據(jù)第二題的結(jié)論推理出棱長到底是多少。劉老師用這樣一個題組向?qū)W生傳遞了假設(shè)和推理的數(shù)學(xué)思維方法。

綜上所述，對學(xué)生而言，掌握數(shù)學(xué)知識固然重要，但是只能用在一時，而掌握數(shù)學(xué)思維方法可以解決不同的場景里出現(xiàn)的問題，比如這節(jié)課中的假設(shè)法不僅用來解決“乘積最大”的問題，還用來解決“正方體體積”的問題。雖然數(shù)學(xué)課以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識為主，不可能天天上思維訓(xùn)練課，但是這樣的數(shù)學(xué)課能串聯(lián)起不同單元的數(shù)學(xué)知識，在設(shè)計(jì)時注重練習(xí)的深度和寬度，一切以學(xué)生的思維發(fā)展為準(zhǔn)繩，真正體現(xiàn)以學(xué)生為主的教學(xué)理念。學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)過程中，自己努力挖掘和提煉數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)策略等，不僅能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，還能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得輕松。