“雙減”政策下打造高中數(shù)學(xué)高效課堂的教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“集合的概念”為例

文| 溫樹(shù)禮

在高中數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)聚焦學(xué)生全面發(fā)展，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)，使學(xué)生探索知識(shí)的興趣與綜合學(xué)習(xí)能力得到進(jìn)一步提升，成功構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)課堂。

一、創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題

（一）情境創(chuàng)設(shè)

以情境為載體，帶領(lǐng)學(xué)生思考與探討集合。教師會(huì)借助多媒體等設(shè)備展示非洲大草原的圖片，同時(shí)又播放角馬群吃草、奔跑與休憩的視頻內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生觀察并了解集合。

教師設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：①觀察這張非洲大草原圖片，列舉你知道的集合。②思考“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)，它們組成的圖形一定是圓嗎？”引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，重溫獲取知識(shí)的過(guò)程并懂得如何驗(yàn)證想法。

針對(duì)問(wèn)題①，學(xué)生認(rèn)真觀察并獨(dú)立思考，認(rèn)為斑馬群、角馬群為同一類(lèi)型，是角馬與斑馬集中在一起形成的，同時(shí)憑借發(fā)散思維拓展知識(shí)，認(rèn)為馬群隸屬非洲動(dòng)物，是非洲動(dòng)物的一部分。所以學(xué)生列舉出自己認(rèn)為的集合是斑馬群與角馬群等。針對(duì)問(wèn)題②，學(xué)生從平面與空間的角度入手，明確動(dòng)點(diǎn)軌跡不同，也理解研究特定對(duì)象或者確定研究范圍時(shí)會(huì)用到的集合語(yǔ)言與工具。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)直觀圖片讓學(xué)生看到什么是集合，使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容有大致的了解，保證學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量與效率。）

（二）揭示課題

教師講述《三國(guó)志》中記載的內(nèi)容“布有良馬曰赤兔”，思考下面幾句話(huà)里的“是”表示什么意思：①關(guān)羽千里走單騎的坐騎是赤兔馬；②赤兔馬是紅色的馬；③紅馬是馬。①中“是”表示“=”，請(qǐng)問(wèn)②③中“是”表示什么？

學(xué)生從不同角度思考，感受“是”表示等于，又對(duì)比后兩句并回答出“屬于關(guān)系”，紅馬屬于馬。

教師追問(wèn)：小學(xué)和初中我們接觸過(guò)與集合相關(guān)的知識(shí)，你能舉出一些集合的例子嗎？

學(xué)生思考并回顧小學(xué)和初中的自然數(shù)的集合、整數(shù)集合和負(fù)數(shù)集合等知識(shí)。

教師提問(wèn)：這些集合的研究對(duì)象是什么？

學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)，明白負(fù)數(shù)集合研究的是小于0 的所有數(shù)，整數(shù)集合研究的是所有正整數(shù)、零與負(fù)整數(shù)。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)舊知回顧引入新知，借助回憶幫助學(xué)生快速理解知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效率。）

二、列舉實(shí)例，總結(jié)含義

（一）列舉實(shí)例

通過(guò)豐富的例子去探索數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，從而輕松發(fā)現(xiàn)與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

教師給出思考題：①在單詞element 中出現(xiàn)的字母能否組成一個(gè)集合？e 是集合中的什么？②太陽(yáng)系里有八大行星，它們也組成一個(gè)集合，那么地球是集合中的什么？

學(xué)生在問(wèn)題的指引下明白e 實(shí)際上是集合中的一個(gè)元素，通過(guò)類(lèi)推明白，地球也是集合中的一個(gè)元素，發(fā)現(xiàn)集合論中的關(guān)系是集合與它的元素，它們之間是一種屬于關(guān)系。

教師出示表達(dá)歸屬關(guān)系的符號(hào)∈，讀作“屬于”。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際案例幫助學(xué)生理解集合與元素的關(guān)系，看到數(shù)學(xué)知識(shí)中的集合是抽象概括所得到的，培養(yǎng)其抽象思維能力。）

（二）總結(jié)含義

理解集合的真正含義，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言去總結(jié)簡(jiǎn)單集合的含義。

教師提出思考問(wèn)題：“我們?cè)谒伎紗?wèn)題的時(shí)候，需要把特定對(duì)象放在一起進(jìn)行整體考慮，這些對(duì)象就是我們所了解的什么？”

學(xué)生馬上思考并明確這些對(duì)象就是集合，是這些對(duì)象的總稱(chēng)。

教師：請(qǐng)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言去表達(dá)你所知道的集合，引導(dǎo)學(xué)生正確使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，讓其概括出集合的概念。

學(xué)生嘗試表達(dá)，把一些對(duì)象放在一起考慮，這些對(duì)象組成的是一個(gè)集合，其中的每一個(gè)對(duì)象就是集合的元素。

教師隨之提出新問(wèn)題，知道了集合的概念，那你知道它有什么屬性嗎？比如，在同一集合中的元素相同還是不同？集合中的元素是按順序排列的嗎？

學(xué)生根據(jù)教師提示總結(jié)出：①同一集合中的元素是互不相同的；②集合中的元素沒(méi)有順序，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)集合中的元素是確定的，這也是它的一個(gè)屬性，從而總結(jié)出第三個(gè)屬性，即集合中的元素是確定的。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)思考問(wèn)題，減輕學(xué)習(xí)難度與壓力，讓學(xué)生快速掌握所學(xué)知識(shí)，透徹理解集合的概念與基本屬性，提高整體教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)真正的“提質(zhì)”與“增效”。）

三、探究知識(shí)，實(shí)際運(yùn)用

（一）知識(shí)探究

教師設(shè)計(jì)相應(yīng)的問(wèn)題，飯店里的菜單、班級(jí)學(xué)生成績(jī)名單、計(jì)算機(jī)文件夾里的所有文檔等，它們的相同之處是什么？引導(dǎo)學(xué)生思考集合與元素的關(guān)系，感受列舉法。

學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些在生活中較為常見(jiàn)，而且都是展示出集合中的每一個(gè)元素，思考并推測(cè)這是一種方法。

教師引入列舉法，即把集合中的元素交代清楚，用圖文的方式讓學(xué)生看到列舉法的格式，注意大括號(hào)里是每個(gè)元素的名字，用逗號(hào)進(jìn)行分隔，如{2，4，6，}8 ，同時(shí)布置例題讓學(xué)生學(xué)習(xí)使用列舉法，如用列舉法表示由方程的所有實(shí)數(shù)解構(gòu)成的集合S。

學(xué)生結(jié)合剛才了解的列舉法的格式，思考注意事項(xiàng)，寫(xiě)出集合S，即S= {1，-1 }。教師設(shè)問(wèn)，剛才的情況是可以展示出集合中的所有元素，那么如果遇到無(wú)限集，還可以使用列舉法嗎？如果元素非常多，根本沒(méi)有辦法叫出每一個(gè)元素的名字，那么你會(huì)使用什么辦法描述這個(gè)集合？通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)描述法。

學(xué)生嘗試用列舉法表示無(wú)限集的元素，發(fā)現(xiàn)列舉法并不適合，從而思考其他辦法，考慮將集合元素中的一部分相同元素進(jìn)行組合，再確定集合。

教師糾正學(xué)生的表述，加入“集合中共有元素”“也只有該集合中元素才有的屬性描述出現(xiàn)”，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言總結(jié)描述法的概念。

（設(shè)計(jì)意圖：依托實(shí)例分析與探討，讓學(xué)生了解與學(xué)習(xí)列舉法與描述法兩種方法。在該過(guò)程中，學(xué)生積極探索、思考、嘗試與總結(jié)。）

（二）實(shí)際運(yùn)用

基于對(duì)集合概念與列舉法、描述法的理解，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。

教師引導(dǎo)學(xué)生用正確的方式表示集合，給出例題，由方程的所有整數(shù)解組（x、y）構(gòu)成的集合S。

學(xué)生回顧列舉法與描述法的異同，分析例題中的已知條件，認(rèn)為可以用描述法與列舉法表示：①用描述法表示S，即S={（x，y）|x2+y2=100，x∈Z，y∈Z }；②用列舉法表示，S={（0，10），（0，-10），（10，0），（-10，0），（6，8），（-6，8），（6，-8），（-6，-8），（8，6），（-8，6），（8，-6），（-8，-6）{，靈活運(yùn)用兩種不同方法。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生鞏固集合概念與列舉法、描述法，使學(xué)生準(zhǔn)確與快速地寫(xiě)出集合。）

四、布置作業(yè)，鞏固知識(shí)

（一）設(shè)計(jì)作業(yè)，控制題量

作業(yè)是對(duì)課堂練習(xí)的一種延伸，教師需要結(jié)合“雙減”改變傳統(tǒng)作業(yè)內(nèi)容，精簡(jiǎn)必做內(nèi)容，控制好題量。

教師設(shè)計(jì)鞏固練習(xí)、常規(guī)作業(yè)，豐富作業(yè)類(lèi)型，減少作業(yè)總量。其中鞏固練習(xí)有填空、選擇等內(nèi)容，如填空題：①把集合中的元素一一列舉出來(lái)表示集合的方法叫列舉法；②對(duì)于無(wú)限集，一般采用描述法。鞏固練習(xí)題為用自然語(yǔ)言描述下列集合：①{1，3，5，7，9 }，（答：由數(shù)1，3，5，7，9 組成的集合）；②{x∈R│3x＞2}（答：滿(mǎn)足不等式3x＞2，即x＞的全部實(shí)數(shù)x的集合），通過(guò)填空題幫助學(xué)生快速鞏固知識(shí)，再用鞏固練習(xí)發(fā)散學(xué)生思維，高效完成作業(yè)。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)多種題型滿(mǎn)足學(xué)生不同需要，同時(shí)控制作業(yè)總量，使用經(jīng)典題型來(lái)幫助學(xué)生鞏固與運(yùn)用知識(shí)，減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)，實(shí)現(xiàn)減負(fù)與增效。）

（二）及時(shí)點(diǎn)評(píng)，舉一反三

通過(guò)點(diǎn)評(píng)幫助學(xué)生了解自身優(yōu)勢(shì)與不足，激勵(lì)學(xué)生持續(xù)探索與學(xué)習(xí)。

在點(diǎn)評(píng)時(shí)，教師對(duì)學(xué)生答案進(jìn)行講解與評(píng)價(jià)，如在上述鞏固練習(xí)②中，生1 描述的是滿(mǎn)足不等式3x＞2 的實(shí)數(shù)x的集合，存在描述不全面的問(wèn)題，忽略了x＞和“全部”兩字。教師引導(dǎo)學(xué)生思考如果沒(méi)有“全部”這兩個(gè)字，會(huì)出現(xiàn)什么情況，使學(xué)生明白如果沒(méi)有“全部”，那么就可能是任意的實(shí)數(shù)，并不是一個(gè)完整的集合，從而懂得用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言描述，幫助學(xué)生正確運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。

在完成點(diǎn)評(píng)后，教師設(shè)計(jì)變式題型，平面E上以點(diǎn)A為圓心，半徑為6 的圓上所有點(diǎn)的集合C，請(qǐng)用適當(dāng)?shù)姆椒ê头媳硎綜 的集合。學(xué)生思考并選擇使用描述法，即C= {P∈E││PA│=5 }。

（設(shè)計(jì)意圖：基于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，設(shè)計(jì)高效作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，提升作業(yè)完成效率與質(zhì)量，滿(mǎn)足“雙減”，落實(shí)需要。）

五、教學(xué)反思

（一）運(yùn)用信息技術(shù)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

信息技術(shù)教學(xué)可以有效調(diào)動(dòng)學(xué)生探索知識(shí)的積極性。因此，教師在導(dǎo)入新知識(shí)時(shí)，應(yīng)合理運(yùn)用信息技術(shù)，讓情境創(chuàng)設(shè)更加真實(shí)與立體，幫助學(xué)生快速理解與掌握知識(shí)，提高教與學(xué)的有效性。例如，在創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題這一環(huán)節(jié)，教師用短視頻讓學(xué)生看到更多內(nèi)容，讓集合的概念呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)化與立體性，刺激學(xué)生感官，使學(xué)生集中注意力思考當(dāng)中的集合是什么，主動(dòng)探索集合的內(nèi)涵，由知識(shí)學(xué)習(xí)上升到能力提升。學(xué)生明白人們常使用集合表示部分與整體的關(guān)系，結(jié)合實(shí)例快速與準(zhǔn)確地總結(jié)出集合的概念。

（二）優(yōu)化課堂提問(wèn)，促進(jìn)思維發(fā)散

在課堂提問(wèn)環(huán)節(jié)，教師要圍繞“雙減”政策落實(shí)需要，引入并優(yōu)化問(wèn)題，讓知識(shí)講解過(guò)程有序進(jìn)行，提高教學(xué)效率，同時(shí)學(xué)生思維也在問(wèn)題探索中得到拓展，通過(guò)主動(dòng)學(xué)習(xí)掌握知識(shí)。那么，在列舉實(shí)例，總結(jié)含義這一環(huán)節(jié)，教師不僅要根據(jù)思考題進(jìn)行提問(wèn)，還應(yīng)設(shè)計(jì)其他問(wèn)題：①思考什么情況下必須使用列舉法，引導(dǎo)學(xué)生回顧之前所學(xué)的列舉法概念，思考列舉法的特點(diǎn)；②在不適宜用列舉法的情況下，探討描述法的重要性。教師通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生真正理解集合、列舉法和描述法。在問(wèn)題指引下，學(xué)生高效習(xí)得集合的概念和重要性，節(jié)省理論知識(shí)理解與學(xué)習(xí)的時(shí)間，讓課堂學(xué)習(xí)更加高效。

（三）借助小組合作，構(gòu)建高效課堂

在知識(shí)探究環(huán)節(jié)，教師應(yīng)巧用小組合作的方式，讓學(xué)生在探討過(guò)程中自主分析、判斷、學(xué)習(xí)、交流，將學(xué)生討論獲得的內(nèi)容與教師講解內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，高效完成新知識(shí)學(xué)習(xí)。例如，在探究知識(shí)，實(shí)際運(yùn)用中，教師采用小組合作，由學(xué)生在小組方式下探討怎樣表示不等式x-7＜3 的解集？各小組開(kāi)始回顧所學(xué)的不等式相關(guān)知識(shí)，通過(guò)探討發(fā)現(xiàn)解集中元素的特點(diǎn)，共同驗(yàn)證x是實(shí)數(shù)，同時(shí)x＜10，組員分享解集表示的看法，最終統(tǒng)一答案，即解集表示為{x∈R│x＜10 }。學(xué)生通過(guò)小組合作輕松掌握知識(shí)并能夠在后續(xù)階段合理運(yùn)用。

（四）組織實(shí)踐活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效

在“雙減”政策背景下，教師一方面要做好作業(yè)內(nèi)容選擇，另一方面要?jiǎng)?chuàng)新作業(yè)形式，如采用實(shí)踐作業(yè)幫助學(xué)生鞏固與運(yùn)用知識(shí)，讓作業(yè)更加有探究意義，不再采用題海戰(zhàn)術(shù)達(dá)到鞏固目的。教師可以布置如下作業(yè)：請(qǐng)你閱讀相關(guān)資料，用簡(jiǎn)單的報(bào)告闡述你對(duì)集合的認(rèn)識(shí)。學(xué)生會(huì)利用資料完成學(xué)習(xí)，借助互聯(lián)網(wǎng)、自主學(xué)習(xí)、小組合作等方式提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，真正實(shí)現(xiàn)減負(fù)與增效。