加強(qiáng)尺規(guī)作圖教學(xué) 發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)*

丁銀杰 (江蘇省蘇州市草橋中學(xué)校 215031)

尺規(guī)作圖是“圖形與幾何”領(lǐng)域的課程內(nèi)容．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《課標(biāo)2022版》)強(qiáng)化了尺規(guī)作圖的教學(xué)功能與育人價值,其第四學(xué)段的學(xué)業(yè)要求是:“經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程,增強(qiáng)動手能力,能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形,理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法,發(fā)展空間觀念和空間想象力．”[1]

1 加強(qiáng)基本作圖教學(xué),理解尺規(guī)作圖原理

尺規(guī)作圖是指用無刻度直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖．無刻度直尺不具有度量長度的功能,用來經(jīng)過兩點(diǎn)作線(直線、射線或線段)．圓規(guī)用來作弧,圓規(guī)兩腳可以“拾取”線段長度或兩點(diǎn)之間的距離．尺規(guī)作圖關(guān)鍵是確定“線與線”“線與弧”或“弧與弧”的交點(diǎn),從而構(gòu)造出符合要求的圖形．

以5個基本作圖為例,剖析一下尺規(guī)作圖原理．關(guān)于基本作圖,教材有詳細(xì)而規(guī)范的作法．作出圖形并不難,理解其中的數(shù)學(xué)原理才是核心．建議在“全等三角形”章后增加1節(jié)“基本作圖”專題課,在體現(xiàn)全等三角形在數(shù)學(xué)內(nèi)部應(yīng)用的同時,幫助學(xué)生系統(tǒng)建構(gòu)基本作圖的認(rèn)知(作法與原理)．

在“作一條線段等于已知線段”中,圓規(guī)“拾取”線段長度作為圓弧的半徑,依據(jù)的是兩點(diǎn)之間的距離定義(兩點(diǎn)之間線段的長度)．“作一個角等于已知角”“作一個角的平分線”“作一條線段的垂直平分線”及“過一點(diǎn)作已知直線的垂線”,依據(jù)的是全等三角形的判定,其中用圓規(guī)作弧實質(zhì)是根據(jù)“同弧的半徑相等”構(gòu)造“相等線段”．基本作圖教學(xué)要讓學(xué)生親歷作圖過程,明白作法含義,充分說理論證,理解數(shù)學(xué)原理．

為幫助學(xué)生進(jìn)一步理解基本作圖原理,可以適度設(shè)計一些開放探究活動,如下面的探究:

用直尺和圓規(guī)作∠AOB的平分線OP,并說明理由．

圖1呈現(xiàn)的三種有別于教材的作法,是學(xué)生自主探究的成果．教師應(yīng)因勢利導(dǎo),對各種作法進(jìn)行比較研究,在感受教材作法簡潔的同時,感受它們的共同之處:基于角的軸對稱性直覺,構(gòu)造全等三角形,得出兩個相等的角,從而更好地理解基本作圖的數(shù)學(xué)原理．

圖1

熟練掌握基本作圖技能,深刻理解基本作圖的原理,是進(jìn)一步基于尺規(guī)作圖探究圖形性質(zhì)的重要基礎(chǔ)．

2 加強(qiáng)組合作圖教學(xué),感受尺規(guī)作圖價值

基本作圖是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ),尺規(guī)作圖的價值在于應(yīng)用,實際應(yīng)用多為基于一定問題情境的組合作圖．《課標(biāo)2022版》關(guān)于尺規(guī)作圖的內(nèi)容,除5個基本作圖(其中“作一條線段等于已知線段”前移至第二學(xué)段)外,還包含“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”“已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形”“過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形”及“*過圓外一點(diǎn)作圓的切線(注:標(biāo)有‘*’號的內(nèi)容為選學(xué)內(nèi)容,不作為考試內(nèi)容)”等多個基本作圖的“組合體”(簡稱為“組合作圖”)．

組合作圖一般以“操作”或“例題”的形式整合在教材各個章節(jié)之中,是基本尺規(guī)作圖在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用,用來幫助學(xué)生理解、掌握相應(yīng)的課程內(nèi)容．如“已知兩邊及其夾角作三角形”是探索三角形全等的條件——邊角邊,獲得“基本事實:兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等”認(rèn)知的重要載體．蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》(八年級上冊)關(guān)于該尺規(guī)作圖內(nèi)容設(shè)計如下:

按下列作法,用直尺和圓規(guī)作△ABC,使∠A=α,AB=a,AC=b．

作法圖形1.作∠MAN=α;2.在射線AM,AN上分別作線段AB=a,AC=b;3.連接BC.△ABC就是所求的三角形.

組合作圖“已知兩邊及其夾角作三角形”是“作一個角等于已知角”與“作一條線段等于已知線段”兩種基本作圖的組合,作法以基本作圖為單位“模塊化”呈現(xiàn),簡潔明了．實際教學(xué)中,可以將其設(shè)計成適度開放的問題,以便暴露學(xué)生真實思維．進(jìn)一步可以對其進(jìn)行變式探究,設(shè)計如下問題:

用直尺和圓規(guī)作△ABC,使∠A=α,AB=a,BC=b．

通過個人自主作圖,小組合作交流,不難在組合作圖實踐的基礎(chǔ)上獲得“兩邊及其一邊的對角不能唯一確定三角形”(圖2)的結(jié)論,即“邊邊角”不能作為三角形全等的判定方法,積累用“舉反例”說明問題不成立的基本經(jīng)驗．

圖2

繼續(xù)通過作圖探究,可以得到當(dāng)α、線段a不變時,△ABC的存在性及個數(shù)由線段b決定．如 圖3,設(shè)點(diǎn)B到射線AN的距離為d,當(dāng)b

圖3

組合作圖集中體現(xiàn)了基本作圖在圖形認(rèn)識中的重要價值;組合作圖教學(xué)有助于學(xué)生初步形成基于作圖的探究能力,發(fā)展空間觀念與直觀想象能力．

3 加強(qiáng)開放作圖教學(xué),明晰作圖基本思路

除根據(jù)作法作圖外,尺規(guī)作圖問題一般都 具有開放性,其一般思路為:構(gòu)思圖形—設(shè)計流程—作圖驗證．構(gòu)思圖形就是借助于想象,勾勒出草圖,用分析法執(zhí)果索因,厘清圖中各元素之間需要滿足的數(shù)量和位置關(guān)系;設(shè)計流程就是根據(jù)構(gòu)思圖形中各元素滿足的數(shù)量和位置關(guān)系,運(yùn)用綜合法,調(diào)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識由因?qū)Ч?確定作圖的基本步驟;作圖驗證就是將設(shè)計流程中的基本步驟具體化,分解成基本作圖串,依次作出相應(yīng)圖形,并加以驗證．當(dāng)然這一過程不一定一帆風(fēng)順,可能需要經(jīng)歷多次調(diào)整,甚至推倒重來．即便是成功的思路,也有可以優(yōu)化的地方．以用尺規(guī)作圖作線段的黃金分割點(diǎn)為例:

已知:線段AB(圖4)．

圖4 圖5

求作:線段AB的黃金分割點(diǎn)C,且AC>BC．

作圖驗證:如圖6,(1)作線段AB的垂直平分線,交AB于點(diǎn)E;(2)過點(diǎn)B作線段AB的垂線BM,在射線BM上作線段BD=BE;(3)連接AD,在線段AD上作線段DF=BD;(4)在線段AB上作線段AC=AF．

圖6 圖7

點(diǎn)C即為線段AB的黃金分割點(diǎn)．

證明略．

反思一下作圖過程,不難發(fā)現(xiàn),充分運(yùn)用線段AB的垂直平分線功能,可以對上述作圖方案進(jìn)行優(yōu)化重組．作法如下:

如圖7,(1)作線段AB的垂直平分線ME,交AB于點(diǎn)E;(2)在射線EM上作線段DE=AB;(3)連接AD,在線段AD上作線段DF=AE; (4)在線段AB上作線段AC=AF．

點(diǎn)C即為線段AB的黃金分割點(diǎn)．

證明略．

開放作圖側(cè)重策略開放,圍繞既定目標(biāo)圖形,由結(jié)論回溯條件,設(shè)計各種可行方案,并進(jìn)行優(yōu)化迭代．開放作圖有利于培養(yǎng)學(xué)生基于圖形直觀的理性思維,發(fā)展分析和解決問題的能力．

4 加強(qiáng)應(yīng)用作圖教學(xué),培育應(yīng)用創(chuàng)新意識

數(shù)學(xué)來源于對生活的抽象,又通過模型作用于生活,有著廣泛的應(yīng)用性．基于生活情境,通過抽象將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化,基于數(shù)學(xué)分析,用尺規(guī)作圖構(gòu)建幾何模型,運(yùn)用模型思想分析、解決問題,是尺規(guī)作圖應(yīng)用教學(xué)的基本路徑．加強(qiáng)基于真實情境的應(yīng)用作圖教學(xué),可以有效發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng),培育學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識．以下面的問題為例:

如圖8,l1,l2為兩條互相垂直的公路,點(diǎn)A為工廠,現(xiàn)擬新建倉庫B,用來儲存、轉(zhuǎn)運(yùn)工廠A生產(chǎn)的產(chǎn)品．若要求倉庫B到公路l1,l2和工廠A的距離相等,試確定倉庫B的位置．

圖8 圖9

數(shù)學(xué)化:如圖9,設(shè)l1,l2交于點(diǎn)O,連接AB,再由點(diǎn)B分別向l1,l2作垂線,垂足分別為C,D,則由倉庫B到公路l1,l2和工廠A的距離相等,可得AB=BC=BD,即A,C,D三點(diǎn)都在⊙B上．故問題轉(zhuǎn)化為如何確定與直線l1,l2都相切且經(jīng)過點(diǎn)A的圓的圓心B的位置．

圖10

具體作法如下:

如圖11,(1)作l1,l2夾角的平分線OM;(2)作射線OA,在OA上作線段AP=AO;(3)過點(diǎn)A作AO的垂線AN,在射線AN上作線段AQ=AO;(4)連接PQ,以點(diǎn)P為圓心、PQ長為半徑作弧,交射線OM于點(diǎn)B,連接PB,AB．

圖11

點(diǎn)B即為所求的點(diǎn)．

會數(shù)學(xué)化(抽象)、會構(gòu)造(建模)是創(chuàng)新意識的典型行為表現(xiàn),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程的素養(yǎng)導(dǎo)向和育人價值．基于真實情境提出真實問題,用尺規(guī)作圖方式進(jìn)行探究,是提升學(xué)生問題解決能力、發(fā)展幾何直觀、培育應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的重要途徑．

加強(qiáng)尺規(guī)作圖教學(xué)研究,引領(lǐng)學(xué)生基于尺規(guī)作圖進(jìn)行數(shù)學(xué)探究,是實踐貫徹新課標(biāo)理念的重要舉措,可以調(diào)動學(xué)生的自主學(xué)習(xí)熱情,增強(qiáng)學(xué)生動手實踐能力,發(fā)展學(xué)生推理能力和幾何直觀,培育學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識．