一道斜面上物體的動(dòng)力學(xué)問題解析與變式

董廷燦

(安徽省明光中學(xué))

斜面上物體的動(dòng)力學(xué)問題,一直是高中物理力學(xué)中的重難點(diǎn),在高考和平時(shí)的考試中經(jīng)常會(huì)涉及。本文通過一道典型例題,求解分析并加以變式,供各位老師和同學(xué)們參考。

【原題】一斜劈靜止于粗糙的水平地面上,在其斜面上放一滑塊m,若給m一個(gè)向下的初速度v0,則m正好保持勻速下滑。如圖1所示,現(xiàn)在m下滑的過程中再加上一個(gè)力,則以下說法正確的是

圖1

( )

A.在m上加一豎直向下的力F1,則m將保持勻速運(yùn)動(dòng),M對(duì)地沒有摩擦力的作用

B.在m上加一個(gè)沿斜面向下的力F2,則m將做加速運(yùn)動(dòng),M對(duì)地有水平向左的靜摩擦力的作用

C.在m上加一個(gè)水平向右的力F3,則m將做減速運(yùn)動(dòng),在m停止前M對(duì)地有向右的靜摩擦力的作用

D.無論在m上加什么方向的力,在m停止前M對(duì)地都無靜摩擦力的作用

一、問題的解決

1.物體沿斜面勻速下滑的條件

當(dāng)物體放在傾角為θ的斜面上剛好能勻速下滑,對(duì)其受力分析如圖2所示。

圖2

由平衡條件可得f=mgsinθ=μFN,FN=mgcosθ,解得μ=tanθ。

由上式可以得出:如果一個(gè)物體恰好可以在斜面上勻速下滑,那么減小或者增大物體的質(zhì)量后物體照樣可以恰好在斜面上勻速下滑(見圖3),即物體能沿斜面下滑與物體的質(zhì)量無關(guān),只與物體和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)有關(guān)。

圖3 原來能沿斜面勻速下滑的物體上再輕放一個(gè)重物,仍勻速下滑

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。對(duì)物塊和斜面系統(tǒng)受力分析如圖4所示。

圖4

由平衡條件得F地=(M+m)g,f地=0。

也可以直接對(duì)斜面(除去地面的摩擦力后)進(jìn)行受力分析如圖5所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關(guān)系,從而確定f地的方向。

圖5

【解析】因?yàn)閒cosθ=μFNcosθ=tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地=0;地面對(duì)斜面的支持力F地=FNcosθ+fsinθ+Mg=(M+m)g。

2.給原來勻速下滑的物體施加一個(gè)豎直向下的力,物體仍能勻速下滑

給原來勻速下滑的物體施加一個(gè)豎直向下的力F1,對(duì)物體進(jìn)行受力分析如圖6所示。

圖6

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=(mg+F1)cosθ

在沿著斜面方向上,得

f=μFN=(mg+F1)tanθcosθ=(mg+F1)sinθ

它恰好等于重力和力F1沿斜面向下的分力的合力,因此物體恰能沿斜面勻速下滑(見圖7)。

圖7 給原來能沿斜面勻速下滑的物體上施加一個(gè)豎直向下的力,仍勻速下滑

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。對(duì)物塊和斜面系統(tǒng)受力分析如圖8所示。

圖8

由平衡條件得F地=F1+(M+m)g>(M+m)g,f地=0。

也可以直接對(duì)斜面(除去地面的摩擦力后)進(jìn)行受力分析如圖9所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關(guān)系,從而確定f地的方向。

圖9

【解析】因?yàn)閒cosθ=μFNcosθ=tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地=0;地面對(duì)斜面的支持力F地=FNcosθ+fsinθ+Mg=F1+(M+m)g。

3.給原來勻速下滑的物體施加一個(gè)沿斜面向下的力,物體將勻加速下滑

給原來勻速下滑的物體施加一個(gè)沿斜面向下的力F2,對(duì)物體進(jìn)行受力分析如圖10所示。

圖10

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ

結(jié)合摩擦力和正壓力的關(guān)系f=μFN

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

mgsinθ+F2-f=F2=ma

因此物體沿斜面勻加速下滑(見圖11)。

圖11 給原來能沿斜面勻速下滑的物體上施加一沿斜面向下的力,物體將勻加速下滑

因?yàn)樾泵娴氖芰η闆r沒有發(fā)生改變,所以與不加力F2的情況完全相同。即F地=(M+m)g,f地=0。

4.給原來勻速下滑的物體施加一個(gè)水平向右的力,物體將勻減速下滑

給原來勻速下滑的物體施加一個(gè)水平向右的力F3,對(duì)物體進(jìn)行受力分析如圖12所示。

圖12

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ+F3sinθ

結(jié)合摩擦力和正壓力的關(guān)系

f=μFN=μ(mgcosθ+F3sinθ)

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

mgsinθ-F3cosθ-f=ma

圖13 給原來能沿斜面勻速下滑的物體上施加一水平向右的力,物體將勻減速下滑

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。因?yàn)槲飰K和斜劈的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不一致,所以不建議選取整體作為參考系。對(duì)斜面(除去地面的摩擦力后)進(jìn)行受力分析如圖14所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關(guān)系,從而確定f地的方向。

圖14

【解析】因?yàn)閒cosθ=μFNcosθ=tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地=0;地面對(duì)斜面的支持力F地=FNcosθ+fsinθ+Mg=(M+m)g+F3tanθ>(M+m)g。

【點(diǎn)評(píng)】通過以上討論可得:當(dāng)物塊勻速下滑時(shí),在物塊上施加不同方向的外力F,有可能會(huì)改變物塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);但在物塊向下運(yùn)動(dòng)的過程中,斜面的受力個(gè)數(shù)相同,即只受重力、物塊對(duì)斜面的壓力、物塊對(duì)斜面的摩擦力、地面的支持力,不受地面的摩擦力。故原題選AD。

二、問題的延伸

1.斜面上的物體在未加力F時(shí)勻加速下滑

未加力F時(shí),且當(dāng)物體沿斜面勻加速下滑時(shí),突然加上如圖1所示的三種力時(shí)情況又如何呢?

(1)物體沿斜面勻加速下滑的條件

當(dāng)物體放在傾角為θ的斜面上以加速度a勻加速下滑時(shí),對(duì)其受力分析,由牛頓第二定律可得mgsinθ-μmgcosθ=ma,解得a=g(sinθ-μcosθ)>0;進(jìn)一步得到μ

由上式可以得出:如果一個(gè)物體沿斜面方向勻加速下滑,那么減小或者增大物體的質(zhì)量后,物體照樣以同樣的加速度沿斜面方向勻加速下滑(見圖15),即物體能沿斜面下滑與物體的質(zhì)量無關(guān),只與物體和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)有關(guān)。

圖15 原來能沿斜面勻加速下滑的物體上再輕放一個(gè)重物,仍能以相同加速度勻加速下滑

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。先把物塊的加速度水平、豎直分解如圖16所示,再對(duì)物塊和斜面系統(tǒng)受力分析如圖17所示。

圖16

圖17

對(duì)系統(tǒng)由牛頓第二定律得

豎直方向上(M+m)g-F地=masinθ

解得F地=(M+m)g-masinθ

水平方向上f地=macosθ

也可以直接對(duì)斜面(除去地面的摩擦力后)進(jìn)行受力分析如圖18所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關(guān)系,從而確定f地的方向。

圖18

【解析】因?yàn)閒cosθ=μFNcosθ

(2)給原來勻加速下滑的物體施加一個(gè)豎直向下的力,物體將以更大的加速度勻加速下滑

給原來勻加速下滑的物體施加一個(gè)豎直向下的力F1,對(duì)物體進(jìn)行受力分析,由牛頓第二定律可得

(mg+F1)sinθ-f=ma′

FN-(mg+F1)cosθ=0

f=μFN

由上面三式解得

這說明物體的加速度與豎直向下施加的力F1有關(guān),施力后物體的加速度將增大,與給物體增加質(zhì)量不再等價(jià)。

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。先把物塊的加速度水平、豎直分解如圖19所示,再對(duì)物塊和斜面系統(tǒng)受力分析如圖20所示。

圖19

圖20

對(duì)系統(tǒng)由牛頓第二定律得

豎直方向上(M+m)g+F1-F地=ma′sinθ,

解得F地=(M+m)g+F1-ma′sinθ

水平方向上f地=ma′cosθ

也可以直接對(duì)斜面(除去地面的摩擦力后)進(jìn)行受力分析如圖21所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關(guān)系,從而確定f地的方向。

圖21

【解析】因?yàn)閒cosθ=μFNcosθ

(3)給原來勻加速下滑的物體施加一個(gè)沿斜面向下的力,物體將以更大的加速度勻加速下滑

給原來勻加速下滑的物體施加一個(gè)沿斜面向下的力F2,對(duì)物體進(jìn)行受力分析,

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ

結(jié)合摩擦力和正壓力的關(guān)系f=μFN

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

mgsinθ+F2-f=ma′

由以上三式解得

這說明物體的加速度與沿斜面向下施加的力F2有關(guān),施力后物體的加速度將增大。

因?yàn)樾泵娴氖芰η闆r沒有發(fā)生改變,所以與不加力F的情況完全相同,即F地=(M+m)g-masinθ<(M+m)g;f地=ma′cosθ,方向水平向左。

(4)給原來勻加速下滑的物體施加一個(gè)水平向右的力,物體可能沿斜面減速、勻速或者以更小的加速度勻加速下滑

給原來勻加速下滑的物體施加一個(gè)水平向右的力F3,對(duì)物體進(jìn)行受力分析。

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ+F3sinθ

結(jié)合摩擦力和正壓力的關(guān)系

f=μFN=μ(mgcosθ+F3sinθ)

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

mgsinθ-F3cosθ-f=ma′

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。

【解析】因?yàn)閒cosθ=μFNcosθ

【點(diǎn)評(píng)】通過以上討論可得:當(dāng)物塊勻加速下滑時(shí),在物塊上施加不同方向的外力F,有可能會(huì)改變物塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);但在物塊向下運(yùn)動(dòng)的過程中,斜面的受力個(gè)數(shù)相同,即受重力、物塊對(duì)斜面的壓力、物塊對(duì)斜面的摩擦力、地面的支持力和地面的摩擦力;地面對(duì)斜面的摩擦力方向不變。

2.斜面上的物體在未加力F時(shí)勻減速下滑

未加力F,且當(dāng)物體沿斜面勻減速下滑時(shí),突然加上如圖1所示的三種力時(shí)情況又如何呢?

(1)物體沿斜面勻減速下滑的條件

當(dāng)物體放在傾角為θ的斜面上以加速度a勻減速下滑時(shí),對(duì)其受力分析,由牛頓第二定律可得μmgcosθ-mgsinθ=ma,解得a=g(μcosθ-sinθ)>0;進(jìn)一步得到μ>tanθ。

由上式可以得出:如果一個(gè)物體沿斜面方向勻減速下滑,那么減小或者增大物體的質(zhì)量后,物體照樣以同樣的加速度沿斜面方向勻減速下滑(見圖22),即物體能沿斜面下滑與物體的質(zhì)量無關(guān),只與物體和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)有關(guān)。

圖22 原來能沿斜面勻減速下滑的物體上再輕放一個(gè)重物,仍能以相同加速度勻減速下滑

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。先把物塊的加速度沿水平、豎直方向分解如圖23所示,再對(duì)物塊和斜面系統(tǒng)受力分析如圖24所示。

圖23

圖24

對(duì)系統(tǒng)由牛頓第二定律得

豎直方向上F地-(M+m)g=masinθ,

解得F地=(M+m)g+masinθ

水平方向上f地=macosθ

也可以直接對(duì)斜面(除去地面的摩擦力后)進(jìn)行受力分析如圖25所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關(guān)系,從而確定f地的方向。

圖25

【解析】因?yàn)閒cosθ=μFNcosθ>tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地≠0且方向水平向右。

(2)給原來勻減速下滑的物體施加一個(gè)豎直向下的力,物體將以更大的加速度勻減速下滑

給原來勻減速下滑的物體施加一個(gè)豎直向下的力F1,對(duì)物體進(jìn)行受力分析,由牛頓第二定律可得

f-(mg+F1)sinθ=ma′

FN-(mg+F1)cosθ=0

f=μFN

由上面三式解得

這說明物體的加速度與豎直向下施加的力F1有關(guān),施力后物體的加速度將增大,與給物體增加質(zhì)量不再等價(jià)。

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。先把物塊的加速度水平、豎直分解如圖26所示,再對(duì)物塊和斜面系統(tǒng)受力分析如圖27所示。

圖26

圖27

對(duì)系統(tǒng)由牛頓第二定律得

豎直方向上F地-(M+m)g-F1=ma′sinθ,

解得F地=(M+m)g+F1+ma′sinθ

水平方向上f地=ma′cosθ

也可以直接對(duì)斜面(除去地面的摩擦力后)進(jìn)行受力分析如圖28所示,比較fcosθ與FNsinθ的大小關(guān)系,從而確定f地的方向。

圖28

【解析】因?yàn)閒cosθ=μFNcosθ>tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地≠0且方向水平向右。

(3)給原來勻減速下滑的物體施加一個(gè)沿斜面向下的力,物體可能沿斜面加速、勻速或者以更小的加速度勻減速下滑

給原來勻減速下滑的物體施加一個(gè)沿斜面向下的力F2,對(duì)物體進(jìn)行受力分析,由牛頓第二定律得

μmgcosθ-mgsinθ-F2=ma′

因?yàn)樾泵娴氖芰η闆r沒有發(fā)生改變,所以與不加力F的情況完全相同,即F地=(M+m)g+masinθ>(M+m)g;f地=macosθ,方向水平向右。

(4)給原來勻減速下滑的物體施加一個(gè)水平向右的力,物體將以更大的加速度勻減速下滑

給原來勻減速下滑的物體施加一個(gè)水平向右的力F3,對(duì)物體進(jìn)行受力分析。

在垂直斜面方向上,由平衡條件可得

FN=mgcosθ+F3sinθ

結(jié)合摩擦力和正壓力的關(guān)系

f=μFN=μ(mgcosθ+F3sinθ)

在沿著斜面方向上,由牛頓第二定律得

F3cosθ+f-mgsinθ=ma′

解得

這說明物體的加速度與水平向右施加的力F3有關(guān),施力后物體的加速度將增大。

接下來繼續(xù)討論斜面體受到地面的支持力與摩擦力情況。

【解析】因?yàn)閒cosθ=μFNcosθ>tanθ·FNcosθ=FNsinθ,所以f地≠0且方向水平向右;地面對(duì)斜面的支持力F地=FNcosθ+fsinθ+Mg。

【點(diǎn)評(píng)】通過以上討論可得:當(dāng)物塊勻減速下滑時(shí),在物塊上施加不同方向的外力F,有可能會(huì)改變物塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);但在物塊向下運(yùn)動(dòng)的過程中,斜面的受力個(gè)數(shù)相同,即受重力、物塊對(duì)斜面的壓力、物塊對(duì)斜面的摩擦力、地面的支持力和地面的摩擦力;地面對(duì)斜面的摩擦力方向不變。

三、另辟蹊徑

若只需定性判斷地面對(duì)斜面體的摩擦力方向,則可通過摩擦角的角度去分析。

1.什么是摩擦角

當(dāng)物體處于滑動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí),靜摩擦力Ff達(dá)到最大值Fm,此時(shí)支持力FN與最大靜摩擦力(或滑動(dòng)摩擦力)Fm的合力FR稱為接觸面對(duì)物體的全反力,FR方向與FN方向的夾角φ稱為摩擦角。

2.利用摩擦角解決斜面定性分析問題

圖29

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