拋物線背景下定角問題探究

高冬

拋物線背景下根據(jù)定角（角的度數(shù)或三角函數(shù)值已知）求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)是中考的熱點(diǎn). 此類問題考查角度靈活，解題方法多樣，具有較強(qiáng)的綜合性. 針對(duì)角的頂點(diǎn)為定點(diǎn)的情況，本文從“構(gòu)圖—轉(zhuǎn)化”的角度，歸納出解決此類問題的一類通法.

考點(diǎn)提煉

考點(diǎn)1：定角的一邊與x軸或y軸平行（或在x軸、y軸上）

構(gòu)圖思路：過動(dòng)點(diǎn)作x軸或y軸的垂線，構(gòu)造直角三角形.

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y = -x2 + 2x + 3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)tan∠COP = [12]時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

解題思路：OC邊在y軸上，過動(dòng)點(diǎn)P作y軸的垂線，構(gòu)造直角三角形. 如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，作PE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，-m2 + 2m + 3），在Rt△OPE中利用tan∠COP = [12]列方程求解. 當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，如圖2，同法可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo). 答案：2 - [7]或[3].

易錯(cuò)點(diǎn)：審題不清，導(dǎo)致丟解；坐標(biāo)與點(diǎn)到線的距離混淆，如在例1中點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，將PE的長表示為m.

考點(diǎn)2：定角的邊與x軸或y軸不平行

構(gòu)圖思路：先以定角的頂點(diǎn)和已知邊上的一個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的線段為直角邊，構(gòu)造以定角為三角形內(nèi)角的直角三角形，再以構(gòu)造的直角三角形為基礎(chǔ)構(gòu)造“弦圖”.

例2 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y = -x2 + 2x + 3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線頂點(diǎn)，連接OD，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)∠ODP = 45°時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

解題思路：定角的邊與坐標(biāo)軸不平行，構(gòu)“弦圖”. 如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在OD的右側(cè)時(shí)，先構(gòu)造以O(shè)D為直角邊、∠ODP為內(nèi)角的直角三角形，即作OE⊥OD，交DP的延長線于點(diǎn)E；再以Rt△ODE為基礎(chǔ)構(gòu)造“弦圖”，即分別過點(diǎn)E，D作EF⊥y軸，DG⊥y軸，垂足分別為點(diǎn)F，G，則可證△ODG≌△EOF，所以O(shè)G = FE，DG = OF. 因?yàn)辄c(diǎn)D坐標(biāo)可求，所以O(shè)G，DG可求，所以可得點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式，最后利用直線DE與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo). 當(dāng)點(diǎn)P在OD的左側(cè)時(shí)，如圖5，用同樣的思路可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo). 答案： [83]或[25].

易錯(cuò)點(diǎn)：審題不清，導(dǎo)致丟解，比如在例2中只考慮點(diǎn)P在OD的右側(cè).

例3 在例2中，若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接CD，當(dāng)tan∠DCP = 2時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解題思路：構(gòu)圖方式及求解思路同上，如圖6，通過構(gòu)造弦圖，根據(jù)Rt△CDF∽R(shí)t△DEG求點(diǎn)E的坐標(biāo). 答案： [1，83] .

解題要點(diǎn)：構(gòu)造弦圖，列方程求解.

當(dāng)定角不是特殊角時(shí)（本文把30°，45°，60°的角稱為特殊角），一般先根據(jù)隱含的已知條件將定角割補(bǔ)為特殊角，再構(gòu)造直角三角形用三角函數(shù)列方程求解.

例4 在例2中，連接BC，點(diǎn)P在BC右側(cè)，當(dāng)∠BCP = 75°時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P 的橫坐標(biāo).

解題思路：75°角不是特殊角，可挖掘題中隱含條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 如圖7，由y = -x2 + 2x + 3可得OB = OC，所以∠OCB = ∠OBC = 45°，因?yàn)椤螧CP = 75°，所以∠OCP = 120°，過點(diǎn)P作PE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，則∠PCE = 60°，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，-m2 + 2m + 3），在Rt△CPE中，利用tan∠PCE = [PECE=3]列方程求解. 答案： [6-33].

例5 在例2中，連接CD，若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，當(dāng)∠DCP = 15°時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

解題思路：15°角不是特殊角，挖掘題中隱含條件，添加輔助線構(gòu)圖，將15°角轉(zhuǎn)化為特殊角. 根據(jù)已知條件，可求得點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），如圖8，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，則DF = CF = 1，所以∠DCF = 45°，所以∠PCF = ∠DCP + ∠DCF = 60°，根據(jù)“定角的一邊與x軸或y軸平行（或在x，y軸上）”的構(gòu)圖思路，過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，在Rt△CPE中利用三角函數(shù)列方程求解. 答案：[6-33].

解題要點(diǎn)：構(gòu)造直角三角形，靈活轉(zhuǎn)化.

真題精講

例6 （2022·湖北·黃岡）拋物線y = x2 - 4x與直線y = x交于原點(diǎn)O和點(diǎn)B，與x軸交于另一點(diǎn)，頂點(diǎn)為D.

（1）直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖9，連接OD，點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tan∠PDO = [12]時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解題思路：（1）由x2 - 4x = x可求點(diǎn)B坐標(biāo)；由拋物線解析式y(tǒng) = x2 - 4x可求點(diǎn)D坐標(biāo).

（2）點(diǎn)P是x軸上動(dòng)點(diǎn)，分類討論：如圖10，當(dāng)點(diǎn)P在OD的右側(cè)時(shí)，由點(diǎn)D（2，-4）可直接過點(diǎn)D作x軸的垂線；如圖11，當(dāng)點(diǎn)P在OD的左側(cè)時(shí)，∠ODF沒有與坐標(biāo)軸平行的邊，可依托已知的OD構(gòu)造Rt△ODF，再構(gòu)造弦圖，根據(jù)△OFG∽△DOP1求出點(diǎn)F坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線DF的解析式，然后把x = 0代入直線DF的解析式即可求出點(diǎn)P2的坐標(biāo).

答案：（1）B（5，5），D（2，-4）；（2）P1（2，0），P2 [-103，0].

總結(jié)提升

總體來看，解決拋物線背景下的定角問題，要關(guān)注以下問題.

1. 要有數(shù)形結(jié)合的思想，要善于挖掘隱含條件. 比如，在拋物線y = -x2 + 2x + 3的背景中要注意隱含的等腰直角三角形.

2. 要有分類討論的思想，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)位置不明確時(shí)，注意分類討論.

3. 要有方程思想，將求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為方程問題.

4. 無論定角有無與坐標(biāo)軸平行的邊或有無邊落在坐標(biāo)軸上，構(gòu)圖的關(guān)鍵都是向x軸或y軸作垂線，通過添加垂線進(jìn)而構(gòu)造弦圖或直角三角形求解.

（作者單位：興城市第三初級(jí)中學(xué)）