主元法在導數(shù)問題中的應(yīng)用

李振濤 王淑玲

(北京市順義牛欄山第一中學)

主元法是指在利用兩個或多個參數(shù)求解問題的過程中選擇其中一個參數(shù)作為研究的主要對象,并將剩余的參數(shù)視為常量的思維方式.主元法在導數(shù)中的應(yīng)用是把問題轉(zhuǎn)換為關(guān)于主元素的公式,如方程或函數(shù),這可以降低問題的復雜性,使其變得簡單起來.

一、利用輪換式確定主元

含參問題是高考的必考題型,含有多個參數(shù)也是常見的題目,主元法是處理多元問題的一種重要方法.當參數(shù)的地位相等時,就可以看成是多項式中的輪換式,可以把其中的任意一個參數(shù)當做主元,另外的作為參數(shù),這樣可以降低問題處理的難度,是一種有效的方法.

【例1】(2022·北京卷·20節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=exln(1+x).

(Ⅱ)設(shè)g(x)=f′(x),討論函數(shù)g(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;

(Ⅲ)證明:對任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).

因為x≥0,所以ln(1+x)≥0,

所以g′(x)>0在[0,+∞)上恒成立,

所以g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

(Ⅲ)由于題目中s和t的地位相同,

所以以s為主元,t作為參數(shù),

建立關(guān)于s的函數(shù).

當然也可以t為主元,

s為參數(shù)建立關(guān)于t的函數(shù).

證明:原不等式等價于f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0),

令m(x)=f(x+t)-f(x)(x,t>0),

即證m(x)>m(0).

由m(x)=f(x+t)-f(x)=ex+tln(1+x+t)-exln(1+x),

由(Ⅱ)知g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,

所以g(x+t)>g(x),所以m′(x)>0,

所以m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

又x,t>0,所以m(x)>m(0),

所以對任意的s,t∈(0,+∞),

有f(s+t)>f(s)+f(t).

二、主元構(gòu)造法

在導數(shù)問題中,由于大多數(shù)函數(shù)的圖象不是軸對稱圖形,導致函數(shù)在某條直線兩側(cè)變化率不同,因此討論這類問題時通常會出現(xiàn)兩個變量,如何建立兩個變量之間的關(guān)系,并統(tǒng)一成一個變量就是解決這類問題的關(guān)鍵,通過主元構(gòu)造法就可以解決此類問題.

(Ⅰ)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(Ⅱ)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

【解析】(Ⅰ)由題可知f(x)的定義域為(0,+∞),

令f′(x)=0,得x=1,

當x∈(0,1)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

則f(x)≥f(x)min=f(1)=e+1-a.

若f(x)≥0,則e+1-a≥0,即a≤e+1,

所以a的取值范圍為(-∞,e+1].

(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知要使f(x)有兩個零點,

則f(x)min=f(1)=e+1-a<0,即e+1

令t=x-lnx,x>0,

則f(t)=et+t-a有兩個零點x1,x2等價于關(guān)于x的方程t=x-lnx有兩個不相等的實根.

令h(x)=x-lnx,

易知h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

不妨設(shè)0

又因為h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

而F(1)=h(1)-h(1)=0,

即若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

三、由單調(diào)性確定主元

【例3】(2019·全國Ⅲ卷理·20)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為-1且最大值為1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.

【解析】(Ⅰ)由題意得f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

②當a=0時,f′(x)=6x2≥0對任何實數(shù)x恒成立,

所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.

當a=0時,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;

(Ⅱ)滿足題設(shè)條件的a,b存在.

(ⅰ)當a≤0時,由(Ⅰ)知,

f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,

所以f(x)在[0,1]上的最小值為f(0)=b,

最大值為f(1)=2-a+b,

當且僅當b=-1,2-a+b=1,

即a=0,b=-1時,滿足題設(shè)條件.

(ⅱ)當a≥3時,由(Ⅰ)知,

f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,

所以f(x)在[0,1]上的最大值為f(0)=b,

最小值為f(1)=2-a+b,

當且僅當b=1,2-a+b=-1,

即a=4,b=1時,滿足題設(shè)條件.

(ⅲ)當0

最大值為f(0)=b或f(1)=2-a+b.

與0

這與0

綜上所述,當a=0,b=-1或a=4,b=1時,

f(x)在[0,1]的最小值為-1,最大值為1.

四、總結(jié)提升

在解決雙變量問題時,利用主元法是一種比較好的方法,如果是對稱輪換式,可以比較容易的以其中一個變量為主元,另一個變量為參數(shù),建立一個函數(shù)關(guān)系,從而解決問題.如果函數(shù)是非軸對稱問題,則利用非對稱關(guān)系,將兩元問題逐漸轉(zhuǎn)換成一元問題,構(gòu)造新函數(shù)從而解決問題;或者利用函數(shù)的單調(diào)性確定主元,再利用分類討論解決問題.