素養(yǎng)導(dǎo)向下的習(xí)題探究
——以解析幾何中的“三定”問(wèn)題為例

劉祥云 黃小燕

(江蘇省興化中學(xué))

數(shù)學(xué)習(xí)題的探究活動(dòng)不僅能夠幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)技能,更能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考和實(shí)踐,是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體.事實(shí)上,習(xí)題對(duì)于學(xué)生而言,已經(jīng)成為了掌握知識(shí),提升能力的唯一途徑.習(xí)題做錯(cuò)了匆匆地訂正一下,就急著去做下一個(gè)習(xí)題,在一次次的作業(yè)和糾錯(cuò)中逐漸喪失了學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)力.展開習(xí)題的探究活動(dòng),是提升學(xué)生高階思維和學(xué)習(xí)能力的重要手段,所以在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中,教師要引領(lǐng)學(xué)生對(duì)習(xí)題進(jìn)行深度思考和探究,讓學(xué)生真正地學(xué)會(huì)學(xué)數(shù)學(xué).

1.探究解法,追求自然

【解析】設(shè)直線l的方程為x=my+2,點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),

消x整理得(3m2-1)y2+12my+9=0,

由題可得F(2,0),A1(-1,0),A2(1,0),

對(duì)于(*)式的化簡(jiǎn),有以下三種方法:

=-3.

=-3.

【評(píng)注】本題是我校一次平常測(cè)試中的試題,位于試卷的最后一題,得分率較低.本題中直接影響計(jì)算的難易程度就是(*)式的轉(zhuǎn)化路徑,方法一是利用韋達(dá)定理,把根與系數(shù)的關(guān)系不對(duì)稱形式,轉(zhuǎn)化為對(duì)稱形式,方法二是想實(shí)現(xiàn)和與積之間的轉(zhuǎn)化,所以由韋達(dá)定理提煉出和與積之間的關(guān)系,將積轉(zhuǎn)化為和,得到定值,方法三想把變量m表示出來(lái),再進(jìn)行代換,從而得到定值,三種解法算理清晰,目標(biāo)明確,每種轉(zhuǎn)化方法都來(lái)自于自然想法,合情合理.

2.探究背景,把握本質(zhì)

為了探究問(wèn)題的背景,將題目中的雙曲線一般化,通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)定直線即為右準(zhǔn)線,得到命題1.

在高觀點(diǎn)下探尋數(shù)學(xué)本質(zhì),有一覽眾山小的感覺(jué),此時(shí)又有意猶未盡的感覺(jué),根據(jù)極線與極點(diǎn)的知識(shí),將雙曲線推廣到有心圓錐曲線,很容易的發(fā)現(xiàn)下面兩個(gè)命題(命題2與命題1的極線證明類似,不再贅述).

3.探究定值,提升“四能”

【證明】設(shè)直線l的方程為x=my+c,點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),

得(m2b2-a2)y2+2b2cmy+b4=0,

因此,在同一道習(xí)題中,同時(shí)探究生成了定直線、定點(diǎn)、定值問(wèn)題,但上面的證法不利于將該性質(zhì)在圓錐曲線中進(jìn)行推廣,故根據(jù)兩個(gè)斜率之積聯(lián)想到兩根之積,可以構(gòu)造“齊次式”方程,用韋達(dá)定理來(lái)證明.

【另證】設(shè)直線l的方程為x=my+c,點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),

雙曲線方程可變?yōu)閎2(x+a)2-a2y2-2ab2(x+a)=0,

4.探究應(yīng)用,破舊立新

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).

解析幾何的兩大作用是建立曲線方程和利用曲線方程研究幾何性質(zhì),而這兩個(gè)作用都對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算提出了很高的要求,曲線中的定點(diǎn)、定直線、定值三個(gè)問(wèn)題也成為了解析幾何中經(jīng)典的“三定”問(wèn)題,新課程標(biāo)準(zhǔn)中核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)水平二要求針對(duì)計(jì)算問(wèn)題,要合理選擇計(jì)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,運(yùn)算求解.其中合理選擇計(jì)算方法的目的就是減少運(yùn)算量,提高運(yùn)算的正確率,這與高考中所提倡的“多考一點(diǎn)思考,少考一點(diǎn)運(yùn)算”是相一致的.提升運(yùn)算能力并不是通過(guò)試題簡(jiǎn)單的堆積,要經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)發(fā)揮出每道試題的最大效用,在每道試題的探究中不斷提升自己的探究能力和運(yùn)算水平,逐漸學(xué)會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的方法,提升自身的核心素養(yǎng).