突破思維定式 感受多樣“聚焦”
——例析特殊邊界的“磁聚焦”問題

張 振

(浙江省寧波市鄞州高級(jí)中學(xué))

“磁聚焦”是高中物理習(xí)題中常見的一類模型,其中最常見的經(jīng)典模型如圖1,平行射入圓形有界磁場的相同帶電粒子,如果圓形磁場的半徑與軌跡圓的半徑相等,則所有粒子都從磁場邊界上的同一點(diǎn)射出,反之還有“磁發(fā)散”如圖2。

圖1

圖2

然而在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn),無論是教師講授還是各類試題,“磁聚焦”模型幾乎都是上述這種經(jīng)典的圓形邊界,這樣很容易讓學(xué)生誤認(rèn)為磁聚焦只有這種情況,從而使學(xué)生形成思維定式,在練習(xí)或考試中一旦遇到非此模型的聚焦問題,就會(huì)束手無策或者胡亂套用。為突破學(xué)生思維定式,筆者在教學(xué)中通過實(shí)例,進(jìn)行歸類分析,列舉了幾種特殊邊界的“磁聚焦”模型,很好地拓展了學(xué)生思維,提升物理核心素養(yǎng)。

一、組合型邊界實(shí)現(xiàn)聚焦

除了正圓形邊界,通過不同形狀邊界的組合,也能實(shí)現(xiàn)類似的“磁聚焦”和“磁發(fā)散”效果,該類試題多次在寧波市高三模擬考試中出現(xiàn),下面舉例說明。

圖3

(1)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑r;(r=0.08 m)

(2)從最上端M點(diǎn)發(fā)射的粒子恰好進(jìn)入有界磁場,求該粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(保留兩位有效數(shù)字);(t=3.3×10-7s)

(3)有界磁場邊界Ⅱ的軌跡方程。

圖4

【點(diǎn)評(píng)】本題為寧波市一模統(tǒng)考題,作為?？?jí)狠S題,看似跟經(jīng)典模型很像,實(shí)則大有區(qū)別,此時(shí)磁場大圓半徑不等于軌跡圓半徑,不能套用經(jīng)典模型。學(xué)生由于思維定式又缺乏臨場分析能力,因此得分普遍較低。該題也告訴我們,通過構(gòu)造一個(gè)無磁場區(qū)域的圓形邊界,與圓形磁場邊界組合,依然能實(shí)現(xiàn)聚焦。同時(shí)該題要求學(xué)生掌握求軌跡方程的一般方法,即設(shè)軌跡上某點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),通過幾何關(guān)系找到兩者之間的關(guān)系。

本題也可以拓展為“磁發(fā)散”模型,從O點(diǎn)沿各個(gè)方向發(fā)射速度大小相同的帶正電荷的粒子,粒子在該勻強(qiáng)磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑均為0.08 m,如圖5所示,由幾何關(guān)系可知PO=FO1=0.08 m,FP=O1O=0.1 m,因此四邊形FPOO1為平行四邊形,故FO1∥PO,FO1為豎直,從而得到從第Ⅰ象限出射的粒子速度方向均沿x軸正方向。

圖5

【例2】(2021年浙江寧波一模)如圖6所示,半徑為r的半圓abc內(nèi)部沒有磁場,半圓外部空間有垂直于半圓平面的勻強(qiáng)磁場(未畫出),比荷為p的帶電粒子(不計(jì)重力)從直徑ac上任意一點(diǎn)以同樣的速率垂直于ac射向圓弧邊界,帶電粒子進(jìn)入磁場偏轉(zhuǎn)一次后都能經(jīng)過直徑上的c點(diǎn)并被吸收,下列說法正確的是

圖6

( )

A.磁場方向一定垂直半圓平面向里

B.帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為2r

圖7

【答案】C

【點(diǎn)評(píng)】該題粒子垂直于ac射向圓弧邊界,進(jìn)入磁場偏轉(zhuǎn)一次后都能經(jīng)過直徑上的c點(diǎn),此時(shí)邊界也不是經(jīng)典圓形。本題邊界特殊,但分析過程中構(gòu)建菱形的思想來自于經(jīng)典模型,很好的考查了學(xué)生的知識(shí)遷移能力。

【例3】(2020年浙江寧波二模)如圖8所示,平行于直角坐標(biāo)系y軸的PQ是用特殊材料制成的,只能讓垂直打到PQ界面上的電子通過,且通過時(shí)并不影響電子的速度。其左側(cè)有一直角三角形區(qū)域,分布著方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場,其右側(cè)有豎直向上且場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場?，F(xiàn)有速率不同的電子在紙面上從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿不同方向射到三角形區(qū)域,不考慮電子間的相互作用。已知電子的電荷量為e,質(zhì)量為m,在△OAC中,OA=a,θ=60°,D為x軸上的一個(gè)點(diǎn),且OD=4a。求:

圖8

(4)現(xiàn)把PQ右側(cè)電場撤去,增加一垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B的矩形勻強(qiáng)磁場,使通過PQ界面的電子匯聚于D點(diǎn),求該矩形磁場的最小面積。

圖9

【點(diǎn)評(píng)】磁聚焦模型一般都要求粒子沿各個(gè)方向發(fā)射的速率相同,若粒子速率各不相同又如何實(shí)現(xiàn)磁聚焦和磁發(fā)散呢,本題很好地給出了一種方案。該題并未使用圓形邊界或者圓形組合式邊界模型,而是通過構(gòu)建三角形和矩形磁場,同時(shí)實(shí)現(xiàn)磁發(fā)散和磁聚焦,可謂非常巧妙,本題作為寧波市二模的壓軸題,很好地考查了學(xué)生的物理學(xué)科思維,具有較好的區(qū)分度。

二、對(duì)稱型邊界實(shí)現(xiàn)聚焦

帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)往往存在對(duì)稱美,同樣利用合適的對(duì)稱型邊界也能實(shí)現(xiàn)帶電粒子的聚焦,下面舉例說明。

圖10

圖11

【點(diǎn)評(píng)】該題模型比較新穎,帶電粒子從某點(diǎn)發(fā)散后再次實(shí)現(xiàn)聚焦,不一定需要兩個(gè)圓形磁場的組合,而是通過特殊的對(duì)稱型邊界,就能滿足聚焦效果,而且更具有普遍意義。本題通過尋找?guī)缀侮P(guān)系,找到x與y的聯(lián)系點(diǎn),求解邊界方程,也是常用的數(shù)學(xué)方法之一,需要學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)水平,也體現(xiàn)了學(xué)科核心素養(yǎng)中對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求。

【例5】離子注入系統(tǒng)是一種對(duì)半導(dǎo)體進(jìn)行摻雜的方法,可以改變半導(dǎo)體材料的成分和性質(zhì)。如圖12是它的簡化示意圖,由離子源、加速器、質(zhì)量分析器、磁偏轉(zhuǎn)室和注入靶組成。初速度近似為0的正離子從離子源飄入加速器,加速后的成為高能離子,離子沿質(zhì)量分析器的中軸線運(yùn)動(dòng)并從F點(diǎn)射出,然后垂直磁偏轉(zhuǎn)室的邊界從P點(diǎn)進(jìn)入,離子在磁偏轉(zhuǎn)室中速度方向偏轉(zhuǎn)90°后垂直邊界從Q點(diǎn)射出,最后垂直打到注入靶上。已知質(zhì)量分析器的C、D兩極板長為L;磁偏轉(zhuǎn)室內(nèi)部為勻強(qiáng)磁場,圓心為O,O與P之間的距離為L;不考慮離子的重力及離子間的相互作用。假設(shè)質(zhì)量分析器兩極板間電勢差發(fā)生極小的波動(dòng),則正離子在質(zhì)量分析器中不再沿直線運(yùn)動(dòng),但可近似看成是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。要使這些離子經(jīng)磁偏轉(zhuǎn)室后仍能全部會(huì)聚到一點(diǎn),求P點(diǎn)與F點(diǎn)之間的距離h。

圖12

圖13

【點(diǎn)評(píng)】該題基于實(shí)際情境,而實(shí)際問題中往往沒有特別理想的狀態(tài),比如該題由于質(zhì)量分析器兩極板間電勢差發(fā)生極小的波動(dòng),使正離子在質(zhì)量分析器中不再沿直線運(yùn)動(dòng),需要讓學(xué)生通過分析,找到合理位置放置偏轉(zhuǎn)磁場,從而實(shí)現(xiàn)聚焦,該題關(guān)鍵是運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)相關(guān)規(guī)律和粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性,通過尋找各物理量之間的幾何關(guān)系求得h,對(duì)數(shù)學(xué)能力有較高要求。

三、螺旋式軌跡實(shí)現(xiàn)周期性聚焦

帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的問題,在高中階段大多以二維平面問題出現(xiàn),若是在三維空間運(yùn)動(dòng),就對(duì)學(xué)生的思維提出了更高的要求,近年來各地高考真題和模擬題中,都有立體空間運(yùn)動(dòng)模型的呈現(xiàn),該類題型能更好地改善學(xué)生對(duì)物理學(xué)習(xí)的局限性,提升學(xué)生空間思維能力,下面舉一例說明在三維空間下的磁聚焦模型。

【例6】利用帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做螺旋線運(yùn)動(dòng)的回旋周期與粒子速率無關(guān)的特性,可以實(shí)現(xiàn)對(duì)帶電粒子的聚焦,現(xiàn)將聚焦簡化成如下的過程:大量電子從M板上的小孔飄入(認(rèn)為初速度為零)M、N兩板間的加速電場中,并從N板上的小孔飛出,由于電子之間的相互排斥作用會(huì)讓電子在從電場中飛出時(shí)散開一個(gè)極小的角度θ,如圖14所示?？紤]同時(shí)從N板小孔中飛出的電子在離開電場區(qū)域后直接進(jìn)入勻強(qiáng)磁場區(qū)域中,由于磁場的作用會(huì)在磁場內(nèi)再次聚焦。已知加速電場的電壓為U,板間距離為d,勻強(qiáng)磁場沿水平方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,電子的電荷量為-e,質(zhì)量為m。電子之間的相互作用很小可以忽略其對(duì)電子速度大小的影響,不考慮電子之間的碰撞,當(dāng)角度極小時(shí)可以認(rèn)為sinθ≈θ,cosθ≈1,欲使電子剛好在會(huì)聚點(diǎn)離開磁場,則磁場的左右兩側(cè)間的寬度l應(yīng)滿足什么條件。

圖15

【點(diǎn)評(píng)】螺旋運(yùn)動(dòng)是物理中一種常見的運(yùn)動(dòng),但日常練習(xí)所涉及的題并不多,在磁場中當(dāng)帶電粒子速度方向與勻強(qiáng)磁場方向不垂直時(shí),往往就表現(xiàn)為螺旋運(yùn)動(dòng)。該題巧妙利用這個(gè)特點(diǎn),設(shè)計(jì)了磁聚焦模型,實(shí)現(xiàn)周期性聚焦,難度不大但模型經(jīng)典,既考查了運(yùn)動(dòng)的合成和分解問題的處理能力,又培養(yǎng)了學(xué)生的空間思維。

四、小結(jié)