掃描教學實況，剖析失敗原因，提升業(yè)務水平

耿玲玲

［摘? 要］ 數(shù)學教學具有發(fā)展學生數(shù)學思維，培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要作用. 然而，數(shù)學教學實踐效果常與教師預期目標有偏差. 文章以“數(shù)列求和”（錯位相減法）為例，掃描錯位相減法教學片段，以執(zhí)教者的心路歷程為主線，從教學簡錄、教學困惑、錯因分析以及教學反思等方面展開闡述.

［關鍵詞］ 錯位相減法；教學簡錄；教學困惑；錯因分析；教學反思

肖川教授在《教育的使命與責任》一書中提出：學生在被信任的狀態(tài)下學習時，會學得更好；學生在自主參與探索時，能學得更好；學生存在更高期許時，能學得更好. 由此可見，學生的學習狀態(tài)受教學內容、教師態(tài)度以及自我期許等綜合因素的影響. 筆者在“數(shù)列求和”（錯位相減法）的復習過程中，因學生有一定的基礎，高估了學生的認知水平，發(fā)生了一些“意外”，就此引發(fā)了一些思考.

教學背景

本節(jié)課的授課對象為普通高中文科班學生，學生的數(shù)學基礎與學習能力均一般，但班風好，學生學習態(tài)度端正，能積極參與課堂活動；授課內容主要是“錯位相減法求和”，并在此基礎上讓學生掌握幾種特殊的數(shù)列求和法. 對于教師而言，“錯位相減法求和”是特別簡單的內容，幾乎不用教師花費多少時間與精力去講解、引導與探索，就能順利完成教學任務.

案例掃描

師：大家說說哪類數(shù)列適合用錯位相減法求和呢？

生1：若一個數(shù)列的各項都是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項乘積所組成的，這類數(shù)列適合用錯位相減法求和.

師：非常好！這是我們所知道的一種數(shù)列類型. 其實，可以用錯位相減法求和的數(shù)列不止這一類.

為了調動學生的探索欲，筆者在此處創(chuàng)設了一個與本節(jié)課教學內容相關，又貼近學生生活實際的情境.

情境：一天，教研員到某班聽課，課堂教學內容為“用錯位相減法求數(shù)列的前n項和”. 新課講授接近尾聲時，教師編擬出了一道練習題，并隨機抽取了三名學生到黑板上演示“用錯位相減法求數(shù)列的前n項和”，大家猜猜結果是怎樣的？

學生異口同聲回答：肯定都做對了.

師：非常遺憾，三名學生解題統(tǒng)統(tǒng)失敗.

學生感到不可思議，紛紛議論開來，筆者見這個情境成功地吸引住了學生的注意力，便趁熱打鐵，適時拋出新的問題.

師：大家來看，這邊有一個問題.

隨著問題的提出，學生很快進入了探索狀態(tài). 不久，大部分學生表示已經完成，筆者看到學生自信滿滿的狀態(tài)，就采取了訪談的方式教學本題.

教學困惑：課堂教學流程并沒有大問題，在小結環(huán)節(jié)中，筆者針對一些題目還特別強調了“要注意的地方”. 為什么學生仍然沒有理解這個知識點（錯位相減法求和）的實際應用呢？

錯因分析

為了解開這個困惑，筆者特別找了幾個認知水平不錯卻沒有做對的學生，要求他們在辦公室解題. 解題后，筆者發(fā)現(xiàn)這幾位學生的解題過程都存在一些問題. 現(xiàn)將幾種常見的錯誤與原因羅列如下：

錯因 式①減式②并非錯位相減，而是對應相減，導致循環(huán)推理錯誤. 同時，這種解法將指數(shù)冪分母輕易變形，改變了數(shù)列原有的結構特征，影響了規(guī)律的尋找.

綜上所述，這些錯誤都屬于沒有含金量的低級錯誤，本不應該出現(xiàn)在高三學生身上，但事實勝于雄辯，出現(xiàn)這些錯誤的學生還不少. 其實，有些小錯誤只要稍微用點心，取特殊值驗證就能發(fā)現(xiàn)問題，但多數(shù)學生想不到.

細細剖析這些錯因，主要源于以下兩類情況：第一，由認知因素導致，如錯解1對解題方法不理解，錯解3對概念掌握不透徹，錯解4對公式應用不靈活；第二，由非智力因素導致，如錯解2、錯解5的運算粗心或書寫不規(guī)范等.

透過學生的錯誤類型不難發(fā)現(xiàn)，學生對錯位相減法的掌握并不牢固，從中也投射出教學方法存在不少問題. 基于此，筆者進行了深刻反思.

教學反思

1. 教學設計，應了解學情

新課標明確提出，學生才是課堂的主人，任何教學活動的開展應基于“以生為本”的理念實施. 本節(jié)課，筆者從自身認知水平出發(fā)，覺得講授錯位相減法是一項非常簡單的教學任務，理所當然地認為學生能快速理解并掌握——認為學生接觸本節(jié)課內容前復習過等比數(shù)列前n項和的公式推導過程，對錯位相減法有一定的知識基礎. 基于以上判斷，出現(xiàn)了問題缺乏針對性，預設不合理的教學情況.

本節(jié)課的講授對象為普通文科學生，雖然班風正，學習氛圍好，但學生的數(shù)學思維仍不夠深入，即使之前接觸過“錯位相減法求和”相關知識，但時間一久就遺忘了，尤其是細節(jié)方面幾乎遺忘殆盡. 又由于筆者課前沒有利用一定的手段（如學前問卷調查等）對學生的實際情況進行摸排，只是從自身的角度出發(fā)判斷學生處于怎樣的認知水平，導致所提出的問題顯然高于學生的實際認知水平.

因此筆者認為，在教學設計前，教師應從根本上了解學生的實際認知水平——有時教師認為非常簡單的知識，在學生那里有可能因為時隔已久而感到陌生. 在教學設計時，教師尤其要注意，隨著教齡的增加，與教材的距離越來越近，甚至爛熟于心，容易提出離學生實際認知水平越來越遠的問題.

陶行知先生認為，教什么？怎么教？需要考慮“人”的問題，針對不同的人，教的內容、方法、分量、次序都不同. 每節(jié)課的教學設計，應從學情出發(fā)，只有將“以人為本”“因材施教”“以學定教”等理念落到實處，才能設計出與學生認知與思維相匹配的教學活動.

2. 例題教學，應變式拓展

例題教學在數(shù)學課堂中的應用較為廣泛，它能激活學生思維，讓學生將所學習的內容靈活地應用到實踐中. 本節(jié)課中除了錯位相減法外，還涉及“分組求和”“倒序相加”等數(shù)列求和法，筆者對這幾種方法的復習用力均勻，并沒有突出重點，也沒有意識到錯位相減法是難點，更沒有在課堂上檢查學生的學習情況，只是帶領學生粗淺地探索了一般性問題，導致學生理解不透徹的現(xiàn)象出現(xiàn)了.

由此也可以看出，筆者對本節(jié)課的教學定位不準確，師生之間缺乏有效溝通，無法摸清課堂教學真正的成效. 數(shù)學教學切忌“就題論題”，這樣浮光掠影的教學方式，學生難以從根本上掌握知識本質，更難以建構完整的認知體系. 變式的應用，不僅能強化學生對知識的理解，還能激活學生思維，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，對推動學生核心素養(yǎng)的形成具有不可估量的作用.

本節(jié)課的例題教學環(huán)節(jié)，在原題的基礎上，教師可以設計如下變式：

以上變式可以在教師課前結合學情就預設好，也可以在課堂中結合實際教學情況動態(tài)生成，亦可從學生解題的過程中收集而來. 不論是哪種獲取方式，都能有效啟發(fā)學生思維，提高教學效果. 當然，例題教學還可以應用小組合作交流與匯報展示的方式進行.

3. 教學方法，應深析本質

課堂教學只有揭露出知識的本質與內涵，才能幫助學生建構完整的知識體系. 本節(jié)課，在學生的作業(yè)出現(xiàn)較多錯誤的情況下，筆者特別訪談了部分學生，發(fā)現(xiàn)他們對錯位相減法的本質并不理解，只是依葫蘆畫瓢，模仿課堂例題去解題，對于“為什么這么做”“這么解題究竟對不對”并沒有考慮過. 追根溯源，在于筆者的教學方法過于老套，沒有引導學生探究錯位相減法的本質.

數(shù)學教學不僅是知識教學，更是方法教學，教師不僅要教會學生解題，還要引導學生知道這么解題的原因是什么. 機械記憶與套用模式只能在大腦中留下短暫的印跡，難以長久保持，只有弄清問題的本質，才能以不變應萬變.

那么，錯位相減法求和的本質究竟是什么呢？所謂錯位相減法求和，即先在等式的等號兩邊同時乘公比（或公比的倒數(shù)），使新等式與原等式存在大量同類項，兩式相減后得到的式子有許多有規(guī)律的項，由此再利用等比數(shù)列求和公式求和. 值得注意的是，想要發(fā)現(xiàn)這些有規(guī)律的項，需要將兩個式子的同類項列在同一列上，便于相減時發(fā)現(xiàn)其中的特點，如“差是什么”“有多少項（常為n或n－1項）”.

如果將“求和”的本質理解為減少項數(shù)或化簡，那么轉化化歸就是錯位相減法求和，即將“非等比數(shù)列求和”轉化成“等比數(shù)列求和”來解決，也就是揭露等比數(shù)列與非等比數(shù)列的內在聯(lián)系. 學生一旦明確錯位相減法求和的本質與操作程序，解題的思維起點就高了，出錯誤的概率必然減少，教學成效也會顯著提高.

總之，數(shù)學課堂教學不能因為學生有一定基礎就加快節(jié)奏，想要提高教學成效，必須立足學情與教學內容的特征，放緩教學節(jié)奏、注重細節(jié)、學會寬容、等待學生，讓每個水平層次的學生都擁有暴露思維的機會，在充足的空間與時間內進行思考. 同時，作為一線數(shù)學教師應不斷審視自身的教學行為，與時俱進地更新教學理念，秉持教育公平，不斷提升自身的業(yè)務水平，讓每個學生都能在教學中獲得不同程度的發(fā)展.