循序漸進(jìn)　螺旋上升

盧紅蘭

［摘? 要］ 好的數(shù)學(xué)教學(xué)不是機(jī)械強(qiáng)化，也不是越俎代庖，而是順應(yīng)和促進(jìn)學(xué)生自然發(fā)展. 在實(shí)際教學(xué)中，教師要以學(xué)生為出發(fā)點(diǎn)，尋找學(xué)生最易于接受的方式將知識(shí)講給他們聽，讓他們聽懂、學(xué)會(huì)，乃至拓展，以此提升教學(xué)有效性. 文章以解析幾何中的“定點(diǎn)、定值問(wèn)題”為例，從學(xué)生實(shí)際學(xué)情出發(fā)，通過(guò)循序漸進(jìn)的引導(dǎo)逐漸揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而消除學(xué)生的畏難情緒，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 自然發(fā)展；循序漸進(jìn)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯體系，遵循學(xué)生認(rèn)知能力的形成規(guī)律，通過(guò)由淺入深、循序漸進(jìn)的原則來(lái)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力［1］. 不過(guò)在實(shí)際教學(xué)中，部分教師認(rèn)為高考題目難，綜合性強(qiáng)，于是在平時(shí)練習(xí)時(shí)常常追求“新”、追求“難”，忽視了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使得學(xué)生因?qū)覍沂艽於绊懥藢W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心. 其實(shí)，高考題目表面上比較復(fù)雜，然其本質(zhì)都是基礎(chǔ)題的變形，只要能夠抓住問(wèn)題的本質(zhì)，厘清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，掌握解決問(wèn)題的通性通法，問(wèn)題即可迎刃而解. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要結(jié)合教學(xué)實(shí)際，通過(guò)由淺入深的方式夯實(shí)學(xué)生“雙基”，通過(guò)由表及里的方式揭示問(wèn)題的本質(zhì)，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維螺旋上升.

筆者以解析幾何中的“定點(diǎn)、定值問(wèn)題”為例，針對(duì)學(xué)生解決綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題時(shí)，常感覺手足無(wú)措的現(xiàn)狀，談幾點(diǎn)教學(xué)建議，供參考！

基礎(chǔ)填空——重基礎(chǔ)抓落實(shí)

好的基礎(chǔ)決定著好的發(fā)展. 我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)一向有注重培養(yǎng)學(xué)生“雙基”的傳統(tǒng)，這一傳統(tǒng)是值得繼承和發(fā)揚(yáng)的. 數(shù)學(xué)知識(shí)是環(huán)環(huán)相扣的，若學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢，知識(shí)體系常常會(huì)漏洞百出，從而在解題時(shí)出現(xiàn)“一看就懂，一做就錯(cuò)”的情況. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)其實(shí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，要讓學(xué)生知道基礎(chǔ)知識(shí)是重難點(diǎn)知識(shí)延伸的根基，只有能夠解決“小問(wèn)題”，才能實(shí)現(xiàn)“大發(fā)展”.

填空題中涉及的題設(shè)信息較為簡(jiǎn)單，易于激發(fā)學(xué)生解題的熱情. 以上三個(gè)問(wèn)題是筆者精心設(shè)計(jì)的，從不同角度喚醒學(xué)生解決“定點(diǎn)、定值問(wèn)題”的基本思路. 例1為恒過(guò)點(diǎn)問(wèn)題，可令參量“系數(shù)”為0來(lái)解決；例2考查的是“中心弦”的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)整體代換法；例3讓學(xué)生體驗(yàn)如何用賦值法來(lái)優(yōu)化運(yùn)算，順利解決定點(diǎn)問(wèn)題. 這樣通過(guò)“小題”既幫助學(xué)生鞏固了基礎(chǔ)知識(shí)，提升了解題信心，又為下面重難點(diǎn)的突破做好了鋪墊.

精選例題——重方法樹信心

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題的選擇將直接影響著課堂的教學(xué)質(zhì)量. 在例題的選擇上不同的教師有著不同的認(rèn)識(shí)，有的教師認(rèn)為以難為好，這樣學(xué)生解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題時(shí)能夠得心應(yīng)手，殊不知過(guò)難將直接影響學(xué)生的參與度，影響學(xué)生學(xué)習(xí)積極性；有的教師認(rèn)為以多為好，只有多才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的全覆蓋，殊不知這樣不僅難以突出重難點(diǎn)，而且過(guò)多的重復(fù)練習(xí)容易讓學(xué)生產(chǎn)生消極情緒，容易出現(xiàn)思維定式，等等. 因此，教師在例題的選擇上要做到精挑細(xì)選，既要服從課堂教學(xué)目標(biāo)，又要突出教學(xué)重難點(diǎn)，還要關(guān)注學(xué)生發(fā)展. 同時(shí)，教師講解例題時(shí)要放慢速度，將題目講懂講透，要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度尋找解決問(wèn)題的方法，以此拓展學(xué)生思維，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升解題效率.

（1）求橢圓C的方程.

（2）以MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

本題難度不大，解決方法多，易上手. 在解題教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生嘗試應(yīng)用不同的方法求解，以此豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 通過(guò)交流學(xué)生得到了多種解法，如方法1，設(shè)點(diǎn)F；方法2，設(shè)直線AF；方法3，先猜想，后驗(yàn)證，等等.

另外，對(duì)于一些典型問(wèn)題，解題后教師要引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，通過(guò)適度的形式化引導(dǎo)學(xué)生感受問(wèn)題的本質(zhì). 如例4，學(xué)生解題時(shí)應(yīng)用了多種方法，那么這些方法背后是否能夠體現(xiàn)解決此類問(wèn)題的基本方法和步驟呢？其實(shí)縱觀以上解法，基本分為三步：①選擇適當(dāng)?shù)膮⒘?；②整理?guī)劃；③化簡(jiǎn)證明，得到定點(diǎn). 對(duì)于基本方法和步驟學(xué)生是了然于心的，但是題設(shè)信息中涉及那么多點(diǎn)，那么多線，如何選擇才是最佳的呢？仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，步驟①為解題的關(guān)鍵，是解題的難點(diǎn)和突破口. 因此，在選取參量前，教師要引導(dǎo)學(xué)生厘清整個(gè)動(dòng)態(tài)圖形的生成過(guò)程，找到一個(gè)動(dòng)因，從而順藤摸瓜，探尋解題的突破口，形成解題思路.

因此，例題的選擇不在于多、難、新，而在于典型、方向、延伸. 在解題教學(xué)中，教師應(yīng)充分發(fā)揮例題的典型示范功能，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力.

變式探究——重合作提能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要遵循學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，通過(guò)循序漸進(jìn)使學(xué)生的思維得到穩(wěn)步提升. 為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師可以認(rèn)真分析學(xué)生，基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)一些變式問(wèn)題，從而讓學(xué)生在變式探究中實(shí)現(xiàn)推理論證、運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)處理等綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升［3］.

比如例4小結(jié)結(jié)束后，筆者將例4“變一變”，使之轉(zhuǎn)化為新問(wèn)題，通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的深度剖析提升學(xué)生的解題技能，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.

變式1：將例4中的“直線AE，AF分別交y軸于M，N點(diǎn)”改為“與右準(zhǔn)線相交于M，N點(diǎn)”，其他條件不變，求例4中的結(jié)論是否成立.

變式1是在例4基礎(chǔ)上的簡(jiǎn)單變形，雖然條件變了，但是解題思路和過(guò)程并沒(méi)有改變，以此通過(guò)簡(jiǎn)單的變形提升學(xué)生的解題士氣，鞏固學(xué)生的解題技能. 解題時(shí)，教師可以將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生交流展示. 通過(guò)交流，學(xué)生不僅可以完善認(rèn)知體系，優(yōu)化解題過(guò)程，減少?gòu)?fù)雜運(yùn)算帶來(lái)的錯(cuò)解風(fēng)險(xiǎn)及時(shí)間損耗，而且可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)、方法的融會(huì)貫通.

改編例4后容易發(fā)現(xiàn)，M，N的橫坐標(biāo)由x=0變成了x=4，但以MN為直徑的圓依然過(guò)定點(diǎn). 在此基礎(chǔ)上，筆者繼續(xù)追問(wèn)：以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，一定是與y軸的交點(diǎn)或右準(zhǔn)線的交點(diǎn)嗎？由此引發(fā)學(xué)生進(jìn)行一般猜想. 通過(guò)由淺入深、從易到難的逐層探究，學(xué)生最終發(fā)現(xiàn)：只要和與x軸垂直的任一直線相交即可得出定點(diǎn). 為了讓學(xué)生獲得更加直觀的感受，筆者利用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示，以此深化學(xué)生理解.

在變式探究中，教師要為學(xué)生提供一個(gè)和諧的學(xué)習(xí)氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)交流，集大家之所長(zhǎng)，通過(guò)循序漸進(jìn)的引導(dǎo)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力穩(wěn)步提升.

自主改編——重探索提興趣

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)讓過(guò)程與結(jié)果并行. 不過(guò)在功利教育的影響下，數(shù)學(xué)教學(xué)中常常出現(xiàn)重結(jié)果輕過(guò)程的現(xiàn)象，忽視了學(xué)生的思維過(guò)程，這樣不僅影響著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提升，而且影響著學(xué)生情感和價(jià)值觀的培養(yǎng)，使數(shù)學(xué)課堂空洞、乏味，難以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣. 為了改變這一現(xiàn)狀，不妨引入一些探究活動(dòng)，讓學(xué)生在探究中逐漸找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.

經(jīng)歷以上的例題精講和變式探究后，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生改編題目，通過(guò)變化題設(shè)信息或更改已知和結(jié)論的位置，將“舊題”變成一個(gè)“新題”，讓學(xué)生通過(guò)合作探究共同驗(yàn)證題目改編的科學(xué)性，使學(xué)生在改編、探究、驗(yàn)證的過(guò)程中認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì). 基于例4和變式，學(xué)生又做了如下改編：“橢圓焦點(diǎn)在x軸”改為“橢圓焦點(diǎn)在y軸”；橢圓的“左頂點(diǎn)為A”改為“右頂點(diǎn)為A”，等等. 這樣通過(guò)改編形成了無(wú)數(shù)“新題”，學(xué)生通過(guò)對(duì)這些“新題”的探究逐漸升華了認(rèn)知.

另外，自主改編為學(xué)生提供了更為開放的學(xué)習(xí)氛圍，相信通過(guò)以上活動(dòng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新意識(shí)、合作能力都會(huì)有所提升.

總結(jié)提升——重本質(zhì)提素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：課堂表面上熱熱鬧鬧，學(xué)生參與度極高，但學(xué)生的學(xué)習(xí)能力并沒(méi)有得到真正提升. 究其原因就是課堂充斥著太多形式化表達(dá)，失去了問(wèn)題本真，忽視了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考，使學(xué)生生動(dòng)活潑的思維淹沒(méi)于形式化的“繁榮”之中. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，努力揭示概念、定理、結(jié)論等知識(shí)的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)，只有這樣才能讓學(xué)生擁有以不變應(yīng)萬(wàn)變的能力，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通.

經(jīng)過(guò)以上探究后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考“探究以上不同類型的題目，最終得到的過(guò)定點(diǎn)的結(jié)論的本質(zhì)是什么”，其目的是讓學(xué)生通過(guò)回顧、思考挖掘問(wèn)題本真：之所以過(guò)定點(diǎn)，是因?yàn)榕c“參量”無(wú)關(guān). 如例1中令參量“系數(shù)”為0，例2中做整體代換，都體現(xiàn)了這一本質(zhì). 如果學(xué)生能夠抓住這個(gè)問(wèn)題本質(zhì)，解決定點(diǎn)問(wèn)題自然也就水到渠成了.

數(shù)學(xué)題目雖然千變?nèi)f化，但是萬(wàn)變不離其宗，只要能夠抓住問(wèn)題本質(zhì)就能“動(dòng)中取靜”，以不變應(yīng)萬(wàn)變. 因此，解題后教師要預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行總結(jié)反思，引導(dǎo)學(xué)生從不同類型的題目中尋找“不變”的規(guī)律，挖掘問(wèn)題本質(zhì). 其實(shí)，無(wú)論數(shù)學(xué)形式多么復(fù)雜，其中總有它簡(jiǎn)單的思想本質(zhì)，因此在實(shí)施過(guò)程中，教師要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，要重視揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，使數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼感，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和信心.

拔高拓展——重拓展講創(chuàng)新

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，練習(xí)是必不可少的，它是幫助學(xué)生鞏固知識(shí)、強(qiáng)化技能的必經(jīng)之路. 當(dāng)然這里所說(shuō)的練習(xí)并不是“題海戰(zhàn)術(shù)”，而是引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題發(fā)散出去，帶著探索的精神去思考和解決問(wèn)題，讓學(xué)生能夠?qū)⑾嚓P(guān)的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，從而達(dá)到觸類旁通的效果.

如以上探究活動(dòng)是以橢圓為背景開展的，是否可以將問(wèn)題拓展至以雙曲線和拋物線為背景的問(wèn)題呢？又如例4所研究的是定點(diǎn)問(wèn)題，若將其改為定值問(wèn)題呢？再如，題目給出的定點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，若改為上頂點(diǎn)又能得到什么結(jié)果呢？之前的變式探究中，師生只是改變了一個(gè)條件，若兩個(gè)條件同時(shí)改變又能得到什么結(jié)論呢？……這樣學(xué)生帶著問(wèn)題去思考、去探索，自然可以激發(fā)其學(xué)習(xí)熱情，更加主動(dòng)地去學(xué)習(xí). 讓探究活動(dòng)變成一種自發(fā)行為，不僅能取得拓展知識(shí)、發(fā)散思維的效果，而且能避免“題?！彼鶐?lái)的枯燥乏味，有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力. 不過(guò)，雖然拔高拓展對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力、思維能力、計(jì)算能力、建模能力等綜合能力十分重要，但是教學(xué)中還要讓學(xué)生“量力而行”. 眾所周知，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和認(rèn)知水平存在著明顯差異，對(duì)于一些基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)生，應(yīng)以基礎(chǔ)為主，適當(dāng)提升. 這樣既不會(huì)為學(xué)生帶來(lái)額外的心理負(fù)擔(dān)，又能讓學(xué)生解決個(gè)體發(fā)展區(qū)間內(nèi)的問(wèn)題后自然進(jìn)入下一個(gè)發(fā)展區(qū)間，以此培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，實(shí)現(xiàn)“教”與“學(xué)”的可持續(xù)發(fā)展.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要認(rèn)真地研究課程標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)真地研究學(xué)生，認(rèn)真地研究教學(xué)內(nèi)容，以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)為起點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，通過(guò)由淺入深、循序漸進(jìn)的引導(dǎo)揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)悟性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 任云.步步推進(jìn)——初中數(shù)學(xué)教學(xué)中循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的策略［J］. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（14）：39.

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