基于思維導圖的高考試題解法研究
——2022全國甲卷文科數(shù)學第20題的探究

代錦春

?云南師范大學附屬世紀金源學校

代紅軍

?昆明市官渡區(qū)第六中學

朱俊霖

?西南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院

1 題目呈現(xiàn)

(2022全國甲卷文科數(shù)學第20題)已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若x1=-1，求a；

(2)求a的取值范圍.

2 解析

本題第(1)(2)問分析及解答過程如下.

對于第(1)問，已知函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的公切線與f(x)切點的橫坐標為x1=-1，可以從以下三個角度求參數(shù)a的值. 角度一，寫出f(x)在x1=-1處的切線，可以選擇聯(lián)立切線方程與y=g(x)，借助Δ=0求a；也可以借助兩函數(shù)在兩切點處的導函數(shù)值相等，建立x1=-1與x2的關系式，再由切點(x2,y2)同在切線與函數(shù)g(x)上，建立a的方程求a.角度二，設出g(x)在點(x2,y2)處的切線，先探究x1=-1與x2的關系，再由切點(-1,0)在切線上，建立關于a的方程求a.角度三，分別用f(x)與g(x)的切點表示公切線，根據(jù)兩切線斜率相等、截距相等構(gòu)建關于x2與a的二元方程組，從而解出a的值.相應的思維導圖如圖1所示.

圖1

角度一：寫出f(x)在x1=-1處的切線.

解法2-1：由f′(-1)=2，可知f(x)在x1=-1處切線l的方程為y=2(x+1).

因為切線l與曲線y=g(x)相切于點(x2,y2)，所以g′(x2)=f′(-1)，即2x2=2，得x2=1.

由于點(x2,y2)同在切線l與曲線y=g(x)上，故將點(x2,y2)代入l的方程，得y2=2(x2+1)=4.

因此g(x)與l相切于點(1,4)，代入y=g(x)，得4=12+a，解得a=3.

角度二：設出g(x)在切點(x2,y2)處的切線.

由切線l與曲線y=f(x)相切于點(-1,0)，得f′(-1)=g′(x2)，即2=2x2，則x2=1，從而l：y-(1+a)=2(x-1).再由點(-1,0)在切線l上，將點(-1,0)代入直線l，解得a=3.

角度三：分別用f(x)和g(x)的切點表示公切線.

解法4：f(x)在x1=-1處的切線l方程為

y=2(x+1). ①

點評：解法1中利用Δ=0來構(gòu)建關于a的方程求a，僅適用于g(x)為二次函數(shù)，具有一定的特殊性.在處理公切線問題時，常常借助兩函數(shù)在各自切點處的導函數(shù)值即為公切線的斜率，從而得到兩切點橫坐標的關系；再由切點同在切線與函數(shù)圖象上，建立方程組進行求解.

對于第(2)問，在此問中，f(x)的切點由定點變?yōu)榱藙狱c，類比第(1)問的探究方法，可以從以下三個角度去求參數(shù)a的范圍.角度一，用f(x)的切點表示公切線，將切線與y=g(x)聯(lián)立，借助Δ=0得出a與x1的關系，進而去求a的范圍；還可以先探究兩切點橫坐標之間的關系，由g(x)的切點同在切線與y=g(x)上，構(gòu)建關于a與x1的等式，進而求a的范圍.角度二，用g(x)的切點表示公切線方程，先探究兩切點橫坐標之間的關系，由f(x)的切點同在切線與y=f(x)上，構(gòu)建關于a與x1的等式，進而求a的范圍.角度三，用f(x)與g(x)各自的切點坐標表示公切線，借助公切線的兩種表達形式的斜率、截距相等得出關于a與x1的等式，進而求a的范圍.相應的思維導圖如圖2所示.

圖2

角度一：用f(x)的切點表示切線.

當x變化時，h′(x)，h(x)的變化情況如表1所示.

表1

所以a∈[-1,+∞).

要使r(x)存在零點，即曲線y=γ(x)與x軸有交點，則r(x)min≤0，即-1-a≤0，所以a∈[-1,+∞).

下同解法1-1或解法1-2.

角度二：用g(x)的切點表示公切線方程.

下同解法1-1或解法1-2.

角度三：用f(x)與g(x)的切點表示公切線.

解法4：曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線l的方程為

設直線l與曲線y=g(x)相切于(x2,g(x2))，切線l的方程為

以下同解法1-1或解法1-2.

點評：從第(1)問中函數(shù)f(x)切點確定求參數(shù)a的值，到第(2)問中函數(shù)f(x)切點變化求參數(shù)a的范圍，是從特殊到一般的過程，滲透了邏輯推理的核心素養(yǎng)，由參數(shù)求值問題過渡到參數(shù)求范圍問題滲透了函數(shù)與方程的數(shù)學思想.本題第(1)問中處理兩曲線公切線問題的思考角度在第(2)問中仍然適用.此外，在處理求參數(shù)范圍的問題時，需先構(gòu)建含有參數(shù)的等式，再轉(zhuǎn)化為兩曲線存在交點或函數(shù)存在零點的問題去求參數(shù)范圍.

3 變型題

已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線，則a的取值范圍為.

秒殺法：圖象法.

函數(shù)f(x)=x3-x的圖象固定，函數(shù)g(x)=x2+a的圖象隨a的變化而沿著y軸方向變化，曲線y=g(x)與曲線y=f(x)的幾類位置關系如圖3～7.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

直觀觀察兩函數(shù)圖象公切線的存在情況，可以發(fā)現(xiàn)，當f(x)與g(x)的相對位置屬于前四種情況(圖3～6)時，兩函數(shù)圖象均能找到公切線.當f(x)與g(x)的相對位置屬于圖7所表示的情況時，在兩函數(shù)圖象交點左側(cè)，f(x)的導函數(shù)值恒為正值，而g(x)的導函數(shù)值恒為負值，不可能存在公切線；在兩函數(shù)交點的右側(cè)，由于g(x)圖象恒在f(x)圖象下方，所以也不可能存在公切線.綜上，當f(x)與g(x)的位置關系屬于圖7所表示的情況時，兩函數(shù)不存在公切線.

當函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象在y軸右側(cè)有共同切點的公切線時，設參數(shù)a的值為a0，當a≥a0時，f(x)與g(x)均存在公切線；當a

由點(1,y0)同在y=f(x)與y=g(x)上，得f(1)=g(1)，即0=1+a0，解得a0=-1.

由圖象可知，當a≥a0=-1時，f(x)與g(x)存在公切線；當a<-1時，f(x)與g(x)不存在公切線.

綜上，a∈[-1,+∞).

點評：在求解參數(shù)范圍問題時，通?？梢允褂脠D象法尋找臨界值進行求解，雖然在解答題中不夠嚴謹而存在瑕疵，但在客觀題求解中是常見方法.

鏈接1若直線y=kx+b是曲線y=lnx的切線，也是曲線y=ex-2的切線，則k=.

分析：分別設出直線與兩曲線的切點坐標，求出導數(shù)值，得到兩切線方程，再由兩切線重合得斜率和截距相等，從而求得切線方程.

鏈接2(2018年天津卷理科第20題)已知函數(shù)f(x)=ax，g(x)=logax.

分析：兩個函數(shù)的公切線問題可轉(zhuǎn)化為二元方程組解的問題，通過消元，將方程組化為方程.而方程是否有解的問題可歸結(jié)為連續(xù)函數(shù)的零點存在問題，即只要在區(qū)間上存在兩個自變量，其函數(shù)值異號即可.

證明：曲線y=f(x)在點(x1,ax1)處的切線l1的方程為y-ax1=(x-x1)ax1lna.

有解.

1-x1lna=x2lna(lnx2-1).

再由⑤得x1lna+lnx2=-2ln(lna),故有

1+2ln(lna)+lnx2=x2lna(lnx2-1).

⑦

下證方程⑦有正實數(shù)解.

令r(x)=xlna(lnx-1)-lnx-2ln(lna)-1,則r(e)=-2ln(lna)-2≤0.那么由零點存在定理可知,只要找到一個x0>0,使r(x0)≥0即可.