求曲線軌跡方程的五種常用方法例析

李春林

?甘肅省天水市第九中學(xué)

求曲線軌跡方程的問題，歷來是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)問題之一.許多學(xué)生面對這類問題，常常感到束手無策.為此，筆者綜合平時的教學(xué)，梳理歸納出以下五種求軌跡方程的常用方法.

1 直接法

若動點(diǎn)M滿足的幾何條件是用等量關(guān)系給出的，求動點(diǎn)M的軌跡方程可按建系、設(shè)點(diǎn)、代入、化簡、證明五個步驟進(jìn)行.

圖1

2 定義法

若動點(diǎn)M的軌跡符合常見曲線(直線、圓、圓錐曲線等)的定義時，則可抓住曲線的幾何特征，直接得出點(diǎn)M的軌跡方程.

圖2

典例2如圖2，已知圓x2+(y+4)2=25的圓心為C1，圓x2+(y-4)2=1的圓心為C2,某動圓C分別與圓C1、圓C2相外切，求動圓圓心C的軌跡方程.

解：由已知，點(diǎn)C1(0,-4),C2(0,4),r1=5,r2=1.

設(shè)動圓C的半徑為r,則由圓C分別與圓C1、圓C2相外切，得|CC1|=r+5，|CC2|=r+1.

所以|CC1|-|CC2|=4<8.

即點(diǎn)C到兩定點(diǎn)C1,C2的距離之差為常數(shù)4，所以動圓圓心的C的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn)的雙曲線的上支.

由題意，得2a=4,2c=|C1C2|=8.

所以b2=c2-a2=12.

點(diǎn)評：利用已知條件，分析得出動圓圓心C的軌跡符合雙曲線(上支)定義，從而結(jié)合已知條件，直接得出軌跡方程.

3 相關(guān)點(diǎn)法

如果兩點(diǎn)P，Q之間存在某種確定的運(yùn)動規(guī)律，并且這兩點(diǎn)中某點(diǎn)的軌跡方程是已知的，這時可以建立點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)關(guān)系，通過代換求出另一點(diǎn)的軌跡方程.

圖3

①

切線MF的方程為

②

由①②聯(lián)立,得M點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)分別為

③

④

由點(diǎn)M在直線l上，得xM-yM-1=0.

點(diǎn)評：確定點(diǎn)H與點(diǎn)M的坐標(biāo)關(guān)系后，由點(diǎn)M在已知直線上，通過代換即可求出點(diǎn)H軌跡方程.這類問題確立兩動點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4 參數(shù)法

圖4

解:由題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx-1,設(shè)點(diǎn)Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).

因為直線l與拋物線C：x2=4y交于A，B兩點(diǎn),所以x1+x2=4k,且Δ=16k2-16>0.

解得k<-1，或k>1.

(x1，y1-1)+(x2,y2-1)=(x,y-1).

因為x=4k(k<-1，或k>1)，所以x<-4，或x>4.

點(diǎn)評：引入?yún)?shù)k，表示直線l的斜率，進(jìn)而建立動點(diǎn)Q的坐標(biāo)與參數(shù)k之間的關(guān)系，最后消去參數(shù)k即得點(diǎn)Q的軌跡方程.恰當(dāng)引參，建立動點(diǎn)Q的坐標(biāo)與參數(shù)k的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

5 交軌法

圖5

解：設(shè)P(x1，m)，Q(-x1，m)，M(x，y).

由點(diǎn)P在雙曲線上，得

⑤

當(dāng)x1≠0時，直線PA1的方程為

⑥

直線QA2的方程為

⑦

由⑥×⑦，得

⑧

點(diǎn)評：巧妙地引入雙參數(shù)x1與m，進(jìn)而得到兩動直線的方程.聯(lián)立求出交點(diǎn)M(x，y)，然后整理出x，y，x1，m間的關(guān)系，最后再消去x1與m，即得點(diǎn)M的軌跡方程.

6 小結(jié)

求曲線軌跡方程的問題，涉及知識點(diǎn)多，范圍廣，交匯性強(qiáng)，運(yùn)算與推理比較復(fù)雜.但只要理解和把握問題的本質(zhì)，熟練運(yùn)用上述五種常用方法，綜合分析，靈活應(yīng)用，就能逐漸走出求軌跡方程的困境.