經歷知識形成過程 方能領悟數(shù)學思想

［摘? 要］ 以“用轉化策略解決問題”的教學為例，教師教學時要加強學生的學習活動體驗，讓學生經歷思想方法形成的過程，才能使數(shù)學思想的教學變成一種真實的、有效的學習內容。與此同時，教師需要精選素材、精心設問，讓學生在知識發(fā)生的過程中感悟轉化策略，在總結反思的過程中歸納轉化思想。

［關鍵詞］ 數(shù)學思想；轉化策略；解決問題

一、思考

眾所周知，數(shù)學思想蘊含在知識發(fā)生的過程之中。倘若教師數(shù)學教學時“滿堂灌”，單一地傳授數(shù)學知識，怎么能真正意義上培養(yǎng)學生的思維能力和學習興趣呢？又如何能讓學生領悟數(shù)學思想方法呢？在新課程理念下，教師應關注讓學生親歷知識形成過程的“過程性目標”，讓學生有機會參與到知識的探究中去，通過直接的數(shù)學活動領悟數(shù)學思想。

在教學“用轉化策略解決問題”一課時，筆者一直在思考：能否通過精選素材、精心設問讓學生經歷思考、探究、推理、抽象、反思等過程，從而在興趣盎然和積極參與中對“轉化策略”有更加深刻的體驗，讓學生真正意義上領悟轉化思想呢？

二、實踐

（一）在故事與圖形中初步感知

師：同學們，你們喜歡聽故事嗎？

生（齊）：喜歡！

師：那就讓我們一起來欣賞這樣一個有趣的故事！

PPT出示小故事《牧師的孩子拼地圖》的主要情節(jié)：一個貧困的牧師在某日早晨為了轉移哭鬧不止的兒子的注意力，將一幅世界地圖撕成碎片，并承諾兒子若能拼出地圖就獎勵2角5分錢。當看到兒子專心致志地拼地圖時，牧師長舒了一口氣，以為上午的大部分時間可以清閑了。然而，只過去了十分鐘，兒子完成了拼圖。牧師大吃一驚，不解地問兒子：“為什么拼得這么快”？兒子回答：“因為地圖的另一面是一個人的照片，把這個人拼到一塊，再翻過來就好了。如果這個‘人是正確的，那么這幅‘世界地圖也就正確了?！蹦翈熼_心地將2角5分錢交給了兒子。

師：讀完這個故事，你們有何想法？

生1：牧師的兒子真是太聰明了。

生2：他換了一種思考的角度，一樣得出了結果，真是好樣的！

……

師：好的故事總能極好地啟迪我們，故事中的小孩通過將復雜的事情轉化成簡單的事情，輕而易舉地“拿下”了爸爸認為的難題，真是非常聰明。在學習中，我們也要多學習他的聰明與靈活，嘗試著運用轉化的策略去解決問題，相信你們也可以擁有不俗的表現(xiàn)。（出示課題）

師：下面，再讓我們一起來玩一個小游戲。如圖1，兩個長方形哪個面積大？（PPT出示圖1）

生3：我覺得左邊的大一些。

生4：我認為右邊的大一些。

生5：我感覺兩個一樣大。

師：你們猜出了各種結果，到底誰的說法正確呢？該如何驗證？

生6：我們可以請方格圖來幫忙。

師：真是不錯的建議?。ń處熗ㄟ^PPT呈現(xiàn)附有方格的圖片，學生通過數(shù)方格輕松比較出兩個圖形的大?。?/p>

師：請比較這兩個圖形的大小，數(shù)方格的方法還可行嗎？（PPT出示圖2）

生7：沒那么方便了。

師：那如何才能在較短時間內比較出兩個圖形的大小呢？下面，請大家動手試一試。（學生開始在作業(yè)本上試畫，不少學生開始小聲交流）

生8：可以將左邊圖形上面的半圓向下平移5格至對應的下面，這樣左邊的圖形就是一個長5格寬4格的長方形了。

生9：右邊的圖形也可以變。只要將其左右兩個半圓分別旋轉，就構成了一個長5格寬4格的長方形。

師：利用方格圖，我們就可以發(fā)現(xiàn)，它們是一樣大。（教師用PPT動態(tài)演示平移或旋轉的過程）

師（追問）：這里我們運用的策略是什么？

生（齊）：轉化。

師：有何好處？

生10：轉化了復雜問題，使其變得簡單。

師：不錯。（板書：復雜→簡單）

效能分析：對于六年級的學生而言，轉化的體驗早已有了一定的積累，但學生這樣的體驗并非有意識的。上述的教學環(huán)節(jié)中，教師合理呈現(xiàn)學習素材，以直觀圖形和故事導入，引導學生去思考、去對比、去辨析，使其一開始就對轉化的策略有了清晰的認知。

（二）在回顧舊知中清晰感受

師：下面請大家回顧并思考，我們利用轉化策略解決過問題嗎？解決過哪些問題？請開展小組合作交流，并在全班交流心得。

一段時間的熱烈探討后，每個小組都有了各種的想法與認識：

①組得出轉化策略能在圖形面積或體積公式的推導中應用。（根據(jù)①組給出的結論，教師適時借助PPT呈現(xiàn)各圖形計算公式的推導過程，以助力學生的回顧與思考）

②組得出轉化策略能在求圖形周長、內角和等問題中應用。（為了體現(xiàn)②組的觀點，教師適時追問“如何求樹葉和硬幣的周長”“如何求三角形的內角和”，學生自然得出“化曲為直”及“將三個內角轉化為一個平角”的方法，使其能清晰感受轉化策略）

③組得出轉化策略能在數(shù)與計算方面中應用，并列舉出計算異分母分數(shù)加減法、計算分數(shù)除法、計算小數(shù)除法時，分別將其轉化為同分母分數(shù)、分數(shù)乘法及整數(shù)乘法進行計算。

師：經過回顧與反思，我們每個小組都分別整理出不同轉化策略的應用。那么，你們列舉出的問題解決方法有何共同之處呢？

生（齊）：都是將未知轉化為已知。（教師適時板書：未知→已知）

效能分析：僅憑直觀演示和動手操作很難讓學生形成對轉化策略清晰的理解和認識，只有讓學生親歷策略的形成過程，在思維的不斷突破中，方能讓學生清晰感知和體驗轉化思想。本環(huán)節(jié)中，教師精設回顧整理的環(huán)節(jié)并非隨性而為，而是希望學生在復習整理中自主理解和感悟轉化策略，充分感受到轉化思想的價值與作用，以助力之后的深度探索。

（三）在實踐應用中真實體驗

師：事實上，數(shù)學學習就是不斷將未知知識轉化為已知知識的過程，下面請大家試著應用本節(jié)課中學到的策略來靈活解決數(shù)學問題。

師：觀察上式，說說它有何特征？

生11：算式中分子都是1，同時后一個分數(shù)均為前一個分數(shù)的一半。

師：真是觀察仔細的好孩子，請大家試著算一算吧！

師：若算式中數(shù)據(jù)較多，那算起來就比較煩瑣了，還有其他方法嗎？

師：真不錯，還有嗎？

師：生14所用的數(shù)形結合的方法真精彩，完美地將加法計算轉化為減法計算。那么，采用這種方法，再加上■，又該如何計算呢？（生14繼續(xù)精彩作答）

……

問題2：觀察圖4中的兩個圖形，該如何計算右邊圖形的周長？

生15：我知道，可以將其平移轉化為和左邊一樣的長方形，這樣就好計算了。

師：解決起來如此輕松，真是不錯！

問題3：看，足球場上正在舉行足球賽，一共有16支參賽隊伍，比賽采用單場淘汰制（每場淘汰1支隊伍）。那么共需比賽多少場才能決出冠軍？

師：你準備用什么方法計算？

生16：可以用畫圖法。

師：可以，還有其他更加簡便的計算方法嗎？

生17：16-1=15（場）。

師：這么簡單？能說一說你的思考過程嗎？

生17：冠軍只有一個，那就需要淘汰掉16-1=15（支）球隊。而本次比賽是單場淘汰制，那淘汰15支球隊就需比賽15場，即16-1=15（場）。

師：解釋得很到位，真棒！這里將問題“共需比賽多少場才能得出冠軍”轉化為“共需淘汰多次支球隊”就變得簡便了。為什么會變得簡便呢？

生（齊）：因為應用了轉化策略。

師（追問）：若參加比賽的球隊是64支，共需比賽多少場呢？若是n支呢？

……

（四）在拓展延伸中深化認識

問題4：請試著計算圖5中圖形的周長。

生18：如圖6，將其轉化為求一個大圓周長的一半及一個小圓周長。

大圓周長的一半：4×2×3.14÷2=12.56（m）。

小圓周長：3.14×4=12.56（m）。

所以圖形周長：12.56+12.56=25.12（m）。

生19：其實也可以轉化為“求一個半徑為4m的大圓周長”，即2×3.14×4=25.12（m）。

師：能說一說理由嗎？

生19：那是因為此處小圓周長與大圓周長的一半相等。

師：非常棒，你不僅善于思考，還善于觀察！如此復雜的求圖形周長的問題，居然可以轉化為求大圓的周長，給你點贊！

效能分析：日常生活中，轉化思想的應用不僅廣泛，并且方法也靈活多樣。因此，教師要在應用環(huán)節(jié)中精選一些學生熟悉的生活問題，一方面讓學生感受到轉化思想的重要性，另一方面也能培養(yǎng)學生靈活運用轉化策略解決問題的能力。

（五）在總結反思中有效深化

師：今天我們利用轉化策略解決了如此多的數(shù)學問題，那么數(shù)學家們又是如何看待轉化策略解題的呢？（學生齊讀教材中數(shù)學家們的看法）

師：事實上，轉化策略不僅應用于數(shù)學學習，其他領域也多有涉及，比如有名的曹沖稱象、愛迪生測燈泡容積等。（PPT出示數(shù)學史）

師：我們今天一起學習了“用轉化策略解決問題”，誰來說一說你的感受？（學生一一闡述，教師板書）

……

效能分析：學習轉化策略，需要激起學生應用轉化策略的意識。以上環(huán)節(jié)中，教師通過對轉化策略價值的追問，讓學生切實體驗其價值，從而提升學生的轉化意識與能力。

三、啟示

（一）在知識發(fā)生的過程中感悟策略

教學的過程中，一些數(shù)學概念的形成、一些數(shù)學公式的推導以及一些規(guī)律的揭示都是自然滲透數(shù)學思想、訓練學生數(shù)學思維和讓學生感悟數(shù)學思想的絕佳時機。這就需要教師基于教學目標，從思想方法的具體特征出發(fā)，關注到學生的年齡特征、認知水平來精心備課，提煉核心問題，選擇適宜材料來引領學生的數(shù)學思考，讓學生參與到知識的形成與建立過程，讓學生在獨立思考、合作探究、探討反思中水到渠成地領悟數(shù)學思想。

本節(jié)課的教學中，不管是課堂導入設計，還是之后的探究環(huán)節(jié)設計，又或是拓展延伸環(huán)節(jié)，教師的設計都是基于學生最近發(fā)展區(qū)，都依據(jù)了轉化思想的具體特征，讓學生在思考、合作、探究的過程中習得新知、領悟思想。這樣，為學生今后能靈活運用轉化策略解決問題打下了堅實的基礎。

（二）在總結反思的過程中歸納思想

課本中的轉化思想蘊含于知識體系之中，在實際教學的過程中，教師需通過課堂小結的環(huán)節(jié)及時對數(shù)學思想進行歸納與提升，這樣才能讓學生實現(xiàn)真正意義上的內化。本節(jié)課中，教師設計實踐應用的環(huán)節(jié)，讓學生通過解決各種各樣的問題進一步體驗轉化的過程，在小組合作中探討和總結轉化策略，通過互動交流得到啟發(fā)，從而更好地生成轉化思想。教師還要通過課堂小結，讓學生交流一節(jié)課的收獲與心得。讓筆者欣喜的是此時學生的思維非?；钴S，發(fā)言順暢而自然，精彩不斷，切實感受到了轉化思想帶來的歡欣，充分體驗到了轉化策略的魅力。

總之，教師只有加強學生的學習活動體驗，讓學生經歷思想方法形成的過程，才能讓數(shù)學思想的教學變成一種真實的、有效的學習內容。當然，值得注意的是，生搬硬套的教學過程不可取，數(shù)學思想并非依靠學生死記硬背就能掌握，這只會增加學生的學習負擔。既然數(shù)學思想方法是數(shù)學學習之“魂”，那么教師就需要精心設計教學過程，通過精選素材、精心設問，讓學生經歷思考、探究、推理、抽象、反思等過程，使轉化思想隱形于知識的形成、發(fā)展與應用之中。這樣，知識與方法才能緊密相連、融為一體，才能給予學生豐富而深刻的體驗，給予學生廣闊的思維空間，實現(xiàn)數(shù)學知識技能與數(shù)學思想方法的融合，從而使學生切實地領悟數(shù)學思想方法。

作者簡介：吳凡（1993—），本科學歷，中小學二級教師，從事小學數(shù)學教學工作。