基于輻射能量分布函數(shù)的黑體輻射天地一致性理論推導(dǎo)

劉 健, 林嘉軒, 朱凌軒, 杜 君

(電磁散射重點(diǎn)實驗室, 上海 200438)

0 引言

飛行器紅外輻射特性是影響飛行器可探測性的重要目標(biāo)特性之一。飛行器紅外輻射能量主要來源于蒙皮和發(fā)動機(jī)排氣系統(tǒng),其中蒙皮輻射能量主要集中在長波波段,發(fā)動機(jī)排氣系統(tǒng)輻射能量主要集中在中波波段[1]。隨著長波紅外探測技術(shù)的發(fā)展,飛行器蒙皮輻射特性越來越受到關(guān)注?，F(xiàn)階段,國內(nèi)外研究人員對飛行器蒙皮輻射特性開展了大量的數(shù)值仿真和試驗測試研究。MARTINEZ等[2]開發(fā)了大型商用飛機(jī)紅外特性計算代碼,使用該代碼計算了波音747-400客機(jī)的紅外特性,重點(diǎn)分析了機(jī)身蒙皮的輻射特性。為驗證該代碼的正確性,COIRO 等[3]測量了波音737客機(jī)起降階段的紅外輻射特性。相比于測量客機(jī)高空巡航狀態(tài)下的輻射特性,測量起降階段的輻射特性相對容易,這也是COIRO 等測量客機(jī)起降階段的紅外輻射特性數(shù)據(jù)用于驗?zāi)５囊粋€主要原因。然而,地面狀態(tài)畢竟不同于高空狀態(tài),尤其是地面溫度顯著高于高空溫度,直接在地面測得的目標(biāo)輻射特性必然不同于高空環(huán)境中的目標(biāo)輻射特性,即存在天地一致性問題。

如果通過數(shù)值仿真等手段獲得了高空飛行狀態(tài)下的飛行器蒙皮溫度分布,再在地面狀態(tài)下通過冷卻手段模擬高空環(huán)境蒙皮的低溫分布,對低溫蒙皮輻射特性進(jìn)行測量,可以獲得高空飛行狀態(tài)下的蒙皮輻射特性。這一試驗方法似乎可行,但實際存在兩點(diǎn)不足:一是冷卻比加熱更難,在地面高溫環(huán)境中通過冷卻手段模擬高空飛行器蒙皮較低的溫度分布難度很大;二是地面背景溫度高于目標(biāo)溫度,背景輻射高于目標(biāo)輻射,在強(qiáng)背景中測量弱目標(biāo)的輻射特性,存在較大測量誤差。為解決上述問題,亟需開展地面靜態(tài)模擬測量高空低溫飛行器蒙皮輻射特性的天地一致性理論研究。

現(xiàn)階段,鮮有文獻(xiàn)涉及黑體輻射的天地一致性理論研究。目前,僅本文作者在早期針對黑體積分輻射強(qiáng)度開展過縮比理論和地面等效模擬測試研究。LIU 等[4]從控制方程出發(fā),理論推導(dǎo)得到了積分輻射強(qiáng)度與幾何縮比的數(shù)學(xué)關(guān)系,并進(jìn)行了平板試驗驗證。WANG 等[5]推導(dǎo)得出了積分輻射強(qiáng)度和幾何縮比、溫度、波段的數(shù)學(xué)關(guān)系,并用于指導(dǎo)飛行器蒙皮積分輻射試驗,但研究結(jié)論沒有涉及光譜輻射強(qiáng)度。在流體流動和對流換熱領(lǐng)域,通過對控制方程組進(jìn)行無量綱化處理,可以推導(dǎo)得出一系列無量綱系數(shù),構(gòu)建相似理論用于指導(dǎo)模擬試驗測試。但在輻射換熱領(lǐng)域,由于控制方程中存在普朗克定律這類超越函數(shù)方程,無法通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到無量綱系數(shù),因此輻射換熱領(lǐng)域不存在相似理論。

針對地面靜態(tài)模擬測量高空低溫飛行器蒙皮輻射特性試驗中存在的等效一致性問題,本文從普朗克定律出發(fā),通過引入黑體光譜輻射能量分布函數(shù)和黑體積分輻射能量分布函數(shù),理論推導(dǎo)得出黑體光譜輻射強(qiáng)度、積分輻射強(qiáng)度與溫度、波長的數(shù)學(xué)關(guān)系,并進(jìn)行理論自洽驗證。該數(shù)學(xué)關(guān)系的推導(dǎo)是為了揭示低溫、長波波段輻射強(qiáng)度與高溫、短波波段輻射強(qiáng)度之間的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)建黑體在高空和地面不同溫度下輻射一致性的理論基礎(chǔ)?；谠摂?shù)學(xué)關(guān)系,可以通過在地面狀態(tài)下測量高溫短波波段的輻射強(qiáng)度,推算出目標(biāo)在高空低溫狀態(tài)下長波波段的輻射強(qiáng)度,以實現(xiàn)地面靜態(tài)環(huán)境下對高空環(huán)境下飛行器蒙皮輻射特性的等效模擬測量。

1 光譜輻射強(qiáng)度天地一致性理論推導(dǎo)

高空飛行狀態(tài)下,飛行器蒙皮大部分區(qū)域溫度與環(huán)境溫度相當(dāng),由于氣動加熱和發(fā)動機(jī)熱源等因素影響,整個飛行器表面的蒙皮溫度是不均勻的。典型飛行器高空巡航狀態(tài)下蒙皮溫度分布如圖1所示。然而,若飛行器表面的蒙皮可以劃分成若干個網(wǎng)格,且網(wǎng)格劃分得足夠小的話,那么每個網(wǎng)格中的溫度(T1～T6)可以認(rèn)為是均勻的。

圖1 典型飛行器高空巡航狀態(tài)下蒙皮溫度分布示意圖

以蒙皮上任意一個網(wǎng)格微元為研究對象,假設(shè)該網(wǎng)格微元溫度為T,發(fā)射率為1,面積為A,同時其輻射特性滿足朗伯余弦定律,則該蒙皮微元的光譜輻射強(qiáng)度可以由普朗克定律計算得到[6]。其表達(dá)式為

式中:Ib,T,λ為溫度為T、面積為A的黑體在波長λ上的光譜輻射強(qiáng)度;c1為第一輻射常數(shù),其值為3.741 5×108W·μm4/m2;c2為第二輻射常數(shù),其值為1.438 79×104μm·K。

將式(1)對波長λ求偏導(dǎo)數(shù),并令導(dǎo)數(shù)等于零,可得

式中:λm為光譜輻射強(qiáng)度峰值對應(yīng)的波長。

將λmT作為一個變量,可以采用逐次逼近的數(shù)值算法求解,得到λmT=2 898.8μm·K。將該值帶入式(1)中,可以計算得到該蒙皮微元的峰值光譜輻射強(qiáng)度

式中:c3為常數(shù),其值為1.286 2×10-11W/(m2·μm·K5)。

定義黑體光譜輻射能量分布函數(shù)為溫度T的黑體在波長λ上的光譜輻射強(qiáng)度與峰值輻射強(qiáng)度的比值,即

將式(1)和式(5)帶入式(6),可以將黑體光譜輻射能量分布函數(shù)轉(zhuǎn)換為以λT為變量的函數(shù),即

分析式(7)可以發(fā)現(xiàn),黑體光譜輻射能量分布函數(shù)是關(guān)于λT的函數(shù),只要保證波長和溫度的積不變,即可保證黑體光譜輻射能量分布函數(shù)值不變,而不需要保證波長和溫度均不變。

基于黑體光譜輻射能量分布函數(shù)這一特點(diǎn),假設(shè)有兩個面積相同的黑體,黑體1的溫度為T,黑體2的溫度為黑體1的溫度的n倍,即nT。黑體1在波長λ1上的光譜輻射強(qiáng)度Ib,T,λ1與黑體2在波長λ2上的光譜輻射強(qiáng)度Ib,nT,λ2之比可表示為

式中:Ib,T,λm1表示溫度為T的黑體在波長λm1上的峰值光譜輻射強(qiáng)度;Ib,nT,λm2表示溫度為nT的黑體在波長λm2上的峰值光譜輻射強(qiáng)度。

如果保證兩個黑體的溫度和波長乘積相同,即λ1T=λ2nT,則有

那么,式(8)可以變換為

式(11)給出了波長和溫度乘積保持不變時,黑體在不同波長上的光譜輻射強(qiáng)度與波長、溫度的關(guān)系。該關(guān)系表明:溫度為T的黑體在波長λ上的光譜輻射強(qiáng)度等于溫度為nT的黑體在波長λ/n上的光譜輻射強(qiáng)度的(1/n)5。該數(shù)學(xué)關(guān)系構(gòu)成了黑體光譜輻射強(qiáng)度天地一致性理論。基于該理論,可以通過測量地面高溫環(huán)境下的黑體短波光譜輻射強(qiáng)度,推算出高空低溫環(huán)境下的黑體長波光譜輻射強(qiáng)度。

2 積分輻射強(qiáng)度天地一致性理論推導(dǎo)

仍然以圖1中飛行器蒙皮上任意一個網(wǎng)格微元為研究對象,設(shè)該網(wǎng)格微元溫度為T,發(fā)射率為1,面積為A。該網(wǎng)格微元在波長λ1～λ2范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度[7]Ib,T,λ1～λ2可以通過對光譜輻射強(qiáng)度在該波長范圍內(nèi)積分得到,有

根據(jù)斯蒂芬-玻耳茲曼定律,對光譜輻射強(qiáng)度在波長0～∞范圍內(nèi)積分,可以得到該微元在全波長范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度

式中:σ=π4c1/(15c2)為斯蒂芬-玻耳茲曼常數(shù),取值為5.669 7×10-8W/(m2·K)。

定義黑體積分輻射能量分布函數(shù)F(λT)為溫度T的黑體在波長0～λ范圍內(nèi)積分輻射強(qiáng)度與全波長范圍內(nèi)積分輻射強(qiáng)度的比值,即

分析式(14)可以發(fā)現(xiàn),黑體積分輻射能量分布函數(shù)是關(guān)于λT的函數(shù),只要保證波長和溫度的積不變,即可保證黑體積分輻射能量分布函數(shù)值不變,而不需要保證波長和溫度均不變。

基于黑體積分輻射能量分布函數(shù)這一特點(diǎn),假設(shè)有兩個面積相同的黑體,黑體1的溫度為T,黑體2的溫度為nT。黑體1在波長λ1～λ2范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度Ib,T,λ1～λ2與黑體2在波長λ3～λ4范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度Ib,nT,λ3～λ4之比可表示為

如果保證兩個黑體的溫度和對應(yīng)的波長范圍乘積相同,即λ1T=λ3nT、λ2T=λ4nT,則有

那么,式(15)可以變換為

式(20)給出了波長和溫度乘積保持不變時,黑體在不同波長范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度與波長、溫度的關(guān)系。該關(guān)系表明,溫度為T的黑體在波長λ1～λ2范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度等于溫度為nT的黑體在波長λ1/n～λ2/n范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度的(1/n)4。該數(shù)學(xué)關(guān)系構(gòu)成了黑體積分輻射強(qiáng)度天地一致性理論?；谠摾碚?可以通過測量地面高溫環(huán)境下的黑體短波波段的積分輻射強(qiáng)度,推算出高空低溫環(huán)境下的黑體長波波段的積分輻射強(qiáng)度。

3 理論自洽驗證

積分輻射強(qiáng)度是在一定波長范圍內(nèi)對光譜輻射強(qiáng)度進(jìn)行波長積分計算得到的?；谠摱x,積分輻射強(qiáng)度和光譜輻射強(qiáng)度間的關(guān)系可以表示為

對式(21)等號右邊項進(jìn)行離散,將波長λ1～λ2范圍均勻離散為m個窄波段,分別計算每個窄波段內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度,并對m個窄波段內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度求和,式(21)可改寫為

式中:Δλ=(λ2-λ1)/m為離散的窄波段波長寬度。

式(11)給出了在波長和溫度乘積保持不變時,黑體光譜輻射強(qiáng)度與波長、溫度的關(guān)系。將式(11)帶入式(22),將式(22)等號右邊項中溫度為T、波長λ1～λ2范圍內(nèi)的光譜輻射強(qiáng)度Ib,T,λ1～λ2,轉(zhuǎn)換為溫度為nT、波長λ1/n～λ2/n范圍內(nèi)的光譜輻射強(qiáng)度Ib,nT,λ1/n～λ2/n,可以得到

上述理論自洽驗證過程從積分輻射強(qiáng)度和光譜輻射強(qiáng)度的物理定義出發(fā),通過引入黑體光譜輻射強(qiáng)度與溫度、波長的數(shù)學(xué)關(guān)系,即式(11),數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出黑體積分輻射強(qiáng)度與溫度、波長的數(shù)學(xué)關(guān)系,即式(20),從理論自洽角度驗證了黑體輻射天地一致性理論的正確性。

4 結(jié)論

本文在數(shù)學(xué)上構(gòu)建了黑體光譜輻射能量分布函數(shù)和黑體積分輻射能量分布函數(shù),并將其引入黑體輻射天地一致性問題研究中,推導(dǎo)得出了黑體輻射強(qiáng)度與溫度、波長的數(shù)學(xué)關(guān)系。在理論上,基于黑體輻射強(qiáng)度與溫度、波長的數(shù)學(xué)關(guān)系,構(gòu)建了黑體在高空和地面不同溫度下的輻射強(qiáng)度一致性理論。在方法上,基于黑體輻射天地一致性理論,提出了地面靜態(tài)模擬測量高空低溫飛行器蒙皮輻射特性的試驗方法。

本文通過引入光譜輻射能量分布函數(shù)和積分輻射能量分布函數(shù),理論推導(dǎo)得出了黑體輻射能量與溫度、波長的關(guān)系,并進(jìn)行理論自洽驗證。提出了在地面狀態(tài)下測量高空飛行器低溫蒙皮輻射特性的天地一致性理論,得到如下研究結(jié)論:

a) 溫度為T的黑體在波長λ上的光譜輻射強(qiáng)度等于溫度為nT的黑體在波長λ/n上的光譜輻射強(qiáng)度的(1/n)5;

b) 溫度為T的黑體在波長λ1～λ2范圍內(nèi)的積分輻射強(qiáng)度等于溫度為nT的黑體在波長λ1/n～λ2/n范圍內(nèi)積分輻射強(qiáng)度的(1/n)4;

c) 基于黑體輻射天地一致性理論,可以通過測量地面高溫環(huán)境下黑體的短波輻射特性,根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系推算出高空低溫環(huán)境下黑體的長波輻射特性。