基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分?jǐn)?shù)階滑模控制的導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

王 飛, 周愛(ài)美, 王宇霄

(浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)大學(xué)智能制造學(xué)院, 浙江 東陽(yáng) 322100)

0 引言

導(dǎo)彈是一個(gè)快時(shí)變的強(qiáng)非線性系統(tǒng),在進(jìn)行導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí),由于需要考慮導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng),因此目標(biāo)的機(jī)動(dòng)可以看作一類典型的外界干擾。同時(shí),制導(dǎo)系統(tǒng)模型建立必然存在多種誤差。這些因素都將極大地影響導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的精度。鑒于此,本文主要研究存在外界干擾或系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)時(shí)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題。

滑模變結(jié)構(gòu)控制的研究最早可以追溯到20世紀(jì)50年代末60年代初,前蘇聯(lián)學(xué)者的研究讓控制理論從經(jīng)典控制理論階段發(fā)展到現(xiàn)代控制理論階段[1]。和經(jīng)典控制理論相比,滑模變結(jié)構(gòu)控制理論可以分析的控制對(duì)象更加豐富,涵蓋離散系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)等。同時(shí),滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)和參數(shù)變化具有較強(qiáng)的魯棒性[2]。因此在進(jìn)行導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí),采取滑模變結(jié)構(gòu)控制可以有效解決外界干擾或系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)引起的問(wèn)題,保持導(dǎo)彈系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。從20世紀(jì)80年代開(kāi)始,隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、電子技術(shù)等快速發(fā)展,滑模變結(jié)構(gòu)控制由于其設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn),已從理論研究階段走向了大規(guī)模實(shí)踐階段,并被大量應(yīng)用于航空航天器、機(jī)器人等被控對(duì)象[3]。

由于被控對(duì)象常常存在時(shí)空滯后和延遲性,使得滑?？刂葡到y(tǒng)不能準(zhǔn)確工作在理想滑模面上。這就會(huì)引起系統(tǒng)抖震問(wèn)題,從而大大制約了滑模變結(jié)構(gòu)控制的實(shí)際應(yīng)用[4]。針對(duì)這一現(xiàn)象,學(xué)者從兩個(gè)方面進(jìn)行了研究。一種思路是將模糊控制等智能控制理論和滑模變結(jié)構(gòu)控制理論相融合,提出了可以消除抖震并具有完全魯棒性的滑?？刂葡到y(tǒng)[5]。另一種思路是采用準(zhǔn)滑?？刂品椒ㄏ墩?但是這種方法在一定程度上犧牲了控制系統(tǒng)的魯棒性。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上,針對(duì)經(jīng)典變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中存在抖震現(xiàn)象,難以在實(shí)際的導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)中應(yīng)用的問(wèn)題,將分?jǐn)?shù)階微積分理論引入滑?？刂品椒ㄖ?設(shè)計(jì)導(dǎo)彈末制導(dǎo)律;再結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)能力,提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分?jǐn)?shù)階滑?？刂频膶?dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法,以進(jìn)一步消除傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中的抖震現(xiàn)象。

1 尋的導(dǎo)彈制導(dǎo)律的數(shù)學(xué)模型

以基礎(chǔ)的二維平面制導(dǎo)問(wèn)題為例進(jìn)行分析,導(dǎo)彈-目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。圖中vt,αt分別表示目標(biāo)的速率和速度方向角;vm,αm分別表示導(dǎo)彈的速率和速度方向角;θ表示視線角;R表示目標(biāo)和導(dǎo)彈間的相對(duì)距離。

圖1 平面內(nèi)導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系示意圖

由圖1可以得到彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程,即

設(shè)導(dǎo)彈加速度在目標(biāo)視線方向上的投影為uR,目標(biāo)加速度在目標(biāo)視線方向上的投影為wR,導(dǎo)彈加速度和目標(biāo)加速度在垂直目標(biāo)視線方向上的分量分別為uθ和wθ,則有

將式(4)～式(7)代入式(2)和式(3),可以得到簡(jiǎn)化方程

將VR=,Vθ=R代入式(8),可得

2 分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)器設(shè)計(jì)

2.1 滑模面和控制律設(shè)計(jì)

對(duì)于式(10)所表示的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),可用狀態(tài)方程表示為

選取分?jǐn)?shù)階滑模面[5-7]

式中:Γ(·)為伽馬函數(shù);f(n)(t)為函數(shù)f(t)的n階導(dǎo)數(shù)。

在沒(méi)有擾動(dòng)的情況下(d=0),對(duì)式(13)求r階導(dǎo)數(shù),且,可得

則滑?？刂坡?/p>

式中:ue為等效控制函數(shù);us為切換控制函數(shù);-1為矩陣求逆運(yùn)算符;η為切換增益;sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。

2.2 穩(wěn)定性分析

將式(16)代入式(15),可得

根據(jù)式(14)的定義,在n=1且沒(méi)有擾動(dòng)的情況下(d=0),式(19)可改寫為

因此,針對(duì)二維平面制導(dǎo)問(wèn)題,采用式(16)所示的控制律,系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換流形,即S=0,從而可得

根據(jù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論可知,只要ki>0,式(21)表示的分?jǐn)?shù)階滑膜控制系統(tǒng)就能在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到零點(diǎn)[5]。

3 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

根據(jù)式(16)設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階滑?？刂坡芍邪袚Q增益η,η的取值大小在一定程度上決定了控制系統(tǒng)的綜合性能[5]。如η取值過(guò)大,系統(tǒng)將會(huì)出現(xiàn)較大幅度的抖震,這將極大地影響控制精度,甚至?xí)?dǎo)致控制系統(tǒng)不穩(wěn)定;如果η取值過(guò)小,則系統(tǒng)有可能不能達(dá)到切換流形。因?yàn)楦鶕?jù)變結(jié)構(gòu)控制理論,切換增益η必須滿足滑模達(dá)到條件,即η≥D,其中D為干擾量的上界。

由于切換增益η的取值十分重要,因此可以采用智能算法進(jìn)行優(yōu)化辨識(shí)。本文采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行系統(tǒng)切換增益的辨識(shí),這是因?yàn)樯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)算法學(xué)習(xí)能力較強(qiáng),并且可以進(jìn)行并行運(yùn)算[5]。

設(shè)ξ=[ξ1,ξ2,…,ξl]為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量,l表示輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)。Br=[b1,b2,…,bj,…,bm]T為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基寬度向量,其中bj為第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的基寬度,且為大于零的數(shù),m表示徑向基層節(jié)點(diǎn)數(shù)。h=[h1,h2,…,hj,…,hm]T為徑向基向量,其中hj為高斯函數(shù)。hj的表達(dá)式為

式中:cj=[cj1,cj2,…,cji,…,cjn]T為第j個(gè)徑向基節(jié)點(diǎn)的中心矢量,其中cji表示第i個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的第j個(gè)徑向基層節(jié)點(diǎn)的中心;‖·‖ 為范數(shù)運(yùn)算符。

因?yàn)楦鳡顟B(tài)矩陣的(0，n-1)，(0，n-2)元素值相加即可求得在t時(shí)刻系統(tǒng)處在危險(xiǎn)狀態(tài)的概率PFD。依據(jù)該情況，可以引入一個(gè)元素?cái)?shù)與系統(tǒng)狀態(tài)相同的危險(xiǎn)失效向量Vd，應(yīng)注意的是該向量表示的不是系統(tǒng)在某狀態(tài)的概率，而表示在要求的情況下系統(tǒng)能夠處于該狀態(tài)。所求的為危險(xiǎn)失效概率即FDD和FDU，因而“1oo1”模型的危險(xiǎn)失效向量Vd=[0011]T。以此有n個(gè)狀態(tài)的系統(tǒng)危險(xiǎn)失效向量Vd=[00…11]T，Vd中的元素為n個(gè)。因此，可得PFD(t)的公式為

設(shè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)向量為W=[w1,w2,…,wj,…,wm]T,其中wj為第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)值,則網(wǎng)絡(luò)第k次迭代的辨識(shí)輸出

式中:wj(k),hj(k)分別是第j個(gè)節(jié)點(diǎn)第k次迭代的權(quán)值和徑向基。

通過(guò)上述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)整定切換增益η,只需要定義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)輸入量

式中:S(k)為第k次迭代的滑模面。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)第k次迭代的整定指標(biāo)函數(shù)

根據(jù)式(15),可得控制矩陣

式中:u(k)為控制律第k次迭代的系統(tǒng)輸入。根據(jù)梯度下降法,第j個(gè)節(jié)點(diǎn)第k次迭代輸出權(quán)公式[5]為

第j個(gè)節(jié)點(diǎn)中心矢量的第k次迭代公式為

根據(jù)上述迭代算法,可以整定出合適的開(kāi)關(guān)切換增益系數(shù),使得系統(tǒng)滿足一定的控制性能。

4 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律魯棒性分析

首先討論一種能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)方程,表達(dá)式為

式中:xi+1為第i+1個(gè)狀態(tài)變量;n為狀態(tài)變量數(shù);a(t)=[a0,a1,…,an-1]為狀態(tài)矩陣;x=[x1,x2,…,xn]為狀態(tài)向量; Δa(t) =[Δa0,Δa1,…,Δan-1]為狀態(tài)參數(shù)攝動(dòng)矩陣;b(t)為輸入?yún)?shù);d(t)為系統(tǒng)干擾量。

由文獻(xiàn)[8]證明可知,線性時(shí)變系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)對(duì)外界干擾和系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)保持不變性的充要條件為

式中:rank(·)為矩陣秩函數(shù);D為干擾量上界值向量;ΔA為系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)。

對(duì)于能控標(biāo)準(zhǔn)型而言,有B=[0,0,…,b(t)]T,D= [0,0,…,d(t)]T。因 此,式(33)所示能控標(biāo)準(zhǔn)型必然滿足式(34)。而式(10)所示彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程作為式(33)所示能控標(biāo)準(zhǔn)型的特殊情況,也必然滿足式(34)。所以采用分?jǐn)?shù)階滑模控制理論設(shè)計(jì)制導(dǎo)律時(shí),制導(dǎo)系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性[8]。

在導(dǎo)彈末制導(dǎo)問(wèn)題研究中,可以將目標(biāo)機(jī)動(dòng)視為制導(dǎo)系統(tǒng)的外界干擾。從式(10)中不難發(fā)現(xiàn),狀態(tài)方程中有系統(tǒng)參數(shù)-2/R和-1/R,在實(shí)際探測(cè)過(guò)程中,和R的測(cè)量存在一定的誤差,系統(tǒng)存在攝動(dòng)是在所難免的。因而,采用分?jǐn)?shù)階滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)制導(dǎo)律是有一定研究意義的。

5 仿真驗(yàn)證

對(duì)設(shè)計(jì)的基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)整定的分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律的性能進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

基于平行接近原理的末制導(dǎo)性能指標(biāo)要求是能夠精確跟蹤給定的視線角θd=60°。其他仿真條件:目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)速度方向角滿足αt=3sint,目標(biāo)機(jī)動(dòng)速度大小滿足vt=100+20sint,導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始距離為5 000 m,初始視線角為45°,初始視線角變化率為0.2 rad/s,導(dǎo)彈初始速度的方位角為60°,導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)速度大小固定為500 m/s。

末制導(dǎo)的目的是控制跟蹤視線角θd,令e=θ-θd,則控制參數(shù)選擇滑模面,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)ρ=0.6,α=0.04。

視線角跟蹤仿真結(jié)果如圖2 所示。可以看出,導(dǎo)彈的目標(biāo)視線角可以在有限時(shí)間內(nèi)從初始值快速收斂于新的視線角位置,實(shí)現(xiàn)精確跟蹤。

圖2 視線角跟蹤

圖3為導(dǎo)彈和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)相對(duì)距離仿真結(jié)果。可以看出,選擇式(10)所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律,實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的相對(duì)距離快速減小到零的目的,也就是說(shuō)導(dǎo)彈可以成功攔截到目標(biāo)。

圖3 導(dǎo)彈和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)相對(duì)距離

6 結(jié)論

本文把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入到滑?？刂葡到y(tǒng)中,結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分理論,設(shè)計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分?jǐn)?shù)階滑?？刂破?并將這種控制器應(yīng)用到導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中?？紤]到傳統(tǒng)滑?？刂葡到y(tǒng)的切換增益對(duì)系統(tǒng)性能的影響,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)能力,整定開(kāi)關(guān)切換增益。經(jīng)過(guò)分析,設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階滑模面具有較好的控制性能,同時(shí)通過(guò)結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法優(yōu)化整定滑?？刂浦械那袚Q增益,可以在一定程度上減少抖震。但是如果要完全消除抖震,還有待后續(xù)的進(jìn)一步研究。