一道高考題引出圓錐曲線的三個美妙結(jié)論

武增明

2014年高考遼寧卷文15理15：已知橢圓C：x29+y24=1，點M與C的焦點不重合.若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|+|BN|=.

最近，筆者在研究此題時，由此題發(fā)現(xiàn)如下圓錐曲線的三個美妙結(jié)論.

結(jié)論1已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），點M與C的焦點不重合.若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|+|BN|=4a.

證明設(shè)橢圓C的焦點分別為F1，F(xiàn)2，如圖1.因為F1，F(xiàn)2分別為MA，MB的中點，設(shè)MN的中點為P，連接PF1，PF2，則由橢圓的定義，有|PF1|+|PF2|=2a.

又PF1，PF2分別是△MAN與△MBN的中位線，故|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=4a.

結(jié)論2已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），點M與C的焦點不重合.若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|-|BN|=4a.

證明設(shè)雙曲線C的焦點分別為F1，F(xiàn)2，如圖2.因為F1，F(xiàn)2分別為MA，MB的中點，設(shè)MN的中點為P，連接PF1，PF2，則由雙曲線的定義.有|PF1|-|PF2|=2a.又PF1，PF2分別是△MAN與△MBN的中位線，故|AN|-|BN|=2|PF1|-2|PF2|=4a.

結(jié)論3已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點為D.點M與點F不重合，若M關(guān)于點D，F(xiàn)的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|+|BN|的最小值是2p.

證明設(shè)MN的中點為E，連接ED，EF，如圖3.

因為|AN|+|BN|=2|ED|+2|EF|=2（|ED|+|EF|）

≥2|DF|（當(dāng)且僅當(dāng)M點與原點O重合時等號成立）

=2p，

所以|AN|+|BN|的最小值是2p.

分線性質(zhì)以及正弦定理，對能力要求較強.

（Ⅱ）解法一sinB=sin（60°+C）（性質(zhì)2），

又sinBsinC=12，化簡可得cosC=0.

評注此處用到∠B和（∠A +∠C）互補這一隱含條件，還必須用到（性質(zhì)2）的結(jié)論，這是解題的關(guān)鍵，否則無法往下進(jìn)行.

又∠C是三角形的內(nèi)角，所以∠C=90°，故∠B=30°.

解法二sinC=sin（60°+B） （性質(zhì)2），

化簡可得sinC=32cosB+12sinB.

又sinBsinC=12，所以 2sinB=32cosB+12sinB.

化簡得tanB=33，所以∠B=30°.

評注此法思路同“法一”，區(qū)別是直接得出∠B，所以∠C=90°.此處還可選擇多種方法，但仔細(xì)思考觀察可發(fā)現(xiàn)三邊恰好構(gòu)成直角三角形，從而使問題簡化，故∠B=30°.

上述解法對知識的綜合能力以及知識的積累要求較強，要靈活應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論使問題更簡單.