古代戰(zhàn)爭中的數(shù)學(xué)（下）

上期雜志，我們介紹了古代戰(zhàn)爭中的糧食運輸問題。本期，我們就來說另一個很有趣的問題：安營扎寨問題。

古代戰(zhàn)爭中，安營扎寨是一件非常重要的事情，每天行軍結(jié)束時，主將會帶著自己的隊伍尋找適合扎營的位置，然后派人在相應(yīng)位置做好標記，同時下達命令讓陸續(xù)到達的軍隊參照標記修建營地。營地建造質(zhì)量好壞可以直接反映出主將的統(tǒng)率能力、士兵的訓(xùn)練水平，乃至于這支軍隊的戰(zhàn)斗力?！度龂萘x》里就有提到，諸葛亮撤軍后，司馬懿看了諸葛亮撤軍后留下的營地遺址，就贊嘆說：“天下奇才也?！?/p>

古代軍營的修建是很考驗數(shù)學(xué)水平的，要做到“疏密有當”：營地內(nèi)各隊的位置要相對集中，使各級軍官能夠方便指揮；各隊之間又要保持一定距離，為調(diào)兵遣將留出通道。在兵力一定的情況下，過大的營地會讓各隊間空隙太大，產(chǎn)生防御漏洞，也不利于相互支援；過小的營地，則像一座只有兩條車道的城市，可能會在調(diào)兵時發(fā)生“堵車”，甚至沖亂其他隊伍。

鑒于安營扎寨是將領(lǐng)們的基本功，歷史上許多的兵書都有專門的篇幅來講解“營制”。兵書中先把營地分為幾種類型：方營、直營、三角營、圓營和偃月營；再講解扎營的過程和注意事項，有時也會提供一些參考數(shù)據(jù)，比如營地橫豎的邊長、內(nèi)部面積等等。不過，絕大部分兵書沒有給出計算方法。到了明朝，一個名叫唐順之的人寫了一本叫《武編》的兵書，里面出現(xiàn)了一篇與眾不同的內(nèi)容：“下營算法”——教人用數(shù)學(xué)方法來計算安營扎寨！

也許有人懷疑：這是不是不通軍事的書生在紙上談兵呢？還真不能這樣說，因為這本書的作者唐順之堪稱“明朝第一學(xué)霸”！他寫八股文拿過全國第一，還帶兵打過倭寇，研究過數(shù)學(xué)。他提出的“下營算法”指的是通過士兵的人數(shù)算出營地的面積，進而算出營地的邊長、直徑等參數(shù)。

方營就是一個正方形的營地。營地面積是按照人員數(shù)量直接求出的，假設(shè)普通步兵人均占地面積是1平方米，則20000人的軍隊組成的方營，面積就是20000平方米。接下來就要計算出正方形營地的邊長，這在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中叫作開平方。

直營就是長方形營地。算出營地需要的面積后，設(shè)置營地一邊的長度，做一個除法，就可以算出營地的寬度了。

三角營指的是等腰直角三角形的營地。它也是按人數(shù)計算出營地面積，將面積乘以2，然后按照方營算法開平方得出等腰直角三角形營地的直角邊長。

圓營的直徑計算方式是將營地面積乘以4/3，再按方營算法開平方求得圓營的直徑。這個4/3是怎么來的呢？這是因為古人使用的圓形面積計算公式是 S=（L×d）÷ 4 ， L是圓的周長，d是直徑，于是可以得到： d×d =S× 4÷π 。

雖然祖沖之在公元5世紀就已經(jīng)把圓周率精確到小數(shù)點后7位，但在之后的一千多年里，人們?yōu)榱擞嬎惴奖?，視π?，所以前面的式子就變成了d×d=S×4÷3。這恰好就是唐順之給出的計算方法。

偃月營是一個半圓形營地，主要用于軍隊有山河屏障的情況下依托天險扎營防御。唐順之給出的算法是將算出的營地面積S乘上8/3后再開平方。這也很好理解，S是半圓的面積，2×S就是整個圓的面積，套用前面圓營的公式就可以得出半圓形營地的直徑，再乘以圓周率即為周長，除以2可得到半圓形營地的弧長。

好了，“下營算法”基本介紹完畢。實際上這里用到的數(shù)學(xué)知識并不是唐順之的首創(chuàng)。它的開方算法直接繼承于漢代《九章算術(shù)》的開方術(shù)，各種面積計算知識也早就為古代數(shù)學(xué)家所熟悉。所以“下營算法”的內(nèi)容完全有可能在更早時就被人提出過。那么，這些數(shù)學(xué)手段對古代軍事起到過多大的作用呢？

答案很遺憾， 沒什么作用，除了唐順之外大概也沒人用過……原因有兩方面，一方面是，扎營需要考慮的因素太多，面積并不是唯一需要考慮的因素。

另一方面，則是古人的平均數(shù)學(xué)水平實在太差！以“下營算法”本身來說，雖然開方算法與面積公式都是正確的，可是在涉及小數(shù)的計算時，唐順之多次出現(xiàn)錯誤。有“明朝第一學(xué)霸”之稱的唐順之尚且如此，普通人更不必說了！例如偃月營，很多兵書都記載了相關(guān)的參數(shù)，如下表所示。

其中：換算關(guān)系為1頃=100畝，1畝=240平方步，1步=6尺；圓周率 π 視為3。

在已知弧長和直徑的情況下，只需要計算乘除法和換算單位，可3本書給了3個不同的結(jié)果。有興趣的“小樹苗”可以自己計算一下，看看哪個結(jié)果更準確……