奇思妙想

請將5×9的長方形分成10個邊長為整數(shù)的長方形。

馬丁這樣說

仔細觀察同學(xué)們的作品，我們會發(fā)現(xiàn)，每幅圖中必有兩個完全相同的長方形。這是什么原因呢？

從邊長考慮，5×9的長方形分成10個邊長為整數(shù)的長方形，邊長有很多種取值，似乎很難找到完全相同的兩個長方形。從周長考慮，完全相同的長方形的周長必相等，但周長也有很多種取值，所以也很難找到周長相等的兩個長方形。

不過，我們忘記了一個關(guān)鍵的條件：面積。對每一個可能的面積，我們列出所有可能的長方形，如下：

面積為1的長方形有1個：1×1 面積為2的長方形有1個：1×2

面積為3的長方形有1個：1×3 面積為4的長方形有2個：1×4，2×2

面積為5的長方形有1個：1×5 面積為6的長方形有2個：1×6，2×3

面積為7的長方形有1個：1×7

面積為8的長方形有2個：1×8，2×4

面積為9的長方形有2個：1×9，3×3

面積為10的長方形有1個：2×5

試想一下，如果分成的10個長方形都不相同，其面積之和最?。ㄒ簿褪乔?0個面積最小的和）為：

S≥1+2+3+4×2+5+6×2+7+8=46

然而，S=5×9= 45，矛盾。

因此，分得的長方形中必有兩個是完全相同的。