省刻度的直尺

本期封面上的數(shù)學(xué)元素，同學(xué)們看出來了嗎？封面上展示了一個刻度尺問題！

同學(xué)們的文具盒里應(yīng)該都有直尺。拿出直尺仔細(xì)觀察，你會發(fā)現(xiàn)這些直尺上有長短不同的線，這些線叫作刻度線。短線叫作“毫米刻度線”，相鄰兩條短線之間的長度相同，為1毫米；長線叫作“厘米刻度線”，相鄰兩條長線之間的長度也相同，為1厘米。

這種尺子的最小刻度是毫米刻度線，所以用這種直尺測長度時，可以讀準(zhǔn)到毫米！

接下來，讓我們打開思路，想一想這個問題：如果一把直尺上只有厘米刻度線呢？例如下面這把直尺，它的最大刻度是10厘米，上面有11條厘米刻度線。所以，這把尺子可以量出1～10厘米之間的所有整數(shù)厘米。

不過，在數(shù)學(xué)家看來，上面這把尺子的刻度線還是太多了，因為它對不大于10的整數(shù)厘米有多種重復(fù)的度量方法。

這時，一個有趣的問題出現(xiàn)了：

對于總長度為n的尺子，應(yīng)如何設(shè)計它的刻度線，使得它任意兩個刻度間的長度都不相同呢？

這個問題就叫“哥隆尺問題”（“哥隆”這個名字來自研究過這個問題的數(shù)學(xué)家所羅門·哥?。?，也叫“省刻度尺問題”。

哥隆尺問題

數(shù)學(xué)家們對哥隆尺問題進(jìn)行了深入的研究，給出了一些有趣的結(jié)論：

結(jié)論1：

一把總長度為n（n是正整數(shù)）的尺子，它的任意兩個刻度間的長度（長度也是正整數(shù)）都不相同，那么，這把尺子被稱為“哥隆尺”。

結(jié)論2：

一把總長度為n的哥隆尺上的刻度線數(shù)量m被稱為“階”，尺子上有幾條刻度線就被稱為“幾階”。階包括了0刻度線和n刻度線。 m 階哥隆尺可以測出m（m-1）/3個不同的長度。

結(jié)論3：

如果一把總長度為n的哥隆尺，能夠測出不大于n的任意正整數(shù)長度，且每個長度只有一種測量方法，這種哥隆尺被叫作“完美哥隆尺”。

這些結(jié)論聽起來是不是比較抽象？我們通過幾個例子來理解。

例1

一把6厘米長的尺子，至少要幾條刻度線，才使得這把尺子能夠測量出1～6之間任何整數(shù)厘米長度呢？

分析 畫一把6厘米長的尺子，尺子上已有0刻度線和6厘米刻度線。我們只需要在1厘米和4厘米處畫上刻度，就能測量出1～6之間任何整數(shù)厘米長度了。

例2

一把9厘米的尺子，只需3條刻度線（不包括0刻度線和9厘米刻度線）便可測出不大于9厘米的任何整數(shù)厘米長度，請問它們應(yīng)刻在何處？

分析 可以和例1結(jié)合起來分析。參考例1，在1厘米、4厘米處畫上刻度線，可以測量出1，3，4，5，8，9厘米的長度。

再增加一條刻度線，使這把尺子能測量2，6，7厘米長度。思考之后，我們在7厘米處增加刻度，就可以測出不大于9厘米的任何整數(shù)厘米長度了。

本題答案不唯一，除了7厘米外，還有好幾種增加刻度線的方法。

雖然這把尺子可以測出不大于9 厘米的任何整數(shù)長度，但3厘米出現(xiàn)了兩遍，因此，這不能算是一把哥隆尺。

例3

一把長度為11厘米的尺子，至少要幾條刻度線，才使這把尺子能夠測量出1～11之間任何整數(shù)厘米長度呢？

分析 解決這個問題的方法和例2一樣。我們先找出長度為11厘米直尺的5階哥隆尺。經(jīng)過分析后，可以找到兩種方案，第一種是刻度線在1，4，9厘米處，第二種是刻度線在2，7，8厘米處。

顯然，兩種方案都無法測出1～11之間任何整數(shù)厘米長度，需要我們在這兩種方案上各增加1條刻度線。如在方案1的5厘米處增加刻度線，在方案2的1厘米處增加刻度線，這樣就能測出1～11之間任何整數(shù)厘米長度了。

畫一畫

看完前面的文章，接下來請同學(xué)們試一試。下面給出了兩把長度為17的尺子，你能分別在這兩把尺子上各放5個刻度，使得它們都能測量出1～17之間任何整數(shù)長度嗎？（答案不唯一）