紙牌游戲

說(shuō)到紙牌游戲，同學(xué)們肯定會(huì)想到撲克牌。撲克牌便于攜帶，玩法多樣，價(jià)格低廉，是全世界最流行的紙牌游戲。

除了撲克牌外，人們還發(fā)明了許多有趣的紙牌游戲。本期雜志，我們就為大家介紹幾款極其獨(dú)特、富有創(chuàng)意、具有極強(qiáng)數(shù)理性的紙牌游戲。

霍夫曼-辛格爾頓牌

這款游戲的名字來(lái)自阿蘭·霍夫曼和羅伯特·辛格爾頓這兩位數(shù)學(xué)家。20世紀(jì)80年代，這兩位數(shù)學(xué)家在研究圖論時(shí)，構(gòu)建了一個(gè)由50個(gè)頂點(diǎn)組成的圖，圖上的每個(gè)頂點(diǎn)都和其他7個(gè)頂點(diǎn)相連，這個(gè)圖被稱(chēng)為“霍夫曼-辛格爾頓圖”。有人在這兩位數(shù)學(xué)家的研究基礎(chǔ)上，發(fā)明了這副超級(jí)好玩的“霍夫曼-辛格爾頓牌”。

基本信息

張數(shù) 一共50張，分為子牌和母牌。

子牌 35張。每張子牌上都寫(xiě)著1～7中的3個(gè)數(shù)字。從1～7中任選3個(gè)不同的數(shù)字，一共有35種組合，分別是：

數(shù)字有35種組合，因此子牌有35張。設(shè)計(jì)子牌時(shí)，可以把這3個(gè)數(shù)字按從小到大的順序，從上到下、從左到右寫(xiě)入牌面上的3個(gè)圓圈中。

母牌 15張。母牌的牌面上畫(huà)有一個(gè)三角形，三角形的中心點(diǎn)、3個(gè)頂點(diǎn)和3條邊的中點(diǎn)寫(xiě)著數(shù)字1～7。三角形的3條邊、3條中線(xiàn)上的3個(gè)數(shù)字分別用同色線(xiàn)段連接；3條邊中點(diǎn)的數(shù)字用同色圓弧連接。

游戲規(guī)則

①如果兩張子牌上沒(méi)有任何相同的數(shù)字，則它們是相連的。

②如果某張子牌上的3個(gè)數(shù)字是母牌上同色線(xiàn)條（線(xiàn)段或圓?。┥系臄?shù)字，它們也是相連的。

紙牌玩法

本游戲有很多種玩法。我們接下來(lái)介紹兩種常見(jiàn)的玩法，第一種叫取牌游戲，第二種叫積分游戲。

取牌游戲

①至少3個(gè)玩家參與，其中一個(gè)玩家是莊家。莊家負(fù)責(zé)洗牌、把牌放到桌面上以及補(bǔ)牌，不參與游戲比拼。莊家洗牌后，放下12張牌，將之排列成一個(gè)4×3（或6×2）的長(zhǎng)方形。

②其他玩家一起觀察這12張牌，誰(shuí)能先發(fā)現(xiàn) 3 張或更多相連的牌，誰(shuí)就可以取走這些相連的牌。

③玩家取走相連的牌后，長(zhǎng)方形中出現(xiàn)了空位，莊家放入未使用的牌填滿(mǎn)空位。

④如果不存在3張相連的牌，莊家繼續(xù)放入未使用的牌，此時(shí)1次只能添加1張，直到發(fā)現(xiàn)3張相連的牌為止。

⑤當(dāng)莊家把50張牌全發(fā)完且桌面上剩余的牌中沒(méi)有3張相連的牌時(shí)，游戲結(jié)束。統(tǒng)計(jì)各玩家手中牌的張數(shù)，誰(shuí)的張數(shù)多，誰(shuí)就獲勝。

積分游戲

①兩個(gè)玩家參與，洗牌后，玩家輪流取牌。取牌完成后，每個(gè)玩家會(huì)拿到25張牌。

②玩家將自己手中的母牌挑出來(lái)擺在桌面上，讓手中的子牌和桌面上的母牌相連。在規(guī)定時(shí)間內(nèi)（比如5分鐘），根據(jù)母牌連接的子牌張數(shù)來(lái)記分。

③根據(jù)下表統(tǒng)計(jì)玩家的得分，誰(shuí)的得分高，誰(shuí)就獲勝。

數(shù)學(xué)奧秘

這款紙牌游戲和數(shù)學(xué)的關(guān)系極其密切。在游戲過(guò)程中，同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些有趣的數(shù)學(xué)結(jié)論：

結(jié)論1 霍夫曼-辛格爾頓圖有50個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)都可以連接到其他7個(gè)頂點(diǎn)。

這副紙牌一共有50張，每張牌也可以和其他7張牌相連。如每張子牌可以和其他4張子牌、3張母牌相連；每張母牌可以和7張子牌相連。

每張子牌可以和其他4張子牌、3張母牌相連。

結(jié)論2 任何兩張不相連的牌都由一張唯一的牌相連。下圖展示了兩個(gè)例子。

結(jié)論3 如果將牌連成一個(gè)圈，能組成的最小的連接環(huán)是五連環(huán)。下圖就是一個(gè)五連環(huán)的例子。

神奇形色牌

這是一款非常獨(dú)特的紙牌游戲，英文名字叫“Set”，是一位生物學(xué)家于1974年發(fā)明的。這款游戲在歐美極受歡迎，1991年，它獲得了美國(guó)的門(mén)薩謎題大獎(jiǎng)，還被評(píng)為“最受歡迎的100個(gè)游戲”之一。

基本信息

張數(shù) 一共81張。每張牌有4個(gè)特性，分別是：形狀、數(shù)量、顏色、紋路。每種特性具有3種可能性。

形狀 牌上有3種形狀，分別是菱形、波浪形和橢圓形。每種形狀的牌各27張。

數(shù)量 每種形狀的數(shù)量有1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)。同樣的，每種數(shù)量的牌各27張。

顏色 每種形狀有3種顏色，分別是綠色、藍(lán)色和紅色（也可以是別的顏色）。每種顏色的牌各27張。

紋路 每種形狀有3種紋路，分別是空心、條紋和實(shí)心。每種紋路的牌各27張。

游戲規(guī)則

這款紙牌游戲的玩法很多，但都涉及“套牌”的概念?！疤着啤笔?張牌形成的特定組合，套牌只有一個(gè)要求，那就是3張牌的4個(gè)特性滿(mǎn)足以下4種情況之一。

①4個(gè)特性都不同的3張牌是套牌。

②3個(gè)特性都不同、1個(gè)特性都相同的3張牌也是套牌。

③2個(gè)特性都相同、2個(gè)特性都不同的3張牌也是套牌。

④3個(gè)特性都相同、1個(gè)特性都不同的3張牌是套牌。

除了上面這4種情況外，其他的組合都不是套牌。

紙牌玩法

①至少3個(gè)玩家參與，其中1個(gè)玩家是莊家。莊家負(fù)責(zé)洗牌、把牌放到桌面上以及補(bǔ)牌，不參與游戲比拼。莊家洗牌后，放下12張牌，將之排列成一個(gè)4×3（或6×2）的長(zhǎng)方形。

②觀察這12張牌，如果有玩家發(fā)現(xiàn)其中的套牌，可以喊一聲“我發(fā)現(xiàn)了”并把這3張牌取走。右圖是一個(gè)例子。

③玩家取走套牌后，長(zhǎng)方形中出現(xiàn)了空位，莊家放入3張未使用的牌，把空位填滿(mǎn)。

④如果所有玩家都不能從12張牌里發(fā)現(xiàn)套牌，莊家就繼續(xù)添加3張牌，牌數(shù)達(dá)到15張。如果還不能發(fā)現(xiàn)套牌，就再增加3張，以此類(lèi)推。

⑤莊家把81張牌全部放完且再也找不到套牌時(shí)，游戲結(jié)束。統(tǒng)計(jì)玩家手中牌的張數(shù)，誰(shuí)的張數(shù)多，誰(shuí)就獲勝。

數(shù)學(xué)奧秘

這款紙牌游戲和概率的關(guān)系非常密切，蘊(yùn)含著很多有趣的數(shù)學(xué)結(jié)論：

結(jié)論1 每張牌有4個(gè)特性，每個(gè)特性有3種可能的情況，所以牌的總張數(shù)是3⁴=81。

結(jié)論2 給定任意兩張牌，只有一張牌可以與這兩張牌組成一組。因此，從81張牌中隨機(jī)抽取的 3 張牌能組成套牌的概率是1/79。

結(jié)論3 從紙牌里隨機(jī)抽出12張牌，有套牌的概率是96.7%；從紙牌里隨機(jī)抽出15張牌，有套牌的概率是99.96%。

結(jié)論4 套牌有1080種可能。其中，4個(gè)特性都不同的有216種；3個(gè)特性都不同、1個(gè)特性都相同的有432種；2個(gè)特性都相同、2個(gè)特性都不同的有324種；3個(gè)特性都相同、1個(gè)特性都不同的有108種。

多米諾紙牌

同學(xué)們都知道多米諾骨牌，這是一種用木塊、骨骼或塑料制成的長(zhǎng)方體牌，長(zhǎng)度通常是寬度的兩倍。每張牌有兩面，背面空白、光滑，正面則一分為二，牌面上有形如“0|0”“1|3”“2|3”的點(diǎn)數(shù)。多米諾骨牌發(fā)源于中國(guó)古代的“牌九”，19世紀(jì)時(shí)，牌九傳入歐洲后，得了個(gè)新名字“多米諾骨牌”。多米諾骨牌比較重，攜帶不太方便，人們就在多米諾骨牌的基礎(chǔ)上，發(fā)明了方便攜帶的多米諾紙牌。

基本信息

張數(shù) 一共55張。從0～9中任選兩個(gè)數(shù)字（可重復(fù)），不考慮兩個(gè)數(shù)字的順序，一共有55種組合。

將這55種數(shù)字組合轉(zhuǎn)換成點(diǎn)數(shù)，就可以得到一副“雙9多米諾紙牌”?！半p9多米諾紙牌”指的是牌面上最小的點(diǎn)數(shù)是“0|0”、牌面上最大的點(diǎn)數(shù)是“9|9”的多米諾紙牌。

游戲規(guī)則

多米諾紙牌有多種玩法，但無(wú)論哪一種玩法，都是把點(diǎn)數(shù)看成數(shù)字來(lái)玩的。

紙牌玩法

多米諾紙牌的玩法實(shí)在是太多了，下面介紹幾種和數(shù)學(xué)關(guān)系密切的玩法。

奇數(shù)/偶數(shù)/質(zhì)數(shù)/合數(shù)游戲

①兩個(gè)玩家參與游戲，約定一個(gè)規(guī)則。例如，答案是奇數(shù)（或偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)）的玩家贏得本輪比賽。洗牌后，將所有多米諾紙牌面朝下放到桌面上。

②兩個(gè)玩家各取一張牌。每個(gè)玩家對(duì)自己抽到的牌進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算，如果規(guī)則是“答案是奇數(shù)的玩家本輪獲勝”，玩家就要想辦法讓自己運(yùn)算的結(jié)果是奇數(shù)。

③答案是奇數(shù)的玩家獲得這兩張牌。如果兩個(gè)玩家的答案都是奇數(shù)，則各獲得一張牌。

④當(dāng)55張牌被取完時(shí)，獲勝者是擁有紙牌張數(shù)最多的玩家。

差值游戲

①兩個(gè)玩家參與游戲，洗牌后，將所有多米諾紙牌面朝下放到桌面上。

②兩個(gè)玩家各取3張（或4張、5張）牌，以牌中間的橫線(xiàn)為分割線(xiàn)，上下6個(gè)點(diǎn)數(shù)可以分別組成兩個(gè)數(shù)。想辦法排列3張牌，使得較大的數(shù)減去較小的數(shù)得到的差最大（如果玩家取4張牌，也能組成兩個(gè)數(shù)，其中，較大的數(shù)是四位數(shù)）。

例如，兩個(gè)玩家分別抽到了下圖所示的3張牌。

兩個(gè)玩家重新排列這3張牌（可以上下翻轉(zhuǎn)），各得到兩個(gè)三位數(shù)。

872-430=442，794-253=541，玩家B獲勝。

③得到的差最大的玩家獲得自己和對(duì)方的6張牌。如果兩個(gè)玩家的答案相同，則各獲得3張牌。

④當(dāng)所有牌被取完時(shí)，獲勝者是擁有紙牌張數(shù)最多的玩家。

多米諾窗戶(hù)

①3個(gè)玩家參與游戲，洗牌后，將所有多米諾紙牌面朝下放到桌面上。

②3個(gè)玩家輪流取牌，取牌完成后，每個(gè)玩家都能拿到18張牌。玩家觀察自己手中的牌，試圖將之湊成一個(gè)或多個(gè)“多米諾窗戶(hù)”。如下圖所示，4張牌構(gòu)成了一個(gè)帶有一個(gè)空白空間的“窗戶(hù)”，它的4條邊上的點(diǎn)數(shù)加起來(lái)相同，這就是“多米諾窗戶(hù)”。

③在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)（如3分鐘），如果只有1個(gè)玩家湊出了多米諾窗戶(hù)，該玩家獲勝。如果多個(gè)玩家都湊出了多米諾窗戶(hù)，各邊上的點(diǎn)數(shù)和最大的玩家獲勝。

數(shù)學(xué)奧秘

多米諾紙牌的歷史非常悠久，它的形狀和點(diǎn)數(shù)都蘊(yùn)含著極其豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)。

結(jié)論1 除了雙9多米諾紙牌外，常見(jiàn)的還有雙6、雙12多米諾紙牌。雙n多米諾紙牌的張數(shù)可以通過(guò)公式（ n+1）（n+ 2）/2算出來(lái)。

結(jié)論2 雙n多米諾紙牌的總點(diǎn)數(shù)可以通過(guò)公式（ n+1）（n+ 2）/2算出來(lái)。例如，雙9多米諾紙牌有55張，總點(diǎn)數(shù)為 55×9 =495。

結(jié)論3 多米諾紙牌的重要性質(zhì)之一是不大于n的點(diǎn)數(shù)將在紙牌上出現(xiàn)n+2次。你可以用這個(gè)規(guī)則統(tǒng)計(jì)你手上和桌子上某個(gè)點(diǎn)數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)。

小結(jié)

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