GNSS高程擬合方法及其應用研究

摘 要：采用傳統(tǒng)水準測量方法實施高程控制測量雖然測量精度高，但存在操作費時費力，作業(yè)效率低的問題，利用GNSS定位技術具有速度快、精度高、操作簡單等優(yōu)點。當前GNSS技術在平面控制測量工作中已經(jīng)得到了廣泛的應用，但在高程控制測量中卻未能得到長足發(fā)展。文章通過研究不同GNSS高程擬合方法求解較高精度高程異常的方法，將各種模型應用方法進行對比并結合工程實例得到擬合法求解高程異常的一般規(guī)律，為相關項目中高程控制測量提供了方法參考和借鑒。

關鍵詞：大地高；GNSS水準；高程異常；擬合模型

中圖分類號：P228

近年來普遍采用的全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（GNSS）高程擬合方法屬于間接擬合方法，由于國內(nèi)天文和重力資料的缺乏使得直接獲取高程異常精度不足，從而不能應用于實際生產(chǎn)需要，因此通過采用高程擬合的方法，即在測區(qū)內(nèi)選擇分布點位均勻合理的若干觀測點作為起算數(shù)據(jù)，分別采用GNSS測量觀測點的大地高和水準測量采集該點的正常高，利用正常高和大地高轉(zhuǎn)換公式求取所有觀測點的高程異常，建立GNSS觀測點平面坐標和高程異常為已知參數(shù)運用多項式曲面函數(shù)來擬合測區(qū)的似大地水準面，此時形成測區(qū)的高程異常平緩連續(xù)，通過內(nèi)插測區(qū)高程異常計算GNSS待定觀測點的高程異常，繼而求得該點的正常高。目前，根據(jù)GNSS高程擬合方法應用范圍的不同，主要分為3類擬合模型：線狀擬合模型、平面擬合模型和曲面擬合模型。

采用不同的高程擬合模型將得到不同的擬合效果，地形平坦與否以及點位分布位置都將成為擬合模型是否高效的決定條件。而不同單一模型組合運用，或者通過調(diào)整擬合模型權值，從而可以優(yōu)化擬合模型強度，最終使得擬合模型的擬合精度更高。

1 GNSS水準測量

1.1 不同的參考基準面

1.1.1 水準面

地球形狀是一個不規(guī)則的橢球體，且地球內(nèi)部質(zhì)量分布不均勻，將地球作為一個質(zhì)體時地球表面的重力將受到地球內(nèi)部質(zhì)量密度的影響而變得各不相同，因此地球體上重力相等的面理論上稱為地球的重力等位面，重力等位面也稱為地球體的水準面[1]，由于重力等位面隨著重力值的大小各不相同，所以地球體的水準面也具有無數(shù)多個。地球的重力場受到地球內(nèi)部質(zhì)量的影響變化，同時也受地球外部空間質(zhì)體太陽和月球的引力作用，進而影響重力等位面起伏不平，所以說地球體的每個水準面都不完全一致，復雜的影響因素形成了地球體水準面不規(guī)則的幾何形狀。

1.1.2 大地水準面

真實地球自然表面是一個起伏不平、極其不規(guī)則的不均勻曲面，距離地球表面最高處珠穆朗瑪峰和最低處馬里亞納海溝高差有2萬多米，而地球表面主要分布著海水和陸地，通過選擇一個比較貼合地球形狀的水準面來代表地球表面，可以假設在凹凸不平的地球表面上完全用靜止的海水覆蓋地球表面，海水受地球內(nèi)部質(zhì)量分布均勻的影響形成一個包裹地球體封閉曲面，測繪學把這個曲面稱為大地水準面。所以說大地水準面是一個特殊的水準面，并且可以把大地水準面近似看作是地球的形狀。

雖然大地水準面也是地球體的一個重力等位面，但由于地球重力場的分布復雜不能精確獲得這個重力等位面值，也無法用準確的數(shù)學模型去表示大地水準面的形狀，通常許多國家把當?shù)氐钠骄Ｋ孀鳛榇蟮厮疁拭鎭碛嬎恪?/p>

大地水準面與水準面都是由重力等位面構成，構成等位面的物理性質(zhì)相同。大地水準面上的重力位用W0表示，位W的水準面位W0的大地水準面高度可按如下公式積分后確定：

1.1.3 似大地水準面

傳統(tǒng)測量中大地水準面是用來表示地球表面的一個特殊水準面，但由于其曲面構成因素復雜，無法用嚴密的數(shù)學模型去建立曲面，也就無法在實際情況中應用。前蘇聯(lián)學者莫洛金斯基提出了一種可表示地球表面形狀又可以構建嚴密數(shù)學模型的曲面，曲面模型介于大地水準面和地球參考橢球面之間，并分別與大地水準面和參考橢球建立轉(zhuǎn)換關系，方便計算地球表面形狀，所以說似大地水準面完全是可以用數(shù)學關系構建的一個封閉曲面，是一個完全幾何面，能夠用數(shù)學模型構建的函數(shù)面，擺脫了地球內(nèi)部質(zhì)量分布不均的問題。同時，似大地水準面[2]與大地水準面存在一定的聯(lián)系，即在海平面上大地水準面與似大地水準面完全重合，而在陸地上有2～4 m的高差起伏；似大地水準面與參考橢球面位置關系隨著地球形狀的起伏會發(fā)生變換，地球形狀凹的位置似大地水準面位于地球參考橢球面的上方，地球形狀凸的位置似大地水準面位于地球參考橢球面的下方。

1.2 不同的高程系統(tǒng)

高程系統(tǒng)是完全基于不同的基準面定義的，并且不同國家采用不同的高程系統(tǒng)，國內(nèi)現(xiàn)階段采用1952—1979年青島驗潮站觀測的平均海水面作為高程計算基準，即正常高，正常高是基于似大地水準面的高程系統(tǒng)，同時，可以根據(jù)大地水準面和參考橢球面建立不同的高程系統(tǒng)，以大地水準面建立正高系統(tǒng)，基于參考橢球面建立大地高系統(tǒng)，而這些高程系統(tǒng)在不同領域有著不同應用。

1.2.1 大地高系統(tǒng)

GNSS定位原理是把地球當作一個規(guī)則的參考橢球體，衛(wèi)星通過測距信號的傳播記錄地面點與衛(wèi)星之間的距離，然后通過空間距離后方交會方法定位出地面點的空間位置，而位于參考橢球體上的參考橢球面作為GNSS定位中大地高H的基準面，因此把基于參考橢球面的高程系統(tǒng)稱為大地高系統(tǒng)，GNSS測量得到的高程稱為大地高。

GNSS全球?qū)Ш蕉ㄎ幌到y(tǒng)采用WGS-84橢球體，GNSS測量選用的坐標系地心坐標系，地面點的高程H是基于WGS-84參考橢球面的大地高。大地高H的距離為地面點P沿法線方向到參考橢球面P′的長度PP′，如圖1所示。

1.2.2 正高程系統(tǒng)

大地水準面與參考橢球面都是用來表示地球表面形狀的曲面，區(qū)別在于參考橢球面是一個規(guī)則的幾何橢球面，用來大致表示地球形狀，但不能表示地球表面高低起伏狀態(tài)；而大地水準面是物理面，基本符合地球表面自然地理狀況，卻不能用于數(shù)學模型嚴密的計算，因此理論上把地面點以大地水準面為基準的高程系統(tǒng)稱之為正高系統(tǒng)[3]，即如圖1所示，地面點正高Hg的距離為地面點P到大地水準面P′′的長度PP′′，即地面點的正高為通過地面點沿鉛垂線與大地水準面交點的距離。

由于大地水準面是重力等位面轉(zhuǎn)化來的，根據(jù)地球形狀不規(guī)則和地球內(nèi)部質(zhì)量分布不均的特點地球表面的重力等位面是由無數(shù)個面組成，而最符合該地面點位置的重力等位面需要獲取該地的天文和重力資料，所以地面點的大地水準面也就無法準確獲得，進而不能直接獲得該地面點的正高。

地球表面的水準面有無數(shù)多個，大地水準面作為水準面中的一個特殊形式，擁有水準面和重力等位面的一切性質(zhì)，所以用于微積分求導方式計算的正高數(shù)值是一條與大地水準面垂直的曲線，計算公式如下：

式中：Hg為地面點至大地水準面的距離，H為地面點至橢球面的距離，gm為由地面點P沿鉛垂線至大地水準面的平均重力加速度，g為不同點位大地水準面的實際重力平均加速度，dH為地面點水準測量的高差。平均重力加速度的獲取需要該測區(qū)多年的天文和重力資料，資料的缺乏使得正高不能直接獲得。

如圖1所示，地面點P基于大地水準面的正高P′′與基于參考橢球面的大地高P′存在距離轉(zhuǎn)換關系，正高P′′與大地高P′的距離P′P′′′稱為大地水準面差距（N）：

式中：N為正高與大地高的距離即大地水準面與橢球面差距，H為地面點P至橢球面的距離，Hg為地面點P至大地水準面的距離。

1.2.3 正常高程系統(tǒng)

由于基于參考橢球面的大地高并不能代表地球表面真實高程，而基于大地水準面的正高受到地球內(nèi)部質(zhì)量不均和地球重力場影響而無法準確獲得，因此要想獲取準確地球表面高程值，就必須采用基于似大地水準面的正常高系統(tǒng)[4]。

式中：Hr為地面點P至似大地水準面的距離，g為不同點位大地水準面的實際重力平均加速度，dH為地面點水準測量的高差。rm為地面點P到似大地水準面的平均重力正常值，用公式表如下：

式中：rm為地面點P沿鉛垂線至似大地水準面的平均重力正常值，r為參考橢球面上的正常重力，Hr為地面點P至似大地水準面的距離，用公式表示如下：

式中：r為參考橢球面上的正常重力，re是橢球赤道上的正常重力值；β1、β2是與橢球定義有關的系數(shù)；φ為地面點的天文緯度；國內(nèi)目前采用的re、β1、β2的值為：re=978.030；β1=0.005 302；β2=0.000 007。

通過上述公式將得到地面任意一點正常高的準確值，避免了通過傳統(tǒng)水準測量方式去逐點水準聯(lián)測地面點正常高的復雜過程。

同樣根據(jù)圖1所示，地面點P到大地水準面的正高和到似大地水準面的正常高存在轉(zhuǎn)換關系，如下公式所示：

式中：（gm－rm）為重力異常，Hr為地面點P至似大地水準面的距離，Hg為地面點P至大地水準面的距離，Hr為地面點P至似大地水準面的距，gm為由地面點P沿鉛垂線至大地水準面的平均重力加速度，rm為地面點P沿鉛垂線至似大地水準面的平均重力正常值。

地面點P到似大地水準面距離正常高與地面點P至參考橢球面的距離大地高也存在轉(zhuǎn)換關系[8]，如下公式所示：

式中：ζ為大地高與正常高的差值即為高程異常，H為地面點P至參考橢球面的距離即大地高，Hr為地面點P至似大地水準面的距離即正常高。因此直接在GNSS測量中獲得的是地面點的大地高，而獲取地面點的正常高需要先精確計算該點的高程異常ζ[5]。

2 高程擬合的一般模型

高程擬合法是在GNSS高程測量中通過對GNSS點位觀測測得其大地高，并通過傳統(tǒng)幾何水準測量聯(lián)測其正常高，同一點的大地高與正常高的差值為高程異常，根據(jù)GNSS點位分布平面坐標建立多項式曲面函數(shù)來擬合測區(qū)的高程異常值，而GNSS待求觀測點的高程異常值通過曲面函數(shù)內(nèi)插計算求得。通常采用的高程擬合方法按照擬合范圍大小可以分為線狀擬合模型、平面擬合模型和曲面擬合模型3類，下面將對這3種模型作介紹分析。

2.1 線狀擬合模型

曲線擬合是線狀擬合的一種形式，曲線擬合方法計算簡單易操作，但是擬合精度低，數(shù)據(jù)檢核條件少，互相檢核精度低，主要應用于道路交通、河流管線等工程。

2.1.1 多項式曲線擬合

線狀模型主要是通過一元函數(shù)建立的擬合模型，而多項式曲線擬合[6]函數(shù)建立高程異常的數(shù)學模型是在一元函數(shù)基礎上增加n的階次來提高模型的精度，如公式所示：

式中a0、a1…an為待定參數(shù)，xi為任一點i距離起始點的距離，ζi為第i點的高程異常。多項式曲線擬合函數(shù)主要表現(xiàn)線狀地形的擬合特征，根據(jù)線狀地形的距離來增加參數(shù)項，一般情況下采用前3項參數(shù)。

2.1.2 三次樣條擬合

三次樣條擬合方法也適用于帶狀地形測區(qū)的高程擬合，可以選擇路線長度較大、已知點數(shù)據(jù)較多的地區(qū)進行高程擬合，擬合效果要優(yōu)于多項式擬合方法。避免了線狀測區(qū)分段擬合精度不一致而整體擬合精度較低的缺點，三次樣條曲線擬合是建立n個已知點布滿整個測區(qū)長度，通過擬合坐標xi或yi在區(qū)間[xi，xi+1]（i=0，1，2，…，n）建立的三次樣條關系，如公式所示：

式中：x為待求點坐標，xi、xi+1為待定點兩端已知點的坐標，ζ（xi，xi+1）為一階差商，ζ（x，xi，xi+1）為二階差商。根據(jù)上述三次樣條公式求取各插值點的高程異常值。

2.2 平面擬合模型

平面擬合是在線狀擬合的基礎發(fā)展而來的，采用最小二乘法，主要應用于地勢較為平坦的地區(qū)，即在該區(qū)域似大地水準面變化較為平緩，在局部范圍采用平面擬合法。而在實際應用過程中，大部分工程應用涉及地形變化大導致平面擬合模型應用很少。

2.2.1 最小二乘平面擬合法

最小二乘平面擬合法[7]采用二元一次方程來表示，實際上是多項式曲面擬合的特殊形式，其表達式為：

式中：ε為殘差，a0、a1、a2為待定參數(shù)。通過對每一個聯(lián)測水準點列出一個如上式（12）的二元一次方程，在滿足[ε2]=min的條件下求出ai，代入上述公式（11）和（12）計算該測區(qū)的擬合函數(shù)后根據(jù)殘差公式計算待定點的高程異常值。

2.2.2 相關平面擬合法

相關平面擬合法相比最小二乘平面擬合法增加一個參數(shù)項，提高了平面模型的擬合效果，如公式所示：

式中：a0、a1…an為待定參數(shù)，相關平面擬合法采用4個未知參數(shù)（a0，a1，a2，a3），擬合函數(shù)f（x，y）需要至少4個已知觀測點數(shù)據(jù)計算擬合系數(shù)，由擬合系數(shù)建立的擬合函數(shù)和殘差方程方可計算待定點的高程異常。

2.3 曲面擬合模型

曲面擬合法[12]主要用于地形較為復雜、地形起伏變化較大的區(qū)域，可以看作為平面擬合模型的精化，通過已知點的大地高和正常高獲取高程異常建立各點坐標的曲面函數(shù)，擬合后的高程異常值則分布在曲面函數(shù)內(nèi)并平緩變化。通過建立擬合模型求取擬合函數(shù)的擬合系數(shù)后，GNSS待定觀測點根據(jù)已知的平面坐標方可計算其高程異常和正常高。

2.3.1 多項式擬合模型

線狀擬合模型和平面擬合模型針對特定的地形條件進行高程擬合，但對于地形復雜，起伏不平的山區(qū)就不能達到擬合要求，這時候采用多項式曲面擬合方法[8]，用多項式函數(shù)f（x，y）擬合地形的起伏變化，通過代入已知點數(shù)據(jù)的平面坐標來計算多項式曲面函數(shù)的擬合系數(shù)，進而計算出該測區(qū)擬合后的似大地水準面模型，測區(qū)其他未知點的高程異常就可以通過已建立的多項式曲面函數(shù)和殘差公式計算，最后通過高差轉(zhuǎn)換公式計算正常高。

取測區(qū)內(nèi)任意一點A（x，y），GNSS已知點的高程異常ζ與其平面坐標有如下關系：

式中：f（x，y）是ε的似大地水準面，ε為殘差。設 寫成矩陣形式有：

式中：x、y為已知點的坐標，其中a0、a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8、a9為待定參數(shù)。上式是公共點的高程異常和平面坐標的關系。

在∑ε2=min滿足最小二乘法的條件下，求得向量B的解，回到公式（16）中，根據(jù)已知的擬合系數(shù)和待定點的平面坐標可計算該點的高程異常，然后通過高差轉(zhuǎn)換計算待定點的正常高。

2.3.2 曲面樣條擬合法

曲面樣條擬合法是假設測區(qū)存在n個已知點，采用B樣條擬合方法對整個曲面進行高程擬合，設點的ζ與點的坐標x、y存在如下樣條關系：

式中：r2i=（x－xi）2+（y－yi）2+δ，δ為曲面樣條擬合平滑因子，（x，y）是高程異常內(nèi)插點坐標，（xi，yi）是水準聯(lián)測點第i點坐標。

3 GNSS高程測量數(shù)據(jù)處理及擬合模型的優(yōu)選

3.1 實例分析

選定一測區(qū)，通過GNSS-RTK測量手段獲取32個GNSS觀測點平面坐標和大地高，同時運用水準測量手段獲取32個點位的正常高，通過選取其中不同點位的水準高程進行方案擬合分析?？傻脺y區(qū)點位分布位置如圖2所示。

3.1.1 方案1：起算點均勻分布

通過從已知所有觀測點中選取均勻分布的16個觀測點進行GNSS水準高程擬合分析，已知觀測點點號分別為2、4、8、10、11、13、16、17、19、20、24、25、26、

30、31、32。

3.1.2 方案2：起算點分布在一側（非均勻分布）

選取所有32個GNSS觀測點點位集中于右下側的16個觀測點位，點號分別為1、2、3、5、9、10、11、14、

18、21、22、23、25、27、28、29。

3.1.3 方案3：起算點分布在邊緣（非均勻分布）

從測區(qū)所有已知GNSS觀測點選取分布于網(wǎng)形邊緣的16個GNSS觀測點，點號分別為3、5、6、8、11、12、

14、16、17、18、19、20、23、25、28、29。

3.1.4 方案4：起算點分布在中央（非均勻分布）

選取測區(qū)所有已知GNSS觀測點中分布于網(wǎng)形中央的16個點GNSS觀測點，點位點號分別為1、2、4、

9、10、13、16、20、21、22、24、25、26、27、31、32。

上述4個方案主要采用曲面擬合法對不同點位分布的GNSS觀測點進行高程擬合，對不同分布區(qū)域的已知數(shù)據(jù)有不同的擬合精度。檢驗GNSS高程擬合精度與除了水準測量成果的誤差對比，還可采用內(nèi)外符合精度來檢驗高程擬合的擬合偏差，內(nèi)符合精度指的是GNSS觀測數(shù)據(jù)來源的誤差精度，主要通過觀測儀器和計算軟件進行解算，在高程擬合模型擬合精度中所占比重較小；而外符合精度則是根據(jù)擬合模型的差異和已知數(shù)據(jù)的點位分布情況來綜合反映高程擬合整體精度的過程，在高程擬合精度中所占比重較大。評價精度[9]公式為：

綜上所述，外符合精度對高程擬合精度的評價具有較高的可靠性，能夠從GNSS高程擬合模型及方法、公共點的密度及分布等多方面綜合評價，對高程擬合過程及精度的檢驗比較全面；而內(nèi)符合精度是從數(shù)據(jù)的來源方面進行評價，主要對數(shù)據(jù)的來源誤差和數(shù)據(jù)的可靠性進行評價。

由表1可知，針對以上4種不同高程擬合方案采用內(nèi)外符合精度分析，無論是內(nèi)符合精度還是外符合精度，曲面擬合方法的精度普遍高于平面擬合方法的精度，因此可以說明曲面擬合方案的擬合效果更好。對曲面擬合法4種方案作對比分析可以得到，內(nèi)符合精度計算過程中精度從低到高依次是方案4、方案1、方案3、方案2，而外符合精度計算過程精度從低到高依次是方案1、方案2、方案3、方案4。內(nèi)外符合精度越低表示高程擬合可靠性越高。綜上所述，通過對不同方案的內(nèi)外符合精度加權平均后可得出采用曲面擬合法且點位分布均勻的方案1高程擬合精度更好，將作為GNSS高程擬合模型的最終方案。

4 結論

本研究主要從理論和實際應用2個方面研究GNSS高程擬合方法，經(jīng)過對比分析之后，總結出不同擬合方案的優(yōu)劣，綜合分析可以得出采取曲面擬合法且起算點分布越均勻，分布于網(wǎng)中的位置越合理，擬合精度就越高，計算結果就更可靠。因此，在進行GNSS高程擬合計算時，應盡可能地選擇曲面擬合模型且分布均勻的點作為起算點，不要把起算點集中選在控制網(wǎng)的一側或中央，這樣可大大提高GNSS高程擬合精度。同時曲面擬合且點位分布均勻的高程擬合殘差在外符合精度檢測中，其精度小于四等水準測量的限差值，滿足四等水準測量工程項目需求，將為今后工程中高程控制測量取得更好的擬合效果提供參考。

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