基于十一點曲率法的南環(huán)線平面特征點識別

摘 要：為使道路改造中擬合平面與實際平面更為接近，以減少工程量，節(jié)省工程投資，通過現(xiàn)場測量獲取實測道路平面數(shù)據(jù)，采用十一點曲率法計算離散的實測數(shù)據(jù)近似曲率，再經(jīng)過迭代求解及數(shù)值內(nèi)插，較為精確的確定平面特征點里程。該方法應(yīng)用于南環(huán)線改造，較好地恢復(fù)了平面線形，優(yōu)化了設(shè)計。經(jīng)實例驗證，該方法無須加密測量，常規(guī)道路中線測量點間距就能滿足要求；同時，有助于科學(xué)、快速的恢復(fù)設(shè)計年代久遠(yuǎn)或原設(shè)計資料欠缺的道路平面，推廣性好。

關(guān)鍵詞：道路改造；平面線形；十一點曲率法；平面特征點；南環(huán)線

中圖分類號：U412.3

1 引言

因道路長期使用而產(chǎn)生的疲勞徐變或地基塌縮、路基沉降等原因，都可能導(dǎo)致道路線形實際數(shù)據(jù)與原設(shè)計參數(shù)存在差別[1]。在既有公路改造中，一般遵循“既有道路的平縱數(shù)據(jù)實測→既有道路平縱擬合→按指定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改造設(shè)計”的原則[2]。既有道路的平面數(shù)據(jù)可通過GPS或全站儀等測量儀器測量，具體改造設(shè)計也已有較為成熟的方法和軟件，但如何利用實測的離散數(shù)據(jù)獲取直緩點、緩直點、緩曲點、曲緩點等平曲特征點，以使根據(jù)實測數(shù)據(jù)擬合的平曲線與實際平曲線最為貼近，進(jìn)而使改造工程量最小、投資最省，一直困擾著道路設(shè)計者。

2 平面特征點的識別

若不考慮測量誤差和道路線形變形的影響，直線段實測點的曲率應(yīng)為1，圓曲線的曲率應(yīng)相等，緩和曲線的曲率呈線性變化（支撐區(qū)域位于緩和曲線內(nèi)時）。在實際工程中，道路在長期使用后，線型會與設(shè)計值出現(xiàn)差異，但整體上應(yīng)符合上述規(guī)律。

實際上，數(shù)學(xué)上對連續(xù)曲線曲率的計算有明確的定義，而實測的道路平面點坐標(biāo)數(shù)據(jù)是一系列離散的數(shù)據(jù)點。這些離散點組成的數(shù)字曲線上各點的曲率值無法直接用數(shù)學(xué)公式計算表達(dá)。

離散點曲率的求解一般分為對離散點進(jìn)行曲線擬合后求解和直接計算離散點近似曲率2種方法[3]。對離散點進(jìn)行曲線擬合后求解時，當(dāng)實測數(shù)據(jù)點過多時，不僅計算復(fù)雜，且插值次數(shù)越高結(jié)果越偏離原函數(shù)，易產(chǎn)生龍格現(xiàn)象。直接計算離散點近似曲率不需要擬合曲線，計算量較小，實現(xiàn)相對簡單。

因?qū)崪y數(shù)據(jù)的離散點無法直接采用數(shù)學(xué)公式表達(dá)，國內(nèi)外學(xué)者研究了增量曲率法、K-余弦法、K-曲率法等[4]。為增強抗噪能力，減小支撐區(qū)域?qū)魄视嬎愕挠绊慬5]，目前有學(xué)者提出十一點曲率法計算離散點的近似曲率，效果較好。

3 特征點的迭代求解

3.1 迭代求解步驟

通過上述方法求得的實測點近似曲率，在識別平面特征點時，受閾值設(shè)置影響較大。為更加精確的識別特征點，采用逐一對比、依次調(diào)整的迭代方法[6]。

根據(jù)前述初步特點位置，將研究范圍內(nèi)實測點分段，如直線—直緩點段，可將分段終點設(shè)在初步判定的直緩點以外，以避免失真。設(shè)A、B、C、D是該段實測數(shù)據(jù)點，以3倍A、B之間實測點到AB直線投影距離中的誤差△為閾值，如圖1所示。

按下述步驟進(jìn)行迭代求解：

步驟1：計算A、B間實測點到A、B所連直線的距離；

步驟2：找出投影距離最大的點C，計投影距離為l；

步驟3：若llt;△，則C為特征點的近似位置；若lgt;△，則設(shè)C=A。

重復(fù)上述步驟，直至找出特征點近似位置。因?qū)崪y點位于特征點上的概率較小，為使近似特征點盡可能與實際特征點接近，可將按上述方法判定為特征點的實測點與曲率接近的實測點進(jìn)行數(shù)值內(nèi)插。

3.2 求解過程測試

雖然根據(jù)十一點曲率法計算的數(shù)值，并不是真正意義上的曲率結(jié)果，但已有研究結(jié)果表明[5]，該算法不影響結(jié)果的判定，且該方法擴(kuò)大了曲率計算的支撐區(qū)間，極大地提高了抗噪聲能力，有較強的適應(yīng)性。

不同的取樣點（即道路實測間隔點或計算時測量數(shù)據(jù)采用的間隔點）間隔，測點近似曲率變化存在差異，經(jīng)驗證，實測點數(shù)據(jù)間隔6 m及以上時，近似曲率的變化較為明顯。一般道路中線的實測間隔為20 m（特殊點加密除外），滿足十一點曲率法對取樣點間隔的精度需求，一般迭代求解2～4次，可得到較準(zhǔn)確的結(jié)果。

4 工程實例

4.1 項目概況

南環(huán)線（S101省道）為武漢市的主要集散通道，連接武漢市東湖高新區(qū)與江夏區(qū)，是武漢市干線公路網(wǎng)的重要組成部分。起點為東湖高新區(qū)鳳凰園東路，終點至江夏區(qū)紙金路，全長40余公里。其中，東湖高新區(qū)路段道路改造，起點為武漢市東湖高新區(qū)鳳凰園東路，終點為東湖高新區(qū)與江夏區(qū)邊界，道路全長2.030 km。該段重點工程為下穿G50滬渝高速處既有路面高程點、鳳蓮大道等相交道路交叉口高程等，無水域跨越、無鐵路交叉工程。

既有南環(huán)線為二級公路，設(shè)計速度60 km/h，路基寬12 m，瀝青混凝土路面寬9.0 m；本次改造采用挖除既有路面并新建瀝青混凝土路面，不改變既有道路的道路等級。該路位于平原區(qū)，地勢平坦，為老路改造工程。原設(shè)計該段共2處曲線，平曲線半徑分別為500 m、700 m。南環(huán)線改造前后如圖2、圖3所示。

南環(huán)線改造項目于2019年10月開工，2020年9月改造完成并開放交通，項目的實施聯(lián)通了光谷東和江夏，便利了周邊眾多產(chǎn)業(yè)園區(qū)的大貨車通行。

4.2 工程應(yīng)用

通過對南環(huán)線改造范圍道路進(jìn)行中線實測，獲得各實測離散點數(shù)據(jù)Pi=（xi，yi），十一點曲率法計算離散點的近似曲率，如下：

式中：Ki為計算點i的近似曲率；xi、yi分別為實測點經(jīng)緯距；Pi為實測離散數(shù)據(jù)點，表達(dá)為Pi=（xi，yi）（i=0，1，2，3……N-1），N為道路平面數(shù)據(jù)實測點數(shù)量。

根據(jù)前述實測點曲率的計算及特征點的迭代求解原理，在Excel中采用VBA進(jìn)行二次開發(fā)。基于十一點曲率法，計算各離散點的近似曲率Ki。

南環(huán)線K0+000—K1+000段獲得實測數(shù)據(jù)49組，該段曲線基于十一點曲率法計算的典型離散點近似曲率Ki見表1。

近似曲率Ki計算結(jié)果圖如圖4所示。

從圖4可知，近似曲率的變化趨勢明顯，可清晰地從圖中找到特征點的大致位置，反向查詢對應(yīng)里程，即可初步判定直緩點、緩曲點、曲緩點、緩直點等特征點的位置。結(jié)合前文特征點的迭代求解，并進(jìn)行數(shù)值內(nèi)插，將粗略分組的夾直線段、圓曲線段測點進(jìn)行擬合，根據(jù)近似參數(shù)，計算交點坐標(biāo)、圓曲線內(nèi)移量、前后緩和曲線長、切垂距、切線轉(zhuǎn)角、切線長和緩和曲線轉(zhuǎn)角等結(jié)果，再由交點坐標(biāo)和切線長計算直緩點和緩直點的坐標(biāo)，并據(jù)此得到主要特征點的里程數(shù)據(jù)。判定的平面特征點如圖5所示。

基于研究的判定特征點與原設(shè)計特征點的對比見表2。

可見，研究方法識別的平面特征點與原設(shè)計特征點差異較小，較好地恢復(fù)了平面線形，可用于開展改造設(shè)計。

5 結(jié)語

采用十一點曲率法計算離散的實測道路平面數(shù)據(jù)的近似曲率，通過迭代求解及數(shù)值內(nèi)插，可較為精確的確定平面特征點里程。將該方法應(yīng)用于南環(huán)線改造，較好地恢復(fù)了平面線形。該方法的可拓展意義在于，對道路設(shè)計年代久遠(yuǎn)或原設(shè)計資料不齊全，難以人工識別平面特征點時，有助于科學(xué)、快速的恢復(fù)平面線形，利于優(yōu)化設(shè)計，節(jié)省工程投資。同時，常規(guī)道路中線測量點間距滿足該方法所需測量點數(shù)據(jù)的間隔，無須加密測量，具有較好的推廣性。

參考文獻(xiàn)：

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